再找猛人证明外部性导致资源配置无效率！！！！！

同志们，好多天了，难道就没有人能解出来吗？

其实思路很简单，由于没有具体参数值，所以表达起来不是很方便。
X=G(lx)
Y=F(ly,x)
证明：(1)、社会最优：Max. 联合利润(X,Y)=X*Px+Y*Py-Wx*lx-Wy*ly
                                                                  =G(lx)*px+F(ly,G(lx))*Py-Wx*lx-Wy*ly
                  一阶条件：dpi/dlx=G'(lx)*px+F2'*G'(lx)*Py-Wx=0
                                   dpi/dly=F1'*Py-Wy=0
                 结论是：G'(lx)=Wx/(px+F2'*Py)      。。。。。。。。。。[1]
                               F1'(ly)=Wy/py                    。。。。。。。。。。[2]
           (2)、市场自发配置资源：Max. A厂商利润，满足：G'(lx)=Wx/Px；。。。。[3]
                                                  Max.B厂商利润，满足：F1'(ly,x)=Wy/py，其中X的取值由第一个条件确定。。。[4]
    显然，假设是负外部性，则：F2'<0,且Py>0，则F2'*Py<0，这样：[1]#[3]，从而[2]#[4]；所以市场自发配置资源的结果是偏离于社会最优结果的，由此可知存在帕累托改进。
    因此，负外部性的情况下，市场自发的资源配置不是帕累托有效，得证。

占位，然后细看！

斯塔克博格模型是非完全竞争下的寡头博弈，说明了垄断是非效率的，这个与外部性貌似没有必然的联系啊！

注意效用函数的形式,X厂商的产量进入了Y厂商的生产函数,这里假设存在负外部效应.

实际上是这样的，flying确实说得很好，但我理解这个答案还不是楼主想要的。

楼主只是想关心——要素市场的资源配置效率。

假设Lx=(Lx1,Lx2),Ly=(Ly1,Ly2)，那么，整个要素市场的要素就有两种——L1,L2

无论是有负外部性，还是无负外部性，着眼于这两类要素，无论哪个厂都能实现：

MRTS = MP1 / MP2 = VMP1 / VMP2 = W1 / W2

其中W1是L1的价格，W2是L2的价格。

即：厂商X的MRTS = 厂商Y的MRTS

所以，无论有无楼主所说的外部性，要素市场都达到了——帕累托最优！

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以上是始终着眼于两种要素L1,L2的要素市场所能够得到的结论。

但是，当Y厂商的生产函数受到X产品产量影响时，这个要素市场实际上就增加了一个新要素：

（1）无负外部性时：要素市场只有两种要素——L1,L2

（2）有负外部性后：要素市场就变成三种要素了——L1,L2,X

如果我们不考虑这个新来的要素X，那么，如上面所说——要素市场始终都处于帕累托最优状态！

但是，当我们考虑要素X，从而根本地将前后两种要素市场加以区分时，我们就会看到：

X要素的价格被定为0，但X要素却强制的被Y企业“雇佣”，而且它的边际贡献与0这个价格很不相衬。

X要素污染了Y企业，它辛辛苦苦地“贡献”着，但是，它没有得到任何“回报”

对于Y厂商而言：MRTSx,1 <> 0 / W1, MRTSx,2 <> 0 / W2 （其中<>为不等于符号）

对于X厂商而言：MRTSx,1 = 0 / W1, MRTSx,2 = 0 / W2

故：Y厂商MRTS <> X厂商MRTS

你只需要将市场上Y企业“强制雇佣”的要素X全部配置到X厂去，很显然，X厂的产量不会有变化，但Y厂产量会提高，这就是帕累托改进。

你画一个埃奇沃斯盒就可以清楚看到这一点。

综上，如果两厂商不联合，且Y厂商无法问X厂商要“污染费”，那么（2）所示的新要素市场就达不到帕累托最优！

如果Y企业“给予”X要素“回报”——即“惩罚费”或“污染费”

那么，X企业实际上是就等于会损失利润！间接地，X要素等于是同时在减少X产品的产量！

也就是说，Y企业“雇佣”的要素X，同时也在被X企业所“雇佣”！

如果X厂商多雇佣——deltaL1个要素L1

那么，L1的边际产量近似表示为——MP1 = deltaX / deltaL1

但是，deltaX这个X要素的增量必会遭到Y厂的报复，加收“污染费”，假设每单位的费用为W3，那么实际上我们用下列公式算得要素X对厂商X的边际产量：

MPx = VMPx / Px = [ (- W3 * deltaX) / deltaX ] / Px = - W3 / Px

这是人为计算的量，它并不代表要素X真的能直接影响X的产量，它仅代表Y厂的“惩罚费”等同于使X厂白生产了多少X产品。

故MRTSx,1 = (- W3 / Px) / MP1 = - W3 / (Px*MP1)

最优时必有Px*MP1 = W1

故，最优时必有——MRTSx,1 = - W3 / W1

另外，对于Y厂，最优时自然也有：

MRTSx,1 = - W3 / W1

对于Y厂，该式理解起来很简单，故略去不说。

于是，在Y厂向X厂收取“污染费”后，要素市场存在：

X厂的MRTSx,1 = Y厂的MRTSx,1

同理可得：

X厂的MRTSx,2 = Y厂的MRTSx,2

即：

X厂的MRTS = Y厂的MRTS

此时，根据“Y企业“雇佣”的要素X，同时也在被X企业所“雇佣”！”的原则，Y与X企业“雇佣”的要素X同样多！

如果将Y企业“雇佣”的要素X转移到X企业中，由于我们假定MPx = VMPx / Px = [ (- W3 * deltaX) / deltaX ] / Px = - W3 / Px，故X企业产量会减少！这相当于我们设立第三方机构代Y企业向X企业征收多转移的这批要素X的“污染费”（就是这么奇怪，转移到X企业还要问X企业要“污染费”！），那么，就相当于使X企业的实际产量减少！

另外，我们命令第三方机构不得把“污染费”转交给Y企业！因为我们假设Y厂也有VMPx = - W3，要素X从Y企业处转走已经可以使它的总收入增加W3了，如果还要将“污染费”给Y企业，那就相当于VMPx = - 2W3了，这不符合我们的计算。即使是这样，X要素的转走也意味着Y企业产量的增加！

于是，将要素X从Y厂移到X厂，两者产量一个增加一个减少！

同理，将要素X从X厂移到Y厂，两者产量还是一个增加一个减少！

只不过此时是成立第三方机构代X厂付“污染费”给Y厂，但并不问X厂索要补偿。

由此可见，此时无论怎样配置资源，都不能使两者都受益。

即：

如果两厂商可以联合，或Y厂商可以向X厂商要“污染费”，那么（2）所示的新要素市场就可以达到帕累托最优！

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综上：

（1）在W3=0时，三种要素的要素市场显然没有达到帕累托最优状态，但是，如果你不承认X是一种新要素，你只看剩下的L1，L2要素，那么，要素市场仍处于帕累托最优状态。

（2）在W3可以被Y企业操纵时，三种要素的要素市场达到了帕累托最优状态，当然，如果你不承认X是一种要素，那么，在只考虑L1,L2要素的要素市场上，当然更是处于帕累托最优状态了。