现代数学三大结构学习感悟

research 发表于 2017-5-25 19:42
法国布尔巴基学派的数学解释力有限，
比如其结构理论对概率论就无能为力，
跟不要说面对庞大的应用数学 ...

　　概率结构也是一种结构。概率是一种测度，测度的一般定义是定义在可测空间（西格马代数）到非负实数上的映射，满足可数可加性。概率测度只不过是可测空间全空间的测度值定义为1而已。这样一来概率测度就成为一个比例了。
　　虽然布尔巴基的结构观点在现代数学上已经衰落，但结构在数学中的地位仍然不可动摇。
　　像较新的小波分析，本质上仍然是结构，小波分析基于函数向量空间，只是小波基是函数空间中不同于传统的三角函数基而已。这都是线性空间结构。

　　现代数学中的空间本质上是一种数学结构。而现代数学，无论是理论数学还是应用数学，都不得不在一空间中进行。因此，数学结构的思想仍然在现代数学中扮演核心地位，只不过这一点可能成为常识，因此反而变得不那么强调了。
　　所谓一个空间，就是满足某种性质的集合。而这种性质往往是一种结构性质，如C[a,b]和M[a,b]，连续函数集与可测函数集，它们都是向量空间。连续函数空间对于极限运算不封闭，说白了，连续函数列的极限函数不一定连续。但可测函数空间对于极限运算却封闭，即任何可测函数列的极限函数仍然是可测函数。可见，可测函数空间比连续函数空间的性质更加优良，因为它对于极限运算具有封闭性。
　　对于极限运算具有封闭性是现代数学中非常重要的一个性质。
　　有理数列对于极限运算并不封闭，所以才定义了实数，因为实数列对于极限运算封闭，因此实数的性质比有理数优良。又比如说集族环对于极限并交运算不一定封闭，但西格马环对于可数交与交封闭，从而可证明其对于集列的极限运算也封闭，从而西格马环或可测空间比集族环要优良，正是因为如此在将西格马环（等价于单调类）定义为可测空间。对于极限运算封闭是一种重要的完备性。由此，连续函数空间并不具有完备性。
　　任何应用必须在一定的空间上进行。

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