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楼主: WHAND

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[资料共享] AHP | 层次分析法原理及Python实现 [推广有奖]

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WHAND

发表于 2020-2-25 13:21:52 |只看作者 |坛友微信交流群|倒序 |AI写论文

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<div class="pinggu_markdown">
<div class="pinggu_markdown__html"><h1 id="ahp--层次分析法原理及python实现">AHP | 层次分析法原理及Python实现</h1>
<blockquote>
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T. L. Saaty）于20世纪70年代中期提出，用于确定评价模型中各评价因子/准则的权重，进一步选择最优方案。该方法仍具有较强的主观性，判断/比较矩阵的构造在一定程度上是拍脑门决定的，一致性检验只是检验拍脑门有没有自相矛盾得太离谱。
</blockquote>
[TOC]
<h4 id="目录">目录</h4>
1. AHP模型构建
2. AHP单排序
 2.1. 构造判断/比较矩阵
 2.2. 计算因子/准则权重
 2.3. 一致性检验
3. AHP总排序
参考文献
<h2 id="ahp模型构建">1. AHP模型构建</h2>
在深入分析问题的基础上，将决策的目标、考虑的因素和决策对象按相关关系分为最高层、中间层和最低层。
<ul>
<li>最高层：决策的目的、要解决的问题</li>
<li>中间层：主因素，考虑的因素、决策的准则</li>
<li>最低层：决策时的备选方案，也可为中间层的子因素</li>
</ul>
层次分析法的多级递阶层次模型分为三类：完全相关性结构（上层每一因素与下层所有因素均有联系）、完全独立性结构（上层每一因素都有独立的下层要素）、混合型结构（前述两种结构的混合结构）。本例为完全独立性结构，如下图。
<img src="https://upload-images.jianshu.io/upload_images/20447423-6f9b7118ae46247c.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240" alt="">
<h2 id="ahp单排序">2. AHP单排序</h2>
层次分析法涉及多层次的因素打分与赋权，首先针对中间层的主因素进行AHP单排序。
<h3 id="构造判断比较矩阵">2.1. 构造判断/比较矩阵</h3>
通过各因素之间的两两比较确定合适的标度：将不同因素（因素 <math><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math>i与因素<math><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math>j）两两作比获得的值<math><semantics><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a_{ij}</annotation></semantics></math>aij 填入到矩阵<math><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math>M的<math><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math>i行<math><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math>j列的位置，成对比较矩阵中的取值可<math><semantics><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a_{ij}</annotation></semantics></math>aij参考Satty的提议，如下表所示。
<img src="https://upload-images.jianshu.io/upload_images/20447423-cfdc44879a1896e6.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240" alt="">

<table>
<thead>
<tr>
<th align="center">因素i比因素j</th>
<th align="center">分值</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td align="center">同等重要</td>
<td align="center">1</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">稍微重要</td>
<td align="center">3</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">较强重要</td>
<td align="center">5</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">强烈重要</td>
<td align="center">7</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">极端重要</td>
<td align="center">9</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">两相邻判断的中间值</td>
<td align="center">2，4，6，8</td>
</tr>
</tbody>
</table>本例的中间层主因素有经济提升、住房改善、保障改善、社区福利、改革参与心理改善，构建矩阵的如下表所示。对角线上恒定为1，因为是和自己做比。
<img src="https://upload-images.jianshu.io/upload_images/20447423-03c0948033ff47a4.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240" alt="image.png">

