关于计价物、鞅、测度、风险中性测度的疑问

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书上说以货币为计价物让证券价格是鞅得到的是风险中性测度。那么感觉这里测度变化的变量是计价物、被计价物、以及计价物所服从的随机过程。于是我有四个疑问：
1、如果以证券价格为计价物，让货币价格变化过程为鞅是什么样的测度？2、如果以证券价格为计价物，让另一证券价格变化过程为鞅是什么样的测度？
3、如果证券的瞬时收益率漂移项就是无风险利率，即已经在风险中性测度下，再以证券价格为计价物，让货币价格变化过程为鞅是什么样的测度？
4、如果证券的瞬时收益率漂移项就是无风险利率，即已经在风险中性测度下，再以证券价格为计价物，让另一证券价格变化过程为鞅是什么样的测度？

个人认为答案是：
1、证券服从其真实分布的概率测度。或者说认为证券的分布刚好是真实世界里的情况的人所认为的货币价格变化服从的分布
2、证券服从其真实分布的概率测度。或者说认为证券的分布刚好是真实世界里的情况的人所认为的另一证券价格变化服从的分布
3、风险中性测度（但是感觉不太对，因为在风险中性测度下货币价格应该没有波动项，这样搞的话会有波动项）
4、风险中性测度（也不确定）
希望大神们能够帮我解决一下，或者说一说测度变换到底跟那些变量有什么关系，不胜感激！！！！！

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关键词：计价物 无风险利率 价格变化 概率测度 真实世界 计价物 测度 风险中性测度

所有这些测度都可以叫做等价鞅测度，至于具体起个什么名字得看你的计价物是什么
常见的，
如果以货币，即money market account(exp(rt))为计价物，这时候叫做风险中性测度
如果以债券，即(exp(-r(T-t))为计价物，这时候叫做远期测度(Forward measure)
如果以Annuity，即exp(-r(T-t1)+exp(-r(T-t2)+。。。+exp(-r(T-ti), 这时候叫做远期互换测度(Forward swap measure)
理论上你存在n+1个证券f和g1, g2, g3...gn，他们是由同一个布朗运动驱动的，那么汇总能找到一个测度Qi, 使得f/gi, i=1,2,3....n 是一个鞅，至于这个测度叫什么取决于他们有没有经济含义，比如之所以叫做Forward measure是因为任何证券在这个测度下的期望都是Forward price。如果f是期权，g是股票，那么这时候就很难起名了，但是这个测度是肯定存在的，而且你能够知道f在这个测度下的过程是什么样子。

Chemist_MZ 发表于 2016-11-20 00:05
所有这些测度都可以叫做等价鞅测度，至于具体起个什么名字得看你的计价物是什么
常见的，
如果以货币，即 ...

那期权定价公式里面，N(d1)表示以股票为计价物的风险中性世界中ST>X的概率，而N(d2)表示以货币账户为计价物的风险中性世界中ST>X的概率。为何会得到这样的结果，从直观上感觉这是两个不同的世界，应该不能同时直接出现在这个公式里吧。怎么理解这种情况。


这是两个在Q测度和S（股票）测度下股票的随机过程，明显不一样啊。而且股票那个的漂移项不是r，怎么能叫风险中性测度？
所以我关键是不能理解以不同东西为计价物的测度之间有什么关系，它们与风险中性测度又有什么关系。

细胞结构 发表于 2016-11-20 16:14
那期权定价公式里面，N(d1)表示以股票为计价物的风险中性世界中ST>X的概率，而N(d2)表示以货币账户为计价 ...

测度变换更多的可以看做一个数学工具，然后赋予了一些金融含义，在求N(d1)的时候，你如果不变测度（以S为numerarie)，而是直接强行积分是完全没有问题的，一样能够得到相同的结果。如果更复杂一些假设r是随机的，那么r不能直接提出，而是要以E(e-rT)作为numerarie, 即先转成forward measure，计算N(d2), 然后再转成以S为numeraire的测度算N(d1)。 本质上这里你要解决的是E(XY)当X和Y有correlation时候的期望，要让他变成E(X)E'(Y)，你必须找到合适的“ ’ ”测度，从E()转到E'()， E(X)E(Y X/E(X))=E(X)E'(Y), 两个测度之间转换的Radon–Nikodym derivative 由X/E(X)决定。所以本质上他是一个数学工具，是先有测度再有名字，至于怎么叫以S为numeraire的测度那是另一回事，但是肯定不能叫风险中性测度:-)。因此一个公式里面有两个测度只是你为了求解期望做的一个数学变换，你也可以不变，强行计算。

Chemist_MZ 发表于 2016-11-20 20:35
测度变换更多的可以看做一个数学工具，然后赋予了一些金融含义，在求N(d1)的时候，你如果不变测度（以S为 ...

不好意思，昨天太忙了，没时间回复。你这么一说我好像理解了……所以这里实际上类似一个条件期望是吧，这个测度变换就相当于密度函数变为条件密度函数。我本科刚刚看到这部分，对鞅什么的也只知道点皮毛，想多了解点关于这部分的内容，最好能带有直观经济含义的，大神有没有这方面的书推荐？

细胞结构 发表于 2016-11-22 17:04
不好意思，昨天太忙了，没时间回复。你这么一说我好像理解了……所以这里实际上类似一个条件期望是吧，这 ...

你可以看Hull圣经上的第27章martingales and measures (第八版，别的版本可能章节数有所变化）。虽然讲得很浅显但是原理还是很清楚的。

更多的应用可以看Steven Shreve的Stochastic Calculus for finance II，第九章， Change of Numeraire, 主要讲了在FX和Interest Rate option定价当中的应用。

我觉得更好的例子是去看一些具体的模型的应用，最典型的是利率模型，比如HJM， LMM，还有short rate model下的option定价，比如bond option，或者bond futures option。change of measure技术在利率模型里面是最典型的。如果能把这些模型推导一遍，我想你对measure和Numeraire会有更深入的理解。

Chemist_MZ 发表于 2016-11-23 21:28
你可以看Hull圣经上的第27章martingales and measures (第八版，别的版本可能章节数有所变化）。虽然讲得 ...

好的，非常感谢！

  thanks~