封闭系概率与开放系概率

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                    封闭系概率与开放系概率

                           于德浩

                          2018.1.22

先说一下摸彩票的案例。比方说，现有100万张彩票，其中有且只有一张彩票可中奖10万元。咱们把这100万张彩票搅匀了，放在一个大的玻璃桶里开始出售。每个人出两块钱就可以随机摸一张彩票。

显然，每张彩票的中奖概率是一百万分之一。而且，这个案例就是典型的全概率覆盖的封闭系问题。再进一步假设，如果这时已经售出99万张彩票，都没有中奖。请问，你愿不愿意出8万块钱高价买下剩余的1万张彩票？“当然愿意啦！既然有10万的必然大奖，这样能白赚2万，谁还不乐意呢？”

不过，现实中一般不存在这么简单直观的封闭系概率问题。一般的情况是，大约只卖到30万张或50万张彩票的时候，那个10万元的唯一大奖就出现了。顺便解释一个现象，为什么世界上几乎所有的国家都不允许私人公开兜售彩票，就是因为彩票太暴利了。就算没有作弊出老千的情形，庄家只要卖出原定1/3的彩票数目，就可以用10万的本金，赚得50万的净利润。500%的利润率啊，这比杀人越货、走私毒品的利润还要高，而且还很轻松。这世上，绝对不缺“用两块钱换100万”的彩民客户群。

言归正传，说一下现实中更常见的开放系概率问题。现有1000万张彩票，其中有且只有10张彩票可中奖100万元。咱们还是搅匀了，放到10个大玻璃桶里开始出售。每个人出两块钱就可以摸一张彩票。

这个案例，彩票中奖的概率还是一百万分之一（10/1000万），但是如果只是针对一个大玻璃桶，这个问题就是开放系问题。再继续打比方，如果第一个玻璃桶的100万张彩票，已经出售99万张，还是一个10万大奖也没出现。请问，请问，你还会愿意高价出8万元买下第一个桶里剩余的1万张彩票吗？ 一般人可能会说，“当然不会了。因为还有其他9个大桶呢，谁也没保证一定是一个桶里出一个奖啊。”

对，上面就是一个典型的开放系问题。类似的还有，我掷硬币连续3次都是正面，请问第4次出现正面的概率是多少？“还是1/2，因前面的3次都是不相干事例。”这个“不相干”就是指的开放系。也就是说，我可以断定掷硬币100次，大约有50次出现正面；但是，我不敢说，投6次就有3次正面。

这就是物理的边界条件。至于一个问题属不属于封闭系，与具体的边界条件相关。比方说，掷硬币这个事件。如果是投三五回，这就是开放系，猜正反面完全就是凭运气；而投100次，这就可以近似为一个封闭系，出现50次正面就是一个必然事件。

好，我们再回到现实的开放系彩票案例。10个玻璃瓶有1000万张彩票，这是封闭系；其中1个玻璃瓶的100万张彩票，是开放系。那么第一个玻璃瓶的100万张彩票，可不可以认为是一个近似的封闭系呢？仁者见仁智者见智，我认为，可以。

所以，要不要出高价8万元买入第一个瓶中剩余的1万张彩票。我一定会买的！这就是富贵险中求。商人比一般人的见识要更高一筹。因为，表面看好像这8万块钱可能打水漂了，但实际上商人这次的成功概率是1/10。这可比那些“两块钱换100万”的一百万分之一概率高出很多很多。

说一下现实中的投资理财案例。股票指数的年均收益率大约是10%，而银行的定期存款年利息大约是2%。就是说，如果是100万本金，拿来买股票指数，10年后收益是100万元；而若定期存款，那么收益就是20万元。可大多数人，都不会选择买股票，因为某年可能本金就会减半，风险太大了。其实啊，如果只看一两年或三五年，确实股票的平均收益率10%是没有意义的，因为这是一个开放系。但是，当把眼光放长到10年或50年，这个股票收益率就是封闭系了，概率变成了比率，风险已经内部抵消了。

再说一下彩票概率的现实应用。老百姓买的两块钱一张的福利彩票，很明显就是开放系，而且国家也点明了，“买彩票是为了捐款献爱心”。如果，你的一个亲戚朋友想买彩票发财，你当然要阻止他，因为中奖概率仅仅是几百万分之一。如果他已经买了1000张彩票都没中奖，他还想继续买，你还阻止他吗？当然要阻止了！因为1000张彩票还远没达到一个封闭系的边界条件。

如果他已经买了990000张彩票，还都没中奖；这时，你才要鼓励他再买几万或几十万张彩票去圆他的中大奖梦。不过，花200万元人民币去中奖100万元，还有什么意义吗？