<table>
<thead>
<tr>
<th>评价</th>
<th>经济提升</th>
<th>住房改善</th>
<th>保障改善</th>
<th>社区福利</th>
<th>改革参与</th>
<th>心理改善</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>经济提升</td>
<td>1</td>
<td>a12</td>
<td>a13</td>
<td>a14</td>
<td>a15</td>
<td>a16</td>
</tr>
<tr>
<td>住房改善</td>
<td>a21</td>
<td>1</td>
<td>a23</td>
<td>a24</td>
<td>a25</td>
<td>a26</td>
</tr>
<tr>
<td>保障改善</td>
<td>a31</td>
<td>a32</td>
<td>1</td>
<td>a34</td>
<td>a35</td>
<td>a36</td>
</tr>
<tr>
<td>社区福利</td>
<td>a41</td>
<td>a42</td>
<td>a43</td>
<td>1</td>
<td>a45</td>
<td>a46</td>
</tr>
<tr>
<td>改革参与</td>
<td>a51</td>
<td>a52</td>
<td>a53</td>
<td>a54</td>
<td>1</td>
<td>a55</td>
</tr>
<tr>
<td>心理改善</td>
<td>a61</td>
<td>a62</td>
<td>a63</td>
<td>a64</td>
<td>a65</td>
<td>1</td>
</tr>
</tbody>
</table>对上表进行简化即可获得如下矩阵，该矩阵称为判断/比较矩阵： 
<math><semantics><mrow><mi>M</mi><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable><mtr><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>11</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>12</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>13</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>14</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>15</mn></msub></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>21</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>22</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>23</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>24</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>25</mn></msub></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>31</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>32</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>33</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>34</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>35</mn></msub></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>41</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>42</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>43</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>44</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>45</mn></msub></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>51</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>52</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>53</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>54</mn></msub></mstyle></mtd><mtd><mstyle sc riptlevel="0" displaystyle="false"><msub><mi>a</mi><mn>55</mn></msub></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">
M=\left(\begin{array}{lllll}
{a_{11}} &amp; {a_{12}} &amp; {a_{13}} &amp; {a_{14}} &amp; {a_{15}} \\
{a_{21}} &amp; {a_{22}} &amp; {a_{23}} &amp; {a_{24}} &amp; {a_{25}} \\
{a_{31}} &amp; {a_{32}} &amp; {a_{33}} &amp; {a_{34}} &amp; {a_{35}} \\
{a_{41}} &amp; {a_{42}} &amp; {a_{43}} &amp; {a_{44}} &amp; {a_{45}} \\
{a_{51}} &amp; {a_{52}} &amp; {a_{53}} &amp; {a_{54}} &amp; {a_{55}}
\end{array}\right)
</annotation></semantics></math>M=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11a21a31a41a51a12a22a32a42a52a13a23a33a43a53a14a24a34a44a54a15a25a35a45a55⎠⎟⎟⎟⎟⎞
<h3 id="计算因子准则权重">2.2. 计算因子/准则权重</h3>
显然判断矩阵<math><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math>M是正互反矩阵，即满足以下条件： 
<math><semantics><mrow><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">i</mi><mo>)</mo><mspace width="1em"></mspace><msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo separator="true">,</mo><mspace width="1em"></mspace><mo>(</mo><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow><mo>)</mo><mspace width="1em"></mspace><msub><mi>a</mi><mrow><mi>j</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mfrac><mspace width="1em"></mspace><mo>(</mo><mi>i</mi><mo separator="true">,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo separator="true">,</mo><mn>2</mn><mo separator="true">,</mo><mo>⋯</mo>&ThinSpace;<mo separator="true">,</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">
(\mathrm{i}) \quad a_{i j}&gt;0, \quad(\mathrm{ii}) \quad a_{j i}=\frac{1}{a_{i j}} \quad(i, j=1,2, \cdots, n)
</annotation></semantics></math>(i)aij>0,(ii)aji=aij1(i,j=1,2,⋯,n)
进一步，将满足以下条件的正互反矩阵称为一致性矩阵： 
<math><semantics><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mi>a</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo separator="true">,</mo><mspace width="1em"></mspace><mi mathvariant="normal">∀</mi><mi>i</mi><mo separator="true">,</mo><mi>j</mi><mo separator="true">,</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo separator="true">,</mo><mn>2</mn><mo separator="true">,</mo><mo>⋯</mo><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">
a_{i j} a_{j k}=a_{i k}, \quad \forall i, j, k=1,2, \cdots n
</annotation></semantics></math>aijajk=aik,∀i,j,k=1,2,⋯n
直观的理解：如果i对j的重要程度是a，j对k的重要程度是b，那么i对k的重要程度应该a*b，类似于传递性。
