多维伊藤定理的应用问题

在一篇论文中看到这一段推导，但是按照教科书的算法我没法算出式(3)的结果，求大神指导一下推导过程，或者告知一下哪本书能解决这个问题，谢谢。

诸眼银祁 发表于 2018-12-1 01:01
请问下第二步dt前的系数是μ-0.5σ2，而不是单独的μ呢，不是利用dlnx/dx=1/x来计算的吗？

这个也是用伊藤公式来算的，因为X是随机过程，也就是dlnX=(1/X)dX - 0.5X^(-2)(dX)^(2)。
(dX)^(2)是X二次变差微分的形象表达，因为计算时一般是这么算的，比如这里dX=X(udt+sdW)
二次变差的微分就是[X^2][s^2]dt，将dX平方，根据dtdt=0,dtdW=0,dWdW=dt的规则也得到相同的结果，其实基于布朗运动的所有随机分析都可以这么做，在某个函数里如果代入的是随机过程，微分展开到二阶，代入过程的微分式（即类似dX=X(udt+sdW)的式子），然后用刚才的三个微分规则消去一些项直至只剩下包含dt和dW的项即告完成。

我试算了sigma(m)方是对的，但是过程确实不能只会套伊藤公式，Xm因为是X1和X2的函数，直接微分(伊藤意义下)后是直接包含W1和W2的，要把带W1和W2的项整体当作是一个乘了常数sigma(m)的布朗运动（根据levy定理，由于这个项的二次变差是dt乘以常数项，因此该项等价于一个乘了常数的布朗运动，因此(1)式这种表达是不矛盾的），算出这个整体项的二次变差，得到的dt项前的系数就会是sigma(m)方。

求sigmam的过程已经放上来了，求sigmay的套路是一样

crossbone254 发表于 2018-11-28 16:52
求sigmam的过程已经放上来了，求sigmay的套路是一样

请问下第二步dt前的系数是μ-0.5σ2，而不是单独的μ呢，不是利用dlnx/dx=1/x来计算的吗？

crossbone254 发表于 2018-11-28 12:13
这个也是用伊藤公式来算的，因为X是随机过程，也就是dlnX=(1/X)dX - 0.5X^(-2)(dX)^(2)。
(dX)^(2)是X二 ...

非常感谢，思路大概明白了，就是有些概念很陌生，请问可以推荐一些书吗，基础比较差，想系统学习一下

诸眼银祁 发表于 2018-12-1 10:48
非常感谢，思路大概明白了，就是有些概念很陌生，请问可以推荐一些书吗，基础比较差，想系统学习一下

Shreve的《金融随机分析》肯定是最全面的，耐下心来学完做完题肯定熟悉了。
Cerny的《金融数学技术》入门可能更快一些，但是深度没有上一本足。
Luenberger的《投资科学》也是不错的参考。
这几本都有中译，《金融数学技术》的中译小错误比较多，有能力的话建议看英文版

另外台湾国立交通大学的视频公开课《财务数学导论》也讲了这些内容

crossbone254 发表于 2018-12-1 11:19
Shreve的《金融随机分析》肯定是最全面的，耐下心来学完做完题肯定熟悉了。
Cerny的《金融数学技术》入门 ...

好的，非常感谢