在这里把题目的意思重述一下:
外表特征相同的十二个乒乓球,其中有一个并且只有一个重量异常(稍微轻些或稍微重些),其它十一个重量相同。
问题是找出一种解法:要求用一部没有砝码的天平最多称三次,不管是什么情形,保证一定能将那个重量异常的球找出来。
以下是其中一种解法:
12个球平均分成3份,将其中两份放在天平两边,这时有两种情况:(一)天平是平的;(二)天平不平。这已经称了1次。
如果是情形(一)。这表明放在天平上的8个都是正常的,没放的4个是含有那个异常的。从前者8个中取出2个正常的放在天平一边;把后者分成两份,取其中一份放在天平的另一边。
(1)如果天平是平的,那么含有异常的4个中没放在天平上的那两个是含有异常的。这已经称了2次。从正常的10个中取1个放到天平一边,取含异常的两个中一个放到天平的另一边。这已经称了3次。如果天平是平的,那么两个含有异常中没放到天平的那个是异常的,如果天平是不平的,那么含有异常的2个中放在天平上那个就是异常的。
(2)如果天平是不平的,那么含有异常的4个中放在天平的这两个就是含有异常的。与(1)类似可以找出异常的。
如果是情形(二)。这表明放在天平上有一边的4个中是含有异常的,天平不平,则肯定有一边比较重,这不等同于说重的一边就是含有异常的。不妨给重的这边小球分别编号1、2、3、4,把轻的另一边分别编号5、6、7、8,一定是正常的4个编号9、10、11、12。取3、6、9放到天平的一边,取4、7、8放到天平的另一边。有三种情况:(1)3、6、9这边比较重;(2)4、7、8这边比较重;(3)两边一样重。
如果是(1),那么有两种可能,一种是异常的是重球,那么3、6、9中含有异常,另一种是异常是轻球,那么4、7、8这边含有异常。如果是第一种情形,那么只能3号是异常,因为9号是正常的,6号又不在含重球的1、2、3、4之中。如果是第二种情形,那么轻球只能在7、8之中。因为4号不在含轻球的5、6、7、8之中。已经称了2次。第3次称:把7、8中两球分别放到天平两边。如果两边不平,那么哪个轻的就是异常的;如果两边平,那么3号是异常的。
如果是(2),那么也有两种可能,一种是异常的是重球,那么在4、7、8之中,另一种是异常的是轻球,那么在3、6、9之中。如果是第一种情形,那么只能4号是异常,因为7、8不在比较重的1、2、3、4之中。如果是第二种情形,那么6号是异常,因为9号是正常的,3号不在比较轻的5、6、7、8之中。第3次称:只要拿一个正常的放到天平一边,把4号或6号放到天平另一边就可以找出哪个是异常的。这就称了3次。
最后是(3),这时异常在1、2、5之中。记住,这已经称了2次。把1和2放在天平的两边。这就称了3次。如是天平是平的,那么5是异常。如果天平不平,那么重的一边是异常。因为如果轻的一边是异常的,比方说2(或者1),那么1、3、4和5、6、7、8都是正常的,这时1、2、3、4应该比5、6、7、8轻,矛盾。