求：“连续性公理”推导“无差异曲线不会只有一个点”的证明过程

9# sungmoo

        我可能没有表述清楚。我不懂：“消费集合是离散拓扑”和“无差异曲线只有一个点”为什么有联系。当初学的时候，可能是拓扑学没有学好，我想了很久都不明白其中的联系！{:3_63:}

       给的链接也已经看了，但是还是感觉模糊，请sungmoo版主详细的解释一下下！谢谢！







{:3_59:}

huangyuzhu 发表于 2010-11-13 16:25  我是这样解的：连续性意味着：对于所有x，上等值集和下等值集均为闭集.也就是说，它们包括了边界。根据这个定义，用反证法，证明“无差异曲线如果只有一个点”则“连续性公理”不成立。假设无差异曲线只有一个点a。扣除无差异曲线点a外的部分只能分为两个部分，一部分为严格好于这个点的，另一部分是严格劣于这个点的。找出这两个部分的“边界点”。“边界点”的含义是以任意e>0为半径，“边界点”为圆心做圆，这个区域内必然即包含严格好于a的区域和严格劣于a的区域。找到一个边界点b，在严格好于a的区域能找到一个序列{Yi}，{Yi}的极限是b，且每个Yi都严格好于a，因此b严格好于a。在严格劣于a的区域能找到一个序列{Zi}，{Zi}的极限也是b，且每个Zi都严格劣于a，因此b严格劣于a。b即严格好于a又严格劣于a、推出矛盾。

这种推理默认了度量拓扑。

设消费集Ω是欧氏空间Rn中的子集；设≿是Ω上的一个偏好（由此可以进一步定义≻）。∀x∈Ω：定义W(x)={a∈Ω|x≻a}，B(x)={a∈Ω|a≻x}。

若≿是连续的，则∀x∈Ω：W(x)与B(x)都是开集；此时，若某一无差异曲线是独点集{x}，可知W(x)与B(x)不相交，且W(x)∪B(x)=Ω\{x}，于是Ω\{x}不是连通的。

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另外，对于偏好而言，也许不该用“上下等值集”这样的概念（它们应该对应某一函数。而此时理论中还未引入效用函数），而改用“劣集”与“优集”之类的概念。

huangyuzhu 发表于 2010-11-13 17:20 我不懂：“消费集合是离散拓扑”和“无差异曲线只有一个点”为什么有联系

若关于消费集的拓扑是离散的，则消费集的任意子集（包括独点集）都既开又闭——无论消费集是否是有限的。这样，（按定义）任何偏好都将是“连续的”（包括字典式偏好）。此时，若消费集是有限的，无差异曲线完全可以是单点集。

当，消费者收入一定时，只会存在一条无差异曲线，是消费者的效用最大啊，你问的是什么意思啊？

月光之上 发表于 2010-11-21 14:04 当，消费者收入一定时，只会存在一条无差异曲线，是消费者的效用最大啊

楼主的问题，关于偏好本身，而无关消费者最优化选择。

围观围观  来看看

15# sungmoo

sungmoo楼主，好佩服您哦{:3_47:} ！能介绍一些您阅读的书目吗，好提高一下自己的水平。

希望能赶上楼主的水平！