09Springer新书-Fundamentals of Stochastic Filtering-Alan Bain

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Alan Bain · Dan Crisan
Fundamentals of Stochastic Filtering
Alan Bain
BNP Paribas
10 Harewood Av
London NW1 6AA
United Kingdom
alan.bain@bnpparibas.com
Dan Crisan
Department of Mathematics
Imperial College London
180 Queen’s Gate
United Kingdom
d.crisan@imperial.ac.uk

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关键词：Fundamentals Fundamental Fundamenta Stochastic Filtering

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 The Contents of the Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Historical Account . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Part I Filtering Theory
2 The Stochastic Process  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 The Observation -algebra Yt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 The Optional Projection of a Measurable Process . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Probability Measures on Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 The Weak Topology on P(S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 The Stochastic Process  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Regular Conditional Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Right Continuity of Observation Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Bibliographical Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 The Filtering Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 The Filtering Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Two Particular Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 X a Diusion Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 X a Markov Process with a Finite Number of States . . . 51
3.3 The Change of Probability Measure Method . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Unnormalised Conditional Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 The Zakai Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6 The Kushner{Stratonovich Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.7 The Innovation Process Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8 The Correlated Noise Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.9 Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.10 Bibliographical Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 Uniqueness of the Solution to the Zakai and the
Kushner{Stratonovich Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1 The PDE Approach to Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 The Functional Analytic Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3 Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4 Bibliographical Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5 The Robust Representation Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1 The Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2 The Importance of a Robust Representation . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3 Preliminary Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4 Clark's Robustness Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.5 Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.6 Bibliographic Note. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6 Finite-Dimensional Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.1 The Benes Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.1.1 Another Change of Probability Measure . . . . . . . . . . . . . . 142
6.1.2 The Explicit Formula for the Benes Filter . . . . . . . . . . . . 144
6.2 The Kalman{Bucy Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.1 The First and Second Moments of the Conditional Distribution of the Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2.2 The Explicit Formula for the Kalman{Bucy Filter . . . . . 154
6.3 Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7 The Density of the Conditional Distribution of the Signal . 165
7.1 An Embedding Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.2 The Existence of the Density of t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3 The Smoothness of the Density of t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.4 The Dual of t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.5 Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Part II Numerical Algorithms
8 Numerical Methods for Solving the Filtering Problem . . . . . 191
8.1 The Extended Kalman Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.2 Finite-Dimensional Non-linear Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.3 The Projection Filter and Moments Methods . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.4 The Spectral Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.5 Partial Dierential Equations Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.6 Particle Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.7 Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9 A Continuous Time Particle Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.2 The Approximating Particle System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.2.1 The Branching Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.3 Preliminary Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.4 The Convergence Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.5 Other Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.6 The Implementation of the Particle Approximation for t . . . . . 250
9.7 Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10 Particle Filters in Discrete Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10.1 The Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10.2 The Recurrence Formula for t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
10.3 Convergence of Approximations to t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10.3.1 The Fixed Observation Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10.3.2 The Random Observation Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.4 Particle Filters in Discrete Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.5 Ospring Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.6 Convergence of the Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
10.7 Final Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.8 Solutions to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Part III Appendices
A Measure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
A.1 Monotone Class Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
A.2 Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
A.3 Topological Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
A.4 Tulcea's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
A.4.1 The Daniell{Kolmogorov{Tulcea Theorem . . . . . . . . . . . . 301
A.5 Cadlag Paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
A.5.1 Discontinuities of Cadlag Paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
A.5.2 Skorohod Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
A.6 Stopping Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
A.7 The Optional Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
A.7.1 Path Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
A.8 The Previsible Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
A.9 The Optional Projection Without the Usual Conditions . . . . . . 319
A.10 Convergence of Measure-valued Random Variables . . . . . . . . . . . 322
A.11 Gronwall's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.12 Explicit Construction of the Underlying
Sample Space for the Stochastic Filtering Problem . . . . . . . . . . . 326
B Stochastic Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
B.1 Martingale Theory in Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
B.2 It^o Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
B.2.1 Quadratic Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
B.2.2 Continuous Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
B.2.3 Integration by Parts Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
B.2.4 It^o's Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
B.2.5 Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
B.3 Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
B.3.1 Girsanov's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
B.3.2 Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
B.3.3 Novikov's Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
B.3.4 Stochastic Fubini Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
B.3.5 Burkholder{Davis{Gundy Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . 353
B.4 Stochastic Dierential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
B.5 Total Sets in L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
B.6 Limits of Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
B.7 An Exponential Functional of Brownian motion . . . . . . . . . . . . . 360
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Author Name Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Subject Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

这么好的书，我顶你个肺 啊

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