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| 文件名: 崔尚斌. 数学分析教程.2.pdf | |
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第一册目录 第1章 实数域和初等函数 1 1.1 实数的运算与序 1 习题1.1 4 1.2 实数域的完备性 6 1.2.1 完备性的含义 6 1.2.2 戴德金原理 7 1.2.3 确界原理 10 习题1.2 12 1.3 初等函数 13 1.3.1 幂的定义 13 1.3.2 幂函数与指数函数 16 1.3.3 对数的存在性和对数函数 18 1.3.4 三角函数和反三角函数 20 1.3.5 初等函数 25 习题1.3 27 第2章 数列的极限 29 2.1 数列极限的定义 29 2.1.1 数列的概念 29 2.1.2 数列的极限及其定义 30 2.1.3 例题 34 2.1.4 用逻辑语言表述极限定义 38 习题2.1 41 2.2 数列极限的性质 42 习题2.2 48 2.3 趋于无穷的数列和三个记号 50 2.3.1 趋于无穷的数列 50 2.3.2 三个记号 52 习题2.3 58 2.4 几个重要的定理 59 2.4.1 单调有界原理 59 2.4.2 一个重要的极限 62 2.4.3 区间套定理 63 2.4.4 列紧性原理 64 2.4.5 柯西收敛准则 65 习题2.4 67 2.5 上极限和下极限 70 习题2.5 75 第3章 函数的极限和连续性 78 3.1 函数的极限 78 3.1.1 函数极限的定义 78 3.1.2 函数极限的性质与运算 82 3.1.3 复合函数的极限 85 3.1.4 与数列极限的关系 87 习题3.1 89 3.2 函数的极限(续) 91 3.2.1 单侧极限和x趋于无穷时的极限 91 3.2.2 两个重要的极限 94 3.2.3 无穷小量和无穷大量及其阶的比较 96 习题3.2 98 3.3 函数的连续性 101 3.3.1 函数连续性的定义 101 3.3.2 连续函数的运算 106 3.3.3 间断点的分类 107 3.3.4 两个例子 108 习题3.3 110 3.4 连续函数的性质 112 3.4.1 闭区间上连续函数的基本性质 112 3.4.2 闭区间上连续函数的一致连续性 116 习题3.4 120 第4章 函数的导数 122 4.1 导数的定义 122 4.1.1 导数概念的引出 122 4.1.2 导数的定义 125 4.1.3 可导必连续 130 4.1.4 导数的四则运算 131 习题4.1 133 4.2 复合函数与反函数的导数 135 4.2.1 复合函数的导数 135 4.2.2 反函数的导数 137 4.2.3 基本的求导公式 139 4.2.4 隐函数的导数 140 4.2.5 对数求导法 141 4.2.6 由参数方程所确定曲线的切线斜率 142 习题4.2 143 4.3 函数的微分 146 4.3.1 微分的定义 146 4.3.2 微分与导数的关系 149 4.3.3 微分的运算法则 150 4.3.4 微分的几何意义和在近似计算中的应用 152 习题4.3 154 4.4 高阶导数 155 4.4.1 高阶导数 155 4.4.2 莱布尼茨公式 159 4.4.3 隐函数的高阶导数 161 4.4.4 高阶微分 163 习题4.4 164 4.5 向量函数的导数 166 习题4.5 171 第5章 导数的应用 174 5.1 微分中值定理 174 习题5.1 179 5.2 洛必达法则 182 习题5.2 190 5.3 利用导数判定两个函数相等 191 习题5.3 197 5.4 函数的增减性与极值 198 5.4.1 函数增减性的判定 198 5.4.2 函数达到极值的充分条件 202 5.4.3 极值问题的应用举例 203 习题5.4 206 5.5 函数的凸凹性 208 5.5.1 凸函数和凹函数 208 5.5.2 利用导数判别函数的凸凹性 211 5.5.3 詹森不等式及其应用 214 习题5.5 216 5.6 泰勒公式 218 习题5.6 226 5.7 方程求根的牛顿迭代公式 229 习题5.7 233 5.8 函数的作图 234 习题5.8 240 第6章 不定积分 241 6.1 原函数与不定积分 241 习题6.1 244 6.2 换元积分法和分部积分法 245 6.2.1 第一换元积分法 245 6.2.2 第二换元积分法 