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第二十四章 描述统计
【本章考情分析】
| 年份 | 单选题 | 多选题 | 合计 |
2017年 | 3题3分 | 1题2分 | 5分 |
2016年 | 2题2分 | 2题4分 | 6分 |
2015年 | 4题4分 | 2题4分 | 8分 |
【提示】本章为2015年教材新增的一章，所以未提供2015年之前的考情信息。
【本章教材结构】
【本章主要考点】
1.集中趋势的测度—均值、中位数、众数
2.离散程度的测度—方差、标准差、离散系数
3.分布形态的测度—偏态系数、标准分数
4.变量间的相关分析—散点图及相关系数
【本章考点详解】
考点一 集中趋势的测度
集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。
一、均值
均值也就是平均数，就是数据组中所有数值的总和除以该组数值的个数。
【提示1】它是集中趋势中最主要的测度值，是一组数据的重心所在，解释了一组数据的平均水平。
【提示2】均值主要适用于数值型数据，但不适用于分类数据和顺序数据。
【提示3】均值易受极端值的影响，极端值会使得均值向极大值或极小值方向倾斜，使得均值对数据组的代表性减弱。
【例题：2014年单选题】在某城市2014年4月空气质量检测结果中，随机抽取6天的质量指数进行分析。样本数据分别是：30、40、50、60、80和100，这组数据的平均数是（）。
A.50 B. 55 C. 60 D. 70
【答案】C
【解析】均值即位平均数，本题均值=（30+40+50+60+80+100）/6=60。
二、中位数
1.含义：把一组数据按从小到大或从大到小的顺序进行排列，位置居中的数值叫做中位数 。中位数将数据分为两部分，其中一半的数据小于中位数，另一半数据大于中位数。
2.计算：根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，
n为数据的个数，其公式为：
（1）n为奇数：中位数位置是
，该位置所对应的数值就是中位数数值。
（2）n为偶数：中位数位置是介于
和(+1)之间，中位数就是这两个位置对应的数据的均值。
3.适用：中位数主要用于顺序数据，也适用于数值型数据，但不适用于分类数据，中位数不受极端值的影响，抗干扰性强。尤其适用于收入这类偏斜分布的数值型数据。
【经典例题】
【例题：2013年单选题】在某企业中随机抽取7名员工来了解该企业2013年上半年职工请假情况，这7名员工2013年上半年请假天数分别为：
1 5 3 10 0 7 2
这组数据的中位数是（）。
A．3 B．10 C．4 D．0
【答案】A
【解析】通过本题掌握中位数的计算。本题计算的关键是一定要先排序，由小到大排序后的数据是“0；1；2；3；5；7；10”。中位数直观观察即可知为“3”。
【例题：2017年单选题】2016年某企业集团下辖8个分公司的销售额分别为10000万元、800万元、1000万元、600万元、3000万元、2800万元、2200万元，这组数据中的位数是（）万元。
A．2200 B． 2800 C． 2500 D．3000
【答案】C
【解析】先将这组数据由小到大排序：600；800；1000；2200；2800；3000；3600；10000，排序后位置居中的两个数是2200和2800，中位数=（2200+2800）/2=2500万元
三、众数
1.含义：众数是指一组数据中出现次数（频数）最多的变量值。
2.适用：适于描述分类数据和顺序数据 。
有些情况下可能出现双众数、多众数或者没有众数，难以描述数据的集中趋势。
【例题：单选题】某能源公司有9个分公司，每个分公司的主营产品分别是：煤制品、有机化工原料、火电、煤制品、热力、电解铝、火电、煤制品、煤制品，则该能源分公司主营产品的众数是（ ）。
A.火电 B.煤制品 C.热力 D.有机化工原料
【答案】B
【解析】在这组数据中，煤制品出现4次，出现次数最多，故众数是煤制品。
四、均值、中位数和众数的比较及适用范围
| 集中趋势指标 | 适用数据类型 | 是否受极端值影响 | 是否利用数据的全部信息 |
众数 | 分类数据、顺序数据 | 不受 | 否 |
中位数 | 顺序数据、数值型数据 | 不受 | 否 |
均值 | 数值型数据 | 受 | 是 |
【经典例题】
【例题：多选题】适于测度顺序变量且不受极端值影响的指标有（ ）。
A．离散系数 B. 中位数 C．众数 D. 均值 E．标准差
【答案】BC
【解析】众数、中位数均适用于顺序数据，且不受极端值的影响；均值、标准差、离散系数只适用于定量变量，且受极端值的影响。
【例题：单选题】下列统计量中，适用于描述分类数据集中趋势的是（）。
A．均值 B．众数 C．中位数 D．变异系数
【答案】B
【解析】适用描述分类数据的统计指标是众数。
考点二 离散程度的测度值
离散程度反映的是各变量值远离中心值的程度。衡量离散程度的指标包括方差、标准差、离散系数。数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差，离散程度越小，其代表性就越好。
离散程度的测度指标
| 测度指标 | 含义 | 主要内容 |
方差 | 数据组中各数值与其均值离差平方的平均数 | 方差越小，说明数据值与均值的平均距离越小，均值的代表性越好。方差的单位是原数据的平方。如身高的方差是100（cm2） |
标准差 | 方差的平方根 例如，身高的方差是 100（cm2），则身高的标准差就是10cm | （1）不仅能度量数值与均值的平均距离，还与原始数值具有相同的计量单位 （2）标准差越小，说明数据值与均值的平均距离越小，均值的代表性越好 （3）标准差的大小不仅与数据的计量单位有关，也与观测值的均值大小有关 （4）不能直接用标准差比较不同变量的离散程度 |
离散系数（变异系数，标准差系数） | 标准差与均值的比值 例如，平均身高是170cm，标准差是10cm则离散系数=10cm/170cm | （1）离散系数主要用于不同类别数据离散程度的比较 （2）离散系数消除了测度单位和观测值水平不同的影响，因而可以直接用来比较变量的离散程度 |
【经典例题】
【例题：单选题】某学校学生的平均年龄为20岁，标准差为3岁；该校教师的平均年龄为38岁，标准差为3岁。比较该校学生年龄和教师年龄的离散程度，则（ ）。
A.学生年龄和教师年龄的离散程度相同
B.教师年龄的离散程度大一些
C.教师年龄的离散程度是学生年龄离散程度的1.9倍
D.学生年龄的离散程度大一些
【答案】D
【解析】 均值不同的情况下，用离散系数比较离散程度。
学生年龄的离散系数=3/20×100%=15%
教师年龄的离散系数=3/38×100%=7.89%
离散系数大的说明数据的离散程度也就大，离散系数小的说明数据的离散程度也就小。
【例题：多选题】数值型数据离散程度的测度指标有( )。
A．中位数 B．变异系数 C．均值 D．标准差 E．方差
【答案】BDE
【解析】离散程度的测度指标有方差和标准差、离散系数（变异系数）。集中程度的测度指标有众数、均值和中位数。
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