在股票投资实践中，股票期权的应用就是典型的开放系概率转化为封闭系概率的问题。比方说，你拿100万元去买正股，要么盈利50万要么亏损30万；还是选择拿出1/10去买对应的认购期权，要么盈利30万要么亏损最多10万？

期权的作用是显而易见的，在大牛市或大熊市中都进退自如。但是，在慢牛行情中，期权就不行了。比方说，股票指数一年涨10%，买正股自然就是10%的收益；但是，相对应的期权却还是亏损了10%，因为刚好不能行权，这就是期权的交易费用。所以说，你不要以为期权是万能的，有期权还买正股干啥。

不过，现实中的股票常态是，剧烈涨跌。即使股票一年总体微涨10%，但每个月的波动率往往至少3%或5%，这就是股票期权存在的意义。

看一下具体的上证50ETF期权案例。现在正股价格是3.130元；平价期权3.100的价格是0.0975元（37天），0.1336元（65天），0.2078元（156天）。而对应的虚值认购期权3.400元的价格是0.0877元（156天），0.0307（65天），0.0118（37天）。

分析一下相关数据。一般来说，剩余期限一个月左右的合约，是主力合约，是热门合约。剩余37天的认购合约当前是价格0.0975元，大约是正股价格的3%。也就是说，只有股价一个月后上涨3%，现在购买并持有这个合约到期才刚好“打和”。当然，如果一个月后股价上涨6%，那么这个认购期权的预期盈利就是+100%。

不过，一般的牛市大约每年涨30%，所以，每个月+3%的涨幅是期望值假设。显然，这个得预设为每月+6%，才能实现预期较大盈利，这个有点高了，有些大胆了。

无论如何，暂且把0.0975（37天）认为是一个合理的价格。那么，当前的65天及156天剩余期的认购合约就是物美价廉了。就是说，如果0.1是一个月的合理价格，那么0.2是两个月的合理价格，0.5是5个月的合理价格。显然，目前的0.1336<0.2，0.2078<0.5。正如比尔盖茨所言，人们总是高估短期的能力，而低估长期的能力。

就投资价值来言，长期认购合约显然比短期主力合约更高。就是说，为了少支付本金，多赚点快钱，去承担更大的风险，是不值得的。

再看一下虚值合约3.400元，这个需要正股再上涨大约10%才能达到。显然，时间越短，行权的概率越小。所以，一个月的深度虚值合约价格是0.0118（37天），大约仅是正股价格0.4%。

如果，按照月涨幅+3%的期望值假设，那么三个月到期日的合约市场价可以认为是合理的价格。现在5个月的价格是0.0877，2个月的市场价是0.0307元；所以3个月的期权估价应该是0.06元左右，即每个月的期权时间价值大约是0.02元。

这么看，虚值期权的短期合约的市场价还算是理智一些。不过，概率可不是这么简单的平均去除的，因为我们一般假设股价一个月上涨+10%的概率为0。所以说，深度虚值的短期认购合约，尽量不要去碰。从另外一个角度看，短期合约的购买方风险巨大，那么卖出认购开仓的庄家，就相对风险很小。所以，大型的金融机构一般都是期权的卖方，这不需要基于股票走势方向的判断。

打个比方，期权的买方，必需要判断股价的走势；股价上涨，你才能赚钱。而认购期权的卖方，股价下跌一定是赚的；股价上涨也不一定赔，除非某个月上涨的太离谱，超过10%，才会亏损。不过，作为期权的卖方要预备大量的风险保证金，这也是中小投资者达不到的硬性条件。

最后说一下，深度虚值合约的长期投资。虚值合约投资，实际是放弃当前的短期较少利益，来换得未来长期的更大收益。比方说，现在的股价是3.1，我坚信每个月平均涨+3%，5个月后，可以达到15%的涨幅，即股价上涨为3.6。

假如，我手里现有310万元资本，那么大约购买100万正股，5个月后的预期盈利就是（3.6-3.1）*100=50万元。而如果，我把300万本金全部购买0.1元的行权价3.4元的认购期权，那么就是3000张认购期权，即3000万份正股期权。当股价从3.1元上涨到3.4元时，我一分不赚；当股价从3.4上涨到3.6元时，我将会赚得利润0.2*3000万-300万=300万元。

当然，现实中可能是前面3个月从3.1上涨到3.4元，期权市值从300万上升为400万；后面2个月正股从3.4涨到3.6元，期权市值变为600万元。

这里的最大风险就是，如果5个月后，正股价格下跌或者没有上涨到3.4元以上，那么我预支的300万元权利金将会清零。而更大的可能收益就是，如果正股价格一路高歌猛涨，5个月后上涨+30%多，股价从3.1变为4.1元，那么盈利就远远超过300万，很多很多了。

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