一致性矩阵具有如下重要性质：若一致性矩阵<math><semantics><mrow><mi>R</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">R</annotation></semantics></math>R的最大特征值<math><semantics><mrow><msub><mi>λ</mi><mi>max</mi><mo>⁡</mo></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\lambda_{\max }</annotation></semantics></math>λmax对应的特征向量为<math><semantics><mrow><mi>W</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mo fence="true">(</mo><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub><mo separator="true">,</mo><mo>⋯</mo>&ThinSpace;<mo separator="true">,</mo><msub><mi>w</mi><mi>n</mi></msub><mo fence="true">)</mo></mrow><mi>T</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">W=\left(w_{1}, \cdots, w_{n}\right)^{T}</annotation></semantics></math>W=(w1,⋯,wn)T, 则<math><semantics><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>j</mi></msub></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a_{i j}=\frac{w_{i}}{w_{j}}</annotation></semantics></math>aij=wjwi。
结合判断矩阵的构建可知**<math><semantics><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a_{ij}</annotation></semantics></math>aij表示因素<math><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math>i相对于因素<math><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math>j的重要性，而<math><semantics><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>j</mi></msub></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a_{i j}=\frac{w_{i}}{w_{j}}</annotation></semantics></math>aij=wjwi，因此可以将<math><semantics><mrow><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">w_{i}</annotation></semantics></math>wi与<math><semantics><mrow><msub><mi>w</mi><mi>j</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">w_j</annotation></semantics></math>wj分别作为因素<math><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math>i与因素<math><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math>j的绝对重要性,也即因素<math><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math>i与因素<math><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math>j的权重，从而<math><semantics><mrow><mi>W</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">W</annotation></semantics></math>W即为各因素的权重向量**。还须对向量<math><semantics><mrow><mi>W</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">W</annotation></semantics></math>W进行归一化处理：每个权重除以权重和作为自己的值，最终总和为1。
然而判断矩阵<math><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math>M一般不满足一致性，但是仍将其当做一致矩阵来处理，从而获得一组权重，但是这组权重能不能被接受，需要进行一致性检验。
<h3 id="一致性检验">2.3. 一致性检验</h3>
一致性检验是指对判断矩阵<math><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math>M确定不一致的允许范围。<math><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math>n阶一致阵的唯一非零特征根为<math><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math>n，<math><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math>n阶正互反阵<math><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math>M的最大特征根 <math><semantics><mrow><msub><mi>λ</mi><mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\lambda_{max} \geq n</annotation></semantics></math>λmax≥n时，<math><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math>M为非一致矩阵，<math><semantics><mrow><msub><mi>λ</mi><mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\lambda_{max}</annotation></semantics></math>λmax比<math><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math>n 大的越多，<math><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math>M的不一致性越严重；当且仅当 <math><semantics><mrow><msub><mi>λ</mi><mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\lambda_{max} = n</annotation></semantics></math>λmax=n时，<math><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math>M为一致矩阵。因此可由<math><semantics><mrow><msub><mi>λ</mi><mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">λ_{max}</annotation></semantics></math>λmax 是否等于 n 来检验判断矩阵<math><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math>M是否为一致矩阵。
具体的一致性指标用<math><semantics><mrow><mi>C</mi><mi>I</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">CI</annotation></semantics></math>CI计算，<math><semantics><mrow><mi>C</mi><mi>I</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">CI</annotation></semantics></math>CI越小，说明一致性越大。<math><semantics><mrow><mi>C</mi><mi>I</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">CI=0</annotation></semantics></math>CI=0，有完全的一致性；<math><semantics><mrow><mi>C</mi><mi>I</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">CI</annotation></semantics></math>CI 接近于0，有满意的一致性；CI 越大，不一致越严重。 
<math><semantics><mrow><mi>C</mi><mi>I</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>λ</mi><mi>max</mi><mo>⁡</mo></msub><mo>−</mo><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">
CI=\frac{\lambda_{\max }-n}{n-1}
</annotation></semantics></math>CI=n−1λmax−n
考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的，因此引入随机一致性指标<math><semantics><mrow><mi>R</mi><mi>I</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">RI</annotation></semantics></math>RI衡量随机因素所造成的一致性偏离的大小： 
<math><semantics><mrow><mi>R</mi><mi>I</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><msub><mi>I</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><mi>C</mi><msub><mi>I</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><mi>C</mi><msub><mi>I</mi><mi>n</mi></msub></mrow><mi>n</mi></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">
R I=\frac{C I_{1}+C I_{2}+\cdots+C I_{n}}{n}
</annotation></semantics></math>RI=nCI1+CI2+⋯+CIn
随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关，一般情况下，矩阵阶数越大，则出现一致性随机偏离的可能性也越大，<math><semantics><mrow><mi>R</mi><mi>I</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">RI</annotation></semantics></math>RI指标通过查表获得：

