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Contents
1 Introduction 1
1.1 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Probability Density Functions 3
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1 Errors of Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Probability Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6.1 Cumulative Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6.2 Accept-Reject technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6.3 Composition Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.7 Multivariate Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7.1 Multivariate Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7.2 Errors of Bivariate Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7.3 Joint Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7.4 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Bernoulli Distribution 12
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Relation to Other Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Beta distribution 13
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Derivation of the Beta Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.5 Probability Content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.6 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Binomial Distribution 16
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.3 Probability Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.4 Cumulative Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.5 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.6 Estimation of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.7 Probability Content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Binormal Distribution 20
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2 Conditional Probability Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.3 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.4 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.5 Box-Muller Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.6 Probability Content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
i
6.7 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 Cauchy Distribution 26
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.3 Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.4 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.5 Location and Scale Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.6 Breit-Wigner Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.7 Comparison to Other Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.8 Truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.9 Sum and Average of Cauchy Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.10 Estimation of the Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.11 Estimation of the HWHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.12 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.13 Physical Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.14 Ratio Between Two Standard Normal Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8 Chi-square Distribution 36
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.3 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.4 Cumulative Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.5 Origin of the Chi-square Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.6 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.7 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.8 Confidence Intervals for the Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.9 Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.10 Probability Content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.11 Even Number of Degrees of Freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.12 Odd Number of Degrees of Freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.13 Final Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.14 Chi Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9 Compound Poisson Distribution 45
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.2 Branching Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.4 Probability Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.5 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10 Double-Exponential Distribution 47
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10.3 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10.4 Cumulative Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
10.5 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ii
11 Doubly Non-Central F-Distribution 49
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
11.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
11.3 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.4 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
12 Doubly Non-Central t-Distribution 51
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.3 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
12.4 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13 Error Function 53
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13.2 Probability Density Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
14 Exponential Distribution 54
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14.2 Cumulative Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14.4 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14.5 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
14.5.1 Method by von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
14.5.2 Method by Marsaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
14.5.3 Method by Ahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
15 Extreme Value Distribution 57
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
15.2 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
15.3 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
15.4 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
15.5 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
16 F-distribution 61
16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
16.2 Relations to Other Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
16.3 1/F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
16.4 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
16.5 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
16.6 F-ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
16.7 Variance Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
16.8 Analysis of Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
16.9 Calculation of Probability Content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
16.9.1 The Incomplete Beta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
16.9.2 Final Formulæ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
16.10 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
iii
17 Gamma Distribution 69
17.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
17.2 Derivation of the Gamma Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
17.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
17.4 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
17.5 Probability Content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
17.6 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
17.6.1 Erlangian distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
17.6.2 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
17.6.3 Asymptotic Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
18 Generalized Gamma Distribution 73
18.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
18.2 Cumulative Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
18.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
18.4 Relation to Other Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
19 Geometric Distribution 75
19.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
19.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
19.3 Probability Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
19.4 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
20 Hyperexponential Distribution 77
20.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
20.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
20.3 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
20.4 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
21 Hypergeometric Distribution 79
21.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
21.2 Probability Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
21.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
21.4 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
22 Logarithmic Distribution 81
22.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
22.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
22.3 Probability Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
22.4 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
23 Logistic Distribution 83
23.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
23.2 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
23.3 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
23.4 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
23.5 Random numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
iv
24 Log-normal Distribution 86
24.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
24.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
24.3 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
24.4 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
25 Maxwell Distribution 88
25.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
25.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
25.3 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
25.4 Kinetic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
25.5 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
26 Moyal Distribution 91
26.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
26.2 Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
26.3 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
26.4 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
26.5 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
26.6 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
27 Multinomial Distribution 95
27.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
27.2 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
27.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
27.4 Probability Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
27.5 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
27.6 Significance Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
27.7 Equal Group Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
28 Multinormal Distribution 99
28.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
28.2 Conditional Probability Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
28.3 Probability Content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
28.4 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
29 Negative Binomial Distribution 102
29.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
29.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
29.3 Probability Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
29.4 Relations to Other Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
29.4.1 Poisson Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
29.4.2 Gamma Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
29.4.3 Logarithmic Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
29.4.4 Branching Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
29.4.5 Poisson and Gamma Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
29.5 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
v
30 Non-central Beta-distribution 108
30.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
30.2 Derivation of distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
30.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
30.4 Cumulative distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
30.5 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
31 Non-central Chi-square Distribution 110
31.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
31.2 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
31.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
31.4 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
31.5 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
31.6 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
32 Non-central F-Distribution 113
32.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
32.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
32.3 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
32.4 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
32.5 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
33 Non-central t-Distribution 116
33.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
33.2 Derivation of distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
33.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
33.4 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
33.5 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
33.6 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
34 Normal Distribution 119
34.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
34.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
34.3 Cumulative Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
34.4 Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
34.5 Addition Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
34.6 Independence of x and s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
34.7 Probability Content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
34.8 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
34.8.1 Central Limit Theory Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
34.8.2 Exact Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
34.8.3 Polar Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
34.8.4 Trapezoidal Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
34.8.5 Center-tail method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
34.8.6 Composition-rejection Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
34.8.7 Method by Marsaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
34.8.8 Histogram Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
34.8.9 Ratio of Uniform Deviates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
34.8.10Comparison of random number generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
vi
34.9 Tests on Parameters of a Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
35 Pareto Distribution 133
35.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
35.2 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
35.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
35.4 Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
36 Poisson Distribution 134
36.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
36.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
36.3 Probability Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
36.4 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
36.5 Addition Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
36.6 Derivation of the Poisson Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
36.7 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
36.8 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
37 Rayleigh Distribution 138
37.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
37.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
37.3 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
37.4 Two-dimensional Kinetic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
37.5 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
38 Student’s t-distribution 141
38.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
38.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
38.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
38.4 Cumulative Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
38.5 Relations to Other Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
38.6 t-ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
38.7 One Normal Sample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
38.8 Two Normal Samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
38.9 Paired Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
38.10 Confidence Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
38.11 Testing Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
38.12 Calculation of Probability Content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
38.12.1 Even number of degrees of freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
38.12.2 Odd number of degrees of freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
38.12.3 Final algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
38.13 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
39 Triangular Distribution 150
39.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
39.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
39.3 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
vii
40 Uniform Distribution 151
40.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
40.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
40.3 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
41 Weibull Distribution 152
41.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
41.2 Cumulative Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
41.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
41.4 Random Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
42 Appendix A: The Gamma and Beta Functions 154
42.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
42.2 The Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
42.2.1 Numerical Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
42.2.2 Formulæ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
42.3 Digamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
42.4 Polygamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
42.5 The Incomplete Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
42.5.1 Numerical Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
42.5.2 Formulæ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
42.5.3 Special Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
42.6 The Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
42.7 The Incomplete Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
42.7.1 Numerical Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
42.7.2 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
42.8 Relations to Probability Density Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
42.8.1 The Beta Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
42.8.2 The Binomial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
42.8.3 The Chi-squared Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
42.8.4 The F-distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
42.8.5 The Gamma Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
42.8.6 The Negative Binomial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
42.8.7 The Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
42.8.8 The Poisson Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
42.8.9 Student’s t-distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
42.8.10 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
43 Appendix B: Hypergeometric Functions 167
43.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
43.2 Hypergeometric Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
43.3 Confluent Hypergeometric Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Mathematical Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Errata et Addenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
viii
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

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