诺贝尔经济学奖得主莫顿如何用连续复利错误解释费雪效应公式？

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    设置本帖的目的，一是理解罗伯特•C•莫顿是如何用所谓的连续复利错误地解释费雪效应公式，当然也给出了我们相应的解释；二是为了进一步认识连续复利（法）的错误。连续复利是错误的，用连续复利解释其它事务也必然是解释不对的，罗伯特•C•莫顿与兹维•博迪合著的《金融学》中用连续复利解释费雪效应公式也同样是错误的。罗伯特•C•莫顿是1997年诺贝尔经济学奖获得者，他们无疑是大家。正因为他们是大家，他们的错误应用才使更多的人对所谓的连续复利深信不疑。我们也就更有必要对此进行深入的讨论。

    罗伯特•C•莫顿与兹维•博迪合著的《金融学》第一版中文译本2000年由中国人民大学出版社出版，书中102页讲述了连续复利，122页涉及到费雪效应公式是这样叙述的：

   

    “将实际利率（本帖注---这里指剔除通货膨胀率后储户或投资者得到利息回报的真实利率，即货币实际购买力增加的比率）与名义利率（本帖注---这里指利息（报酬）的货币额与本金的货币额的比率）以及通货膨胀率联系起来的总公式为：

                                  1+实际利率=（1+名义利率）/（1+通货膨胀率）

或者               实际利率=（实际利率-通货膨胀率）/（1+通货膨胀率）

（本帖注---这就是费雪效应公式，其近似公式为：实际利率≈名义利率-通货膨胀率）

     利用连续计算复利的年度百分比，可以简化实际利率和名义利率之间的数学联系。在连续计算复利的情况下，各年度百分率之间的关系是

                                         实际利率=名义利率-通货膨胀率

     因此，如果我们假设实际年度百分率为6%（以复利连续计算），通货膨胀率为每年4%（以复利连续计算），则按复利连续计算的实际利率为每年2%。”

    这样用复利连续计算解释费雪公式存在的问题是：

      1 复利连续计算是根据一年计息一次公式A(t)= A。(1+r）^t得分期计算公式Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)，再得复利连续计算公式A(t)=A。e^（rt）。 以复利连续计算通货膨胀率，就应该也是根据一年计算一次的通货膨胀率公式A(t)= A。(1+r）^t得分期计算公式Am(t)= A。（1+r/m）^(mt)，再得连续计算公式A(t)=A。e^（rt）。这当然是不对的。

     2 随之而来的问题是，通货膨胀率为每年4%（以复利连续计算），一年的通货膨胀率是不是4%？

     3 “在连续计算复利的情况下各年度百分率之间的关系是

                               实际利率=名义利率-通货膨胀率”

是怎么推导出来的？当然可以认为，此书中省略了推导过程。在连续计算复利的情况下，谁能证明这个等式？

就是说，这本《金融学》中说“在连续计算复利的情况下，各年度百分率之间的关系是

             实际利率=名义利率-通货膨胀率”

其含义是模糊的，方法是错误的。

    我们给出相应论述如下。

    同树木增长、细胞分裂等问题一样，用于再投资的资金A。剔除通货膨胀因素，其实际含金量也应是随时间呈指数函数连续增加的，即有

    A(t)= A。(1+实际利率）^ t ，这笔资金在任意时刻t的增值速度为

                         dA(t)/dt=（ln（1+实际利率）） A。(1+实际利率）^ t ，

这笔资金的增值速度dA(t)/dt除以总量A(t)得         ((dA(t)/dt)/A(t)= ln（1+实际利率）

ln（1+实际利率）就是在任意时刻t的1单位资金的增值速度。同理可得ln（1+名义利率）就是在任意时刻t未剔除通货膨胀1单位资金的货币量的增值速度。ln（1+通货膨胀率）是在任意时刻t的 1单位资金的通货膨胀速度。

在任意时刻t， 1单位资金货币数量的增加速度减去1单位资金的通货膨胀速度就是1单位资金实际购买力的增值速度，所以恒有

            ln（1+实际利率）=ln（1+名义利率）- ln（1+通货膨胀率）   （※）

     1 （※）式中的概念明确，数量关系准确，这是高中生都能明白的道理。

     2  得出（※）式用不到所谓“复利连续计算”。

    3  用 （※）式可准确解释费雪效应关系。

    4 （※）式可由对费雪效应公式取对数直接得出。可以证明，（※）与费雪公式等价。

   

   结论：罗伯特•C•莫顿与兹维•博迪合著的这本《金融学》中 用复利连续计算解释费雪效应公式是错误的。因为连续复利（法）本身是错误的，应用连续复利解释任何一种事物都不可能有正确解释。

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1982年中国人民大学出版社出版的《经济应用数学基础（一）微积分》77页习题19是：

已知职工人数年增长率为 v，原有职工人数为 N。 ，试确定5年后职工人数的精确值。

这个习题的答案是什么？这不是让学生越学越糊涂吗？

美国人Robert E.Whaley 的英文著作《衍生工具》2010年由机械工业出版社翻译出版，该书在推出连续复利公式A(t)= A。e^(rt)后（第34页）说
“乍一看，连续利率似乎与现实不符，但恰恰相反。假设我们要对树的增长建模，树木并不是以离散的方式增长，其增长是连续的，如果假定树木的当前高度是50英尺，每年增长率为5%，树木6个月后的高度将是50 e^(0.05*0.5)=51.266英尺”。

如果我们第一年的树高是50英尺，一年后测得树高增加5%，一年后的树高是多少？zh
如果如果我们第一年在树旁立下一根50英尺高的木头，一年后又给这根木头接高5%，一年后这根木头高度是多少？

谁见过树木是以离散方式增长的？求树木高度问题，这与树木离散的方式增长，还是连续增长有关系吗？
这是中学生都应该明白的道理。

时间变量 以t年为单位，复利公式A(t)=A。(1+r)^t 中的 r本身就是资金随时间连续不断地“利生利”的结果 。张家开了一个商店，共用资金500000元，其中有李家出的资金100000元，年末算账，除去管理、劳务、税收等各项开支外折合资金结余550000元，就是说资金增值是50000元，张家说给李家10%的利息，也就是一次还李家本息共110000元，这当然是可以的。如果张家1月末还李家本息，总额很难说超过101000元；如6个月末还李家本息，总额未必能到105000元，李家在年末得到利息率10%就是资金在一年内不断被反复使用、不断增值、不断连续地“利生利”的结果，如再用所谓连续复利公式A(t)=A。e^(rt) 将本利和计算成 110517元，实际就是将年利率10%改变为10.517%，这当然是错误的。

利率本身就是资金连续利生利的结果，也是资金连续复利的结果，在已有利率r的基础上再讲什么所谓的连续复利当然就是可笑的了。