<table>
<thead>
<tr>
<th>矩阵阶数 n</th>
<th>1</th>
<th>2</th>
<th>3</th>
<th>4</th>
<th>5</th>
<th>6</th>
<th>7</th>
<th>8</th>
<th>9</th>
<th>10</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>RI</td>
<td>0</td>
<td>0</td>
<td>0.58</td>
<td>0.90</td>
<td>1.12</td>
<td>1.24</td>
<td>1.32</td>
<td>1.41</td>
<td>1.45</td>
<td>1.49</td>
</tr>
</tbody>
</table><img src="https://upload-images.jianshu.io/upload_images/20447423-2dc93049b4a51019.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240" alt="image.png">
最终使用的检验统计量为检验系数CR，公式如下： 
<math><semantics><mrow><mi>C</mi><mi>R</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>R</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">
CR=\frac{CI}{RI}
</annotation></semantics></math>CR=RICI
当<math><semantics><mrow><mi>C</mi><mi>R</mi><mo>&lt;</mo><mn>0.10</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">CR&lt;0.10</annotation></semantics></math>CR<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则须要对判断矩阵作适当修正。
<hr>
以下为AHP单排序的示例代码
<pre class=" language-python"><code class="prism language-python">import numpy as np
class AHP:
#传入的np.ndarray是的判断矩阵
def __init__(self,array):
 self.array = array
 # 记录矩阵大小
 self.n = array.shape[0]
 # 初始化RI值,用于一致性检验 
 RI_list = [0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]
 self.RI = RI_list[self.n-1]

