微分概念问题再探讨

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    长期以来有关微积分理论问题的讨论从未中断过。围绕微积分基础理论问题，学术界展开了广泛的讨论。尤其是丁小平的《浅谈现行微积分原理的错误》、《略论作为微积分原理的完善的实变函数》和《微分之讲授》等系列文章发表以后，引起了很大的学术争议，有学者发文为现行微积分体系辩护。

    在汉斯出版社《理论数学》期刊中，有论文笔者认为提出一个充满争议的学术观点是一件难得的事情，故该论文就专栏《这是不同的微分变量——兼评丁先生的错误论点》等相关文章的主要观点展开深入的探讨，并希望通过系统地分析各方学术观点，进一步清楚阐释微积分原理体系确实存在逻辑错误。

    事实上，关于微分错误的讨论一直存在。南京大学数学家莫绍揆曾发表《试论微分的本质》一文，该文深刻批判了现代体系中由于强行引入微分的概念，而使得必须有dx=∆x的做法。并指出在多元微分学中可以取消微分的定义，但是考虑到微分在积分学、微分几何等地方的应用，提出取消自变量微分的定义，而保留因变量微分的定义。除此之外，米哈列·列夫索次院士，林群院士，张景中院士都认为现代的微分引入极限以后显得过于繁琐，提出不需要极限概念直接、自然却严格地建立微分和积分理论的新方法。最近林群院士和张景中院士在《高等数学研究》上发表文章，依据“平均速度一定夹在两个瞬时速度之间”的思想，通过建立差商不等式，建立了不用极限的导数理论，从而建立了一个微积分体系。

    微分概念是现行微积分体系的基础，然而微分定义却存在不可回避的逻辑矛盾。同时，现实世界和微积分方法中都需要解释瞬时变化率，而不管极限论还是截止目前为止的微商定义都没解决瞬时比的数学表达问题，因此，都是不合格的微积分原理。这种矛盾绝不像有些现行体系拥护者所解释的是“同一符号表示的不同对象”，而是由于现有的数形模型存在的缺陷导致的。本文介绍了丁小平提出的过渡性质的新的微分定义，如果在柯西意义上说新微分定义不再存在逻辑矛盾，那么也就从反面说明柯西意义的微积分原理和试批者的反驳都是站不住脚的。在此基础上，丁小平曾在新的数形模型的基础上构建了完全满足微积分方法要求的微积分原理。笔者有幸聆听过的他的讲座，这个新的微积分原理以立论的形式再次反衬了现行微积分原理的不足。

    科学应该容许质疑和讨论，经典教材的说法也并非逻辑完备无可指摘，只要这种质疑和讨论秉持持之有故言之成理的准则。因为，“有条件的怀疑是科学精神”的基本内涵，接受他人的批判，批判他人的成果，是科研工作者的权利和义务。

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