Elementary Functional Analysis (free) by Barbara D. MacCluer

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1 Hilbert Space Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Normed Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Hilbert Space Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Linear Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Operator Theory Basics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1 Bounded Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Adjoints of Hilbert Space Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Adjoints of Banach Space Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 The Big Three . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1 The Hahn–Banach Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Principle of Uniform Boundedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Open Mapping and Closed Graph Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Quotient Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Banach and the Scottish Caf´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Finite-Dimensional Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 A Preliminary Spectral Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 The Invariant Subspace Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5 Introduction to the Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6 The Fredholm Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5 Banach and C∗-Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 First Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 Results on Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3 Ideals and Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4 Commutative Banach Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5 Weak Topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.6 The Gelfand Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.7 The Continuous Functional Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.8 Fredholm Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6 The Spectral Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.1 Normal Operators Are Multiplication Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.2 Spectral Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Appendix A: Real Analysis Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
A.1 Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
A.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
A.3 Lp Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
A.4 The Stone–Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
A.5 Positive Linear Functionals on C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

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关键词：Functional Elementary function Analysis MacCluer

谢谢LZ~~~~~~

这个不错啊  讲的很基础 但是很深入

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