#获取最大特征值和对应的特征向量
def get_eig(self):
 #numpy.linalg.eig() 计算矩阵特征值与特征向量
 eig_val ,eig_vector = np.linalg.eig(self.array)
 #获取最大特征值
 max_val = np.max(eig_val)
 max_val = round(max_val.real, 4)
 #通过位置来确定最大特征值对应的特征向量
 index = np.argmax(eig_val)
 max_vector = eig_vector[:,index]
 max_vector = max_vector.real.round(4)
 #添加最大特征值属性
 self.max_val = max_val
 #计算权重向量W
 weight_vector = max_vector/sum(max_vector)
 weight_vector = weight_vector.round(4)
 #打印结果
 print("最大的特征值: "+str(max_val))
 print("对应的特征向量为: "+str(max_vector))
 print("归一化后得到权重向量: "+str(weight_vector))
 return weight_vector

#测试一致性
def test_consitst(self):
 #计算CI值
 CI = (self.max_val-self.n)/(self.n-1)
 CI = round(CI,4)
 #打印结果
 print("判断矩阵的CI值为" +str(CI))
 print("判断矩阵的RI值为" +str(self.RI))
 #分类讨论
 if self.n == 2:
 print("仅包含两个子因素，不存在一致性问题")
 else:
 #计算CR值
 CR = CI/self.RI
 CR = round(CR,4)
 #CR < 0.10才能通过检验
 if CR < 0.10 :
 print("判断矩阵的CR值为" +str(CR) + "，通过一致性检验")
 return True
 else:
 print("判断矩阵的CR值为" +str(CR) + "，未通过一致性检验")
 return False
</code></pre>
<h2 id="ahp总排序">3. AHP总排序</h2>
总排序本质上是对最底层重复AHP单排序过程，此处不再赘述，仅给出子因素总权重计算公式以及一致性检验统计量公式。
若中间层<math><semantics><mrow><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A</annotation></semantics></math>A包含<math><semantics><mrow><mi>m</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">m</annotation></semantics></math>m个因素主因素<math><semantics><mrow><mo>{</mo><msub><mi>A</mi><mn>1</mn></msub><mo separator="true">,</mo><msub><mi>A</mi><mn>2</mn></msub><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><msub><mi>A</mi><mi>m</mi></msub><mo>}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\{A_1, A_2, ..., A_m\}</annotation></semantics></math>{A1,A2,...,Am}，其层次总排序权值分别为<math><semantics><mrow><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo separator="true">,</mo><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><msub><mi>a</mi><mi>m</mi></msub><mo>)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(a_1, a_2, ..., a_m)</annotation></semantics></math>(a1,a2,...,am)，最底层<math><semantics><mrow><mi>B</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">B</annotation></semantics></math>B包含<math><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math>n个子因素<math><semantics><mrow><mo>{</mo><msub><mi>B</mi><mn>1</mn></msub><mo separator="true">,</mo><msub><mi>B</mi><mn>2</mn></msub><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><msub><mi>B</mi><mi>m</mi></msub><mo>}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\{B_1, B_2, ..., B_m\}</annotation></semantics></math>{B1,B2,...,Bm}，它们对于因素<math><semantics><mrow><msub><mi>A</mi><mi>j</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A_j</annotation></semantics></math>Aj的层次单排序权值分别为<math><semantics><mrow><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub><mo separator="true">,</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>j</mi></mrow></msub><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mi>m</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(b_{1j}, b_{2j}, ..., b_{mj})</annotation></semantics></math>(b1j,b2j,...,bmj)。当<math><semantics><mrow><msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">B_i</annotation></semantics></math>Bi与<math><semantics><mrow><msub><mi>A</mi><mi>j</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A_j</annotation></semantics></math>Aj无联系时，<math><semantics><mrow><msub><mi>b</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">b_{ij}=0</annotation></semantics></math>bij=0。则最底层的子因素<math><semantics><mrow><mi>B</mi><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Bi</annotation></semantics></math>Bi总权重公式为 
<math><semantics><mrow><msub><mi>W</mi><mrow><mi>b</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>m</mi></munderover><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover><msub><mi>b</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mi>a</mi><mi>j</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">
W_{bi} = \sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{n}b_{i j} a_{j}
</annotation></semantics></math>Wbi=j=1∑mi=1∑nbijaj
用<math><semantics><mrow><mi>C</mi><mi>I</mi><mo>(</mo><mi>j</mi><mo>)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">CI(j)</annotation></semantics></math>CI(j)与<math><semantics><mrow><mi>R</mi><mi>I</mi><mo>(</mo><mi>j</mi><mo>)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">RI(j)</annotation></semantics></math>RI(j)分别表示对主因素<math><semantics><mrow><msub><mi>A</mi><mi>j</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A_j</annotation></semantics></math>Aj对应的子因素<math><semantics><mrow><msub><mi>B</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">B_{ij}</annotation></semantics></math>Bij进行单排序所计算的<math><semantics><mrow><mi>C</mi><mi>I</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">CI</annotation></semantics></math>CI与<math><semantics><mrow><mi>R</mi><mi>I</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">RI</annotation></semantics></math>RI值，则一致性检验公式为： 
<math><semantics><mrow><mi>C</mi><mi>R</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>m</mi></munderover><mi>C</mi><mi>I</mi><mo>(</mo><mi>j</mi><mo>)</mo><msub><mi>a</mi><mi>j</mi></msub></mrow><mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>m</mi></munderover><mi>R</mi><mi>I</mi><mo>(</mo><mi>j</mi><mo>)</mo><msub><mi>a</mi><mi>j</mi></msub></mrow></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">
C R=\frac{\sum_{j=1}^{m} C I(j) a_{j}}{\sum_{j=1}^{m} R I(j) a_{j}}
</annotation></semantics></math>CR=∑j=1mRI(j)aj∑j=1mCI(j)aj
<h2 id="参考文献">参考文献</h2>
[1] 百度百科. 层次分析法[EB/OL]. <a href="https://baike.baidu.com/item/%E5%B1%82%E6%AC%A1%E5%88%86%E6%9E%90%E6%B3%95/1672?fr=aladdin">https://baike.baidu.com/item/层次分析法/1672?fr=aladdin</a>.
[2] 吃机智豆长大的少女乙. 数学建模之层次分析法（AHP)[EB/OL]. <a href="https://blog.csdn.net/weixin_41806692/article/details/82415621">https://blog.csdn.net/weixin_41806692/article/details/82415621</a>, 2018-09-05.
[3] 杜世平, 汪建, 马文彬. 层次模糊综合评价法在校园环境质量评价中的应用[J]. 安徽农业科学, 2008, 36(10).
[4] Blue Mountain. 建模算法（十一）——层次分析法[EB/OL]. <a href="https://www.cnblogs.com/BlueMountain-HaggenDazs/p/4278049.htmlxu">https://www.cnblogs.com/BlueMountain-HaggenDazs/p/4278049.htmlxu</a>, 2015-02-06.
[5] pwtd_huran. Python实现AHP（层次分析法）[EB/OL]. <a href="https://blog.csdn.net/pwtd_huran/article/details/80405807">https://blog.csdn.net/pwtd_huran/article/details/80405807</a>, 2018-05-22.
[6] SPSSAU. 模糊综合评价法如何在软件中操作？[EB/OL]. <a href="https://www.zhihu.com/question/29715379/answer/654379638">https://www.zhihu.com/question/29715379/answer/654379638</a>, 2019-04-17.
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