全概率覆盖的约束条件
于德浩
2019.1.27
全概率覆盖的约束条件一般是指事件概率的倒数。比方说,掷硬币出现正面的概率是1/2,那么全概率覆盖的样本数目就是2次。就是说,如果要保证出现1次正面,那么只要有掷硬币两次机会就足够了。当然,按照概率乘法原理,连续2次不出现正面(即连续2次反面)的概率是1/2*1/2=25%,那么出现1次正面的概率就是75%,这好像比100%的全概率覆盖还差不少呢。同学举例说,你要是运气不好,别说“两次必中”了,就是连续10次都有可能一次正面都没有。
不过从事件触发条件来说,虽然“两次必中”绝对概率仅是75%,但总比相反的结果概率25%好的多。就是说,如果打赌,我赢的概率是对手的3倍。客观的讲,任何一件事成功的概率都要小于100%。只要成功概率大于50%,比方说是60%,我们就应该去开启这件事。当然,稳一点的话,可以把阈值提升至70%。但如果把阈值提高到90%以上,那就过于保守了,基本什么事都不能做了。
比方说,四枚硬币全是正面的概率是1/16,一般只要给的试错机会多于16次,我们就应该敢于接这个单。这时候不成功的概率是(15/16) ^16=0.36,小于50%。如果更稳一些,我们就把试错机会提升至24次,那时的失败概率就是0.21,成功概率就是80%。
实际,我真做了几组试验,投掷四枚5角的硬币,统计出现一次四面全正的出现次数。
四枚5角钱硬币 统计全正面
1 第24次 2 第44次 3 第26次 4 第3次 5 第37次
6 第8次 7 第2次 8 第23次 9 73次 10 第12次
第一组全正面 24+44+26+3+37+8+2+23+73+12=252次 理论值是160次。
1 第3次 2 第8次 3 第18次 4 第24次 5 第12次
6 第21次 7 第5次 8 第44次 9 第18次 10 第55次
第二组全正面 3+8+18+24+12+21+5+44+18+55=208次 理论值是160次。
1 第10次 2 第31次 3 第33次 4 第10次 5 第5次
6 第1次 7 第56次 8 第1次 9 第11次 10第14次
第三组全正面 10+31+33+10+5+1+56+1+11+14=172次 理论值是160次。
两正两反统计 占比6/16 理论值大约应该16/6=3次出现一次。
1 第1次 2 第5次 3 第2次 4 第5次 5 第1次
6 第2次 7 第3次 8 第1次 9 第4次 10第2次
第一组 1+5+2+5+1+2+3+1+4+2=26次 理论值是10*16/6=26.7次
1 第2次 2 第2次 3 第1次 4 第2次 5 第5次
6 第1次 7 第2次 8 第1次 9 第1次 10 第2次
第二组 2+2+1+2+5+1+2+1+1+2=19次 理论值26.7次。
由于试验次数的有限性,最大概然值的全概率覆盖与理论值基本吻合,且小于理论值。而边缘的概率很小,实验值要大于理论值。
就是说,如果要想游戏胜出,那么必须得更稳一些,如果要赌四面全正,那么试错次数16次还不行,24次或32次最稳。次数越多,当然赢的概率更大。但是,对方也不是傻子,你要求的次数多,人家就不跟你玩儿了。
在事例的最大概然值处,全概率覆盖的理论值就足够了。就是说,你要猜“两正两反”要比“四面全正”效果更好。
在股票投资中,大体估计股票的价值,并不太困难。比方说,股票价值是30,标准差是10。巴菲特的稳健投资,会在20元以下买入,40元左右卖出。如果非要等最小值10元和最大值60元,这是很危险的,有可能在一个长周期中根本不出现。
一般股票长周期的全概率覆盖,合理假设为10年,这大约是20*12*10=2400个交易日。股价在2X-3X的价格高估值大约占比2.5%,即2400*2.5%=60个交易日,大约3个自然月。这是比较合理的,即股价最后上涨20%,大约是牛市末期最后疯狂2个月;熊市初期开始暴跌1个月。
而这期间股价最高大约上涨60/10=6倍,就算是一年翻一番的大牛市也得至少持续3年才行。而如果是慢牛,那得持续七八年。