Linear Functional Analysis

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Bryan P. Rynne and Martin A. Youngson

Linear Functional Analysis
Second Edition



Contents
1. Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Lebesgue Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1 Examples of Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Finite-dimensional Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. Inner Product Spaces, Hilbert Spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Orthogonal Complements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Orthonormal Bases in Infinite Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4. Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1 Continuous Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 The Norm of a Bounded Linear Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 The Space B(X,Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4 Inverses of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5. Duality and the Hahn–Banach Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1 Dual Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2 Sublinear Functionals, Seminorms and the Hahn–Banach
Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
X Contents
5.3 The Hahn–Banach Theorem in Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.4 The General Hahn–Banach theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.5 The Second Dual, Reflexive Spaces
and Dual Operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.6 Projections and Complementary Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.7 Weak and Weak-∗ Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6. Linear Operators on Hilbert Spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.1 The Adjoint of an Operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2 Normal, Self-adjoint and Unitary Operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.3 The Spectrum of an Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4 Positive Operators and Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7. Compact Operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.1 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.2 Spectral Theory of Compact Operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.3 Self-adjoint Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8. Integral and Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.1 Fredholm Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2 Volterra Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.3 Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.4 Eigenvalue Problems and Green’s Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9. Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Notation Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321



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