George E. Andrews Bruce C. Berndt 所著的 拉马努金的遗失笔记

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The Rogers–Ramanujan Continued Fraction
and Its Modular Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Two-Variable Generalizations of (1.1.10) and (1.1.11) . . . . . . . 13
1.3 Hybrids of (1.1.10) and (1.1.11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Factorizations of (1.1.10) and (1.1.11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Modular Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Theta-Function Identities of Degree 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Refinements of the Previous Identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Identities Involving the Parameter k = R(q)R2(q2). . . . . . . . . . 33
1.9 Other Representations of Theta Functions Involving R(q) . . . 39
1.10 Explicit Formulas Arising from (1.1.11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Explicit Evaluations of the Rogers–Ramanujan Continued
Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Explicit Evaluations Using Eta-Function Identities. . . . . . . . . . 59
2.3 General Formulas for Evaluating R(e−2π
√
n) and S(e−π
√
n) . . 66
2.4 Page 210 of Ramanujan’s Lost Notebook . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5 Some Theta-Function Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.6 Ramanujan’s General Explicit Formulas for the
Rogers–Ramanujan Continued Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 A Fragment on the Rogers–Ramanujan and Cubic
Continued Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
xii Contents
3.2 The Rogers–Ramanujan Continued Fraction . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 The Theory of Ramanujan’s Cubic Continued Fraction . . . . . . 94
3.4 Explicit Evaluations of G(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4 Rogers–Ramanujan Continued Fraction – Partitions,
Lambert Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Connections with Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3 Further Identities Involving the Power Series Coefficients of
C(q) and 1/C(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4 Generalized Lambert Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5 Further q-Series Representations for C(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5 Finite Rogers–Ramanujan Continued Fractions . . . . . . . . . . . . 125
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2 Finite Rogers–Ramanujan Continued Fractions . . . . . . . . . . . . . 126
5.3 A generalization of Entry 5.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4 Class Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.5 A Finite Generalized Rogers–Ramanujan Continued Fraction 140
6 Other q-continued Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2 The Main Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3 A Second General Continued Fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.4 A Third General Continued Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.5 A Transformation Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.6 Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.7 Two Entries on Page 200 of Ramanujan’s Lost Notebook . . . . 169
6.8 An Elementary Continued Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7 Asymptotic Formulas for Continued Fractions . . . . . . . . . . . . . 179
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2 The Main Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3 Two Asymptotic Formulas Found on Page 45 of
Ramanujan’s Lost Notebook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.4 An Asymptotic Formula for R(a, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8 Ramanujan’s Continued Fraction for (q2; q3)∞/(q; q3)∞ . . . . 197
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.2 A Proof of Ramanujan’s Formula (8.1.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3 The Special Case a = ω of (8.1.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.4 Two Continued Fractions Related to (q2; q3)∞/(q; q3)∞ . . . . . 213
8.5 An Asymptotic Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Contents xiii
9 The Rogers–Fine Identity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.2 Series Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.3 The Series

∞
n=0(−1)nqn(n+1)/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.4 The Series

∞
n=0 qn(3n+1)/2(1 − q2n+1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.5 The Series

∞
n=0 q3n2+2n(1 − q2n+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10 An Empirical Study of the Rogers–Ramanujan Identities . . 241
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.2 The First Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.3 The Second Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.4 The Third Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.5 The Fourth Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
11 Rogers–Ramanujan–Slater–Type Identities . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.2 Identities Associated with Modulus 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
11.3 Identities Associated with the Moduli 3, 6, and 12 . . . . . . . . . . 253
11.4 Identities Associated with the Modulus 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.5 False Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
12 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12.2 The Basic Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.3 Applications of the Partial Fraction Decompositions . . . . . . . . 265
12.4 Partial Fractions Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.5 Related Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
12.6 Remarks on the Partial Fraction Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
13 Hadamard Products for Two q-Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
13.2 Stieltjes–Wigert Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
13.3 The Hadamard Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
13.4 Some Theta Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
13.5 A Formal Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
13.6 The Zeros of K∞(zx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.7 Small Zeros of K∞(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
13.8 A New Polynomial Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
13.9 The Zeros of pn(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
13.10 A Theta Function Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
13.11 Ramanujan’s Product for p∞(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
xiv Contents
14 Integrals of Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
14.2 Preliminary Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
14.3 The Identities on Page 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
14.4 Integral Representations of the Rogers–Ramanujan
Continued Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
15 Incomplete Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
15.2 Preliminary Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
15.3 Two Simpler Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
15.4 Elliptic Integrals of Order 5 (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
15.5 Elliptic Integrals of Order 5 (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
15.6 Elliptic Integrals of Order 5 (III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
15.7 Elliptic Integrals of Order 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
15.8 Elliptic Integrals of Order 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
15.9 An Elliptic Integral of Order 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
15.10 Constructions of New Incomplete Elliptic Integral Identities . 365
16 Infinite Integrals of q-Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
16.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
17 Modular Equations in Ramanujan’s Lost Notebook . . . . . . . . 373
17.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
17.2 Eta-Function Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
17.3 Summary of Modular Equations of Six Kinds . . . . . . . . . . . . . . 384
17.4 A Fragment on Page 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
18 Fragments on Lambert Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
18.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

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关键词：Andrews George Andrew Berndt Bruce

呓暝悠殇 发表于 2018-4-15 08:49
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呓暝悠殇 发表于 2018-4-15 08:49
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