请教一个竞争性产业处在长期均衡中，市场需求是线性

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一个竞争性产业处在长期均衡中，市场需求是线性的，P=a-bQ, 这里a>0，b>0,Ｑ是市场的产出。行业内每个厂商有成本函数c(q)=k^2+q^2 的相同技术。
（1）什么是长期均衡价格？
（2）设政府对行业内的每个生产厂商征收了每单位产出为t的从量税t>0。描述在长期内，这将会对部门内的的厂商数目产生怎样的影响，税后市场均衡价是什么？
（3）计算税收对消费者剩余的长期影响。证明这个税收的沉没损失大于政府在税后市场的均衡中所征收的税收收益。
（4）对生产者征收一个总量税----该税的税收收益总量与前相同，消费者更偏好哪种税？
（5）表明：在什么条件下向消费者征收一个总量税，并设计得到同前面一样的税收收益？前面任何一种税收形式受到消费者偏好吗？

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关键词：长期均衡 市场需求 竞争性 性产业 消费者偏好 请教 大侠 感激

这个问题包含了几个部分，我们一一解答：

### （1）长期均衡价格

首先找到每个厂商的边际成本（MC）。由于成本函数是 \(c(q) = k^2 + q^2\)，边际成本由一阶导数给出，即 \(\frac{dc}{dq} = 2q\).

在完全竞争市场中，长期均衡时的价格等于边际成本和平均总成本的最低点。因此，在长期均衡下：
\[ P = MC = 2q \]

为了找到市场供给量（Q）与价格的关系，我们需要将单个厂商的MC函数扩展到整个市场。假设市场上有n个厂商，则市场的总产出是每个厂商产出的总和，即 \(Q = nq\). 因此，对于整体市场而言：
\[ P = 2 \left( \frac{Q}{n} \right) \]

结合市场需求函数 \(P = a - bQ\) 和上述等式得到长期均衡的价格点。

### （2）政府对行业内的每个生产厂商征收了每单位产出为t的从量税

税收会增加单个厂商的成本，使成本函数变为 \(c(q) = k^2 + q^2 + tq\). 因此新的边际成本为 \(\frac{dc}{dq} = 2q + t\).

- **对厂商数目影响：** 长期来看，由于税收增加了生产成本，部分厂商可能退出市场（如果税后不能覆盖其平均总成本），导致厂商数量减少。
- **税后市场均衡价格：** 使用新的边际成本函数 \(P = 2q + t\) 和市场需求函数 \(P = a - bQ\). 注意到 \(Q = nq\)，我们可以通过解这两个方程来找到新的均衡价格。

### （3）税收对消费者剩余的长期影响

- **计算前后的消费者剩余变化：** 消费者剩余的变化是税前和税后需求曲线之间的面积差。
- **证明沉没损失大于税收收益：** 沉没损失包括消费者的剩余减少和生产者的剩余减少。通常，这会大于政府在税后市场的均衡中所征收的税收收益（tQ），因为还包含所谓的死重量损失。

### （4）对生产者征收一个总量税

- **比较偏好：** 如果消费者更关心价格而不是厂商的数量或类型，则他们可能会偏好从量税。但是，如果税收导致大量厂商退出市场，减少了竞争和选择，他们可能更偏好总额税，因为它通常不会直接增加产品价格。

### （5）向消费者征收一个总量税

- **条件与设计：** 向消费者征税需要保证税后收入等于之前从生产者处征收的税收。这可以通过计算前一种情况下政府的总收入，并设计新的税率来达到相同的目标。
- **偏好比较：** 如果对消费者的税不会显著改变市场价格或供应量，消费者可能会更偏好这种税制。

以上分析基于假设和理论模型，在实际应用中需考虑更多市场特性和政策效果。

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