Dixit-Stiglitz (1977) 模型的详细推导

有人详细推导过吗?求共享

感谢楼主分享，谢谢！

谢谢楼主

8楼的朋友在很长时间之前问过这样一个问题：“另外效用函数求导时，有积分号怎么对Q（w）求导？积分上限是N不明白怎么求导”--也就是Note中第(2)式FOC的推导。之前我一直是将积分看作是和式来求解，从而蒙混过关的。最近重新读这个Note的时候，我觉得我可能找到了相对准确一些的答案，在这里发出来，希望大家批评指正。

假定 $I=\int_{\Omega} g(f(w))dw$, 而我们希望知道$\frac{dI}{df(w)}$。

(1) 根据方向导数的定义可知，$I$沿着$f$方向的方向导数(directional derivative)为：
$$I'(f)=\lim_{t \rightarrow 0} \frac{g(f+th)-g(f)}{th}.$$
(2) 运用洛必达法则(The L'Hospital's Rule)，上式等价于：
$$I'(f)=\lim_{t \rightarrow 0} \frac{g'(f+th)h}{h}=g'(f).$$
(3) 如果如Note中所给出的，$g(f)=f^{\rho}$，那么我们有：
$$I'(f)=g'(f)=\rho f(w)^{\rho-1}.$$
证明完毕，与Note中的结论完全一致。希望我的推导对大家有所帮助。如有错误，希望大家指出。
p.s. 第一次在论坛用Latex代码，貌似是可行的，

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回顾了一下我的推导，同意楼上rhapsodyr的评论，“这实际上还是默认了直接对定积分求导跟普通一样”。 因此上面给出的推导依然有误。看来这个问题没有得到解决，希望高手指教。

另外，在$\Omega$上对$g(f(\omega))$积分，得到的$I$应当是常数，然后常数对于函数或者说变量$f(\omega)$求导似乎应当得到0，而不是Note中的答案，这又该如何解释呢？

rudi 发表于 2014-4-28 13:24
回顾了一下我的推导，同意楼上rhapsodyr的评论，“这实际上还是默认了直接对定积分求导跟普通一样”。 因此 ...

谢谢楼主提供了交流的平台，顺便问下，有没有哪部教材给出了D-S模型的介绍和推导呢？

chenxinda 发表于 2014-4-30 19:08
谢谢楼主提供了交流的平台，顺便问下，有没有哪部教材给出了D-S模型的介绍和推导呢？

据我所知，我给的这个笔记已经算是相当详细了，在笔记的最后还有一些参考文献，不妨找来读读。D-S模型在贸易中的应用，Feenstra, 2004里面有一些介绍，不过Feenstra假定商品的数量是有限的，所以不存在后来我们对定积分求导的一些模糊之处。

rudi 发表于 2014-5-1 15:15
据我所知，我给的这个笔记已经算是相当详细了，在笔记的最后还有一些参考文献，不妨找来读读。D-S模型在贸 ...

哦，谢谢

顶起来了