请问增长核算公式的推导

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根据宏观生产函数 Y=AF(N,K)
请问△Y=MPN*△N+MPK*△K+F(N,K)*△A 的式子时怎么来的？
如果是根据微分的话
也应该是△Y=A*MPN*△N+A*MPK*△K+F(N,K)*△A啊
请问我错在哪里了，谢谢高手指教！

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关键词：生产函数 MPK 推导 宏观经济 公式 多恩不什 增长核算方程

其实很简单，关键在于你混淆了MPN到底是Y的边际劳动，还是F(N,K)的边际劳动，也就是说，其实MPN=dY/dN,而不是MPN=dF(N,K)/dN。
如果把Y写成这样，可能更好理解些：
Y=f(A,K,N)=AF(N,K)   也就是说Y是三个变量A,K,N的函数，两边求微分
dY= f'N(A,K,N)*dN+ f'K(A,K,N)*dK+ f'A(A,K,N)*dA
偏导数f'N(A,K,N)= MPN，f'K(A,K,N)=MPK, f'A(A,K,N)= F(N,K)
上式再换成△，
     △Y=MPN*△N+MPK*△K+F(N,K)*△A

您的问题在于对生产函数Y=AF(N,K)的理解和应用微分时的处理。实际上，在增长核算公式中，您提到的式子是从总产量关于要素投入（劳动N和资本K）以及技术A的变化率出发推导而来的。

首先，让我们从生产函数开始：\[ Y = A \cdot F(N, K) \]

当我们讨论△Y、△N、△K和△A时，我们实际上是在考虑这些变量的微小变化如何影响总产量。要理解为什么公式是\[ △Y = MP_N\cdot△N + MP_K\cdot△K + Y\cdot(△A/A)\] 而不是您提到的形式，我们需要更深入地探讨生产函数的性质和微分的应用。

1. **MP_N (劳动边际产量)** 和 **MP_K (资本边际产量)** 分别定义为当其他条件不变时，增加一单位N或K对Y的影响。即\[ MP_N = \frac{dY}{dN} \] 和 \[ MP_K = \frac{dY}{dK}\]

2. 在应用微分时，生产函数的全微分为：\[ dY = A\cdot\left(\frac{\partial F}{\partial N}dN + \frac{\partial F}{\partial K}dK\right) + F(N, K)dA \] 这里我们利用了链式法则和偏导数的概念。

3. 但是，通常在增长核算的上下文中，我们会假设技术变化（A的变化）对其他两个因素（N和K）的影响是独立的。这意味着\[ dY = A\cdot MP_NdN + A\cdot MP_KdK + Y\cdot(dA/A)\]

4. **将微分表达式转化为增量表达式**，我们得到您提到的增长核算公式：\[ △Y \approx MP_N\cdot△N + MP_K\cdot△K + F(N, K)*\frac{△A}{A} = MP_N\cdot△N + MP_K\cdot△K + Y*\frac{△A}{A}\]

请注意，我将最后一项中的\[ F(N,K) \] 替换为总产量Y。这是因为根据生产函数的定义，\[ Y = A\cdot F(N, K)\] 所以\[ F(N, K) = Y/A\] 但在计算增长贡献时，通常会用总产量Y来表示技术变化的影响。

所以您的疑问主要在于对微分应用和增量表达式的理解。在经济学分析中，我们往往从全微分出发，然后根据问题的特定条件简化为增量公式或增长率表达式进行分析。

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