247 6.2.3 分部积分法 250 习题6.2 254 6.3 几类初等函数的积分 257 6.3.1 有理函数的积分 257 6.3.2 三角函数有理式的积分 261 6.3.3 某些无理函数的积分 265 习题6.3 268 附录A 关于实数的进一步讨论 271 附录B 把有理真分式表示为最简分式之和 285 综合习题 287 参考文献 303 第二册目录 第7章 定积分 1 7.1 定积分的概念和基本性质 1 7.1.1 定积分概念的引出 1 7.1.2 定积分的定义 5 7.1.3 定积分的基本性质 8 习题7.1 14 7.2 定积分的计算 17 7.2.1 微积分基本定理 17 7.2.2 定积分的换元积分法和分部积分法 20 习题7.2 24 7.3 连续函数的可积性 28 7.3.1 连续函数的可积性 28 7.3.2 积分中值定理 30 7.3.3 连续函数原函数的存在性 32 习题7.3 33 7.4 函数可积的达布准则 36 7.4.1 上积分和下积分 36 7.4.2 达布准则 39 7.4.3 可积函数乘积的可积性 44 7.4.4 积分第二中值定理 45 习题7.4 48 第8章 定积分的应用 52 8.1 定积分在分析学中的应用 52 8.1.1 一阶线性微分方程 52 8.1.2 格朗沃尔引理 53 8.1.3 积分型余项的泰勒公式 54 8.1.4 高阶原函数 55 8.1.5 斯特林公式 57 习题8.1 58 8.2 定积分在几何学中的应用 59 8.2.1 平面图形的面积 60 8.2.2 旋转体的体积 64 8.2.3 旋转体的侧面积 66 8.2.4 曲线的弧长 69 习题8.2 71 8.3 定积分在物理学中的应用 74 8.3.1 已知质量密度求质量与质心和已知电荷密度求电量 74 8.3.2 由质点构成的曲线对质点的吸引力和带电导线对点电荷的库仑力 77 8.3.3 变力做的功 80 8.3.4 万有引力定律的导出 81 习题8.3 86 第9章 广义积分 88 9.1 无穷积分 88 9.1.1 问题的引出 88 9.1.2 无穷积分的定义 90 9.1.3 无穷积分敛散性的判定 94 习题9.1 101 9.2 瑕积分 104 9.2.1 瑕积分的定义 104 9.2.2 瑕积分敛散性的判定 107 9.2.3 瑕积分与无穷积分的关系 111 习题9.2 112 9.3 一些定积分公式的推广 114 习题9.3 122 第10章 无穷级数 124 10.1 无穷级数的基本概念 124 10.1.1 级数问题的提出 124 10.1.2 无穷级数收敛与发散的概念 129 习题10.1 133 10.2 正项级数 135 10.2.1 正项级数的概念及其敛散性准则 135 10.2.2 比较判别法 137 10.2.3 检比法和检根法 141 10.2.4 积分判别法 144 习题10.2 145 10.3任意项级数 149 习题10.3 157 10.4 级数的代数运算 160 习题10.4 170 10.5 零测集和勒贝格定理 172 习题10.5 177 第11章 函数序列和函数级数 179 11.1 函数序列的一致收敛 179 11.1.1 问题的提出 179 11.1.2 函数序列一致收敛的定义 185 11.1.3 一致收敛函数序列的性质 190 习题11.1 195 11.2 魏尔斯特拉斯逼近定理和阿尔采拉一阿斯科利定理 196 11.2.1 魏尔斯特拉斯第一逼近定理 197 11.2.2 魏尔斯特拉斯第二逼近定理 201 11.2.3 阿尔采拉一阿斯科利定理 203 习题11.2 207 11.3 函数序列的积分平均收敛 210 11.3.1 P方可积函数 210 11.3.2 积分平均收敛 213 习题11.3. 220 11.4 函数级数 222 11.4.1 函数级数的逐点收敛和一致收敛 222 11.4.2 一致收敛的判别法 224 11.4.3 和函数的性质 229 11.4.4 函数级数的积分平均收敛 231 习题11.4 234 第12章 幂级数 237 12.1 幂级数的收敛区域 237 习题12.1 243 12.2 和函数的性质 244 习题12.2 251 12.3 函数的幂级数展开 253 12.3.1 函数展开成幂级数的必要条件和充分条件 254 12.3.2 基本初等函数的幂级数展开 257 12.3.3 解析函数 261 习题12.3 265 第13章 傅里叶级数 268 13.1 函数的傅里叶级数 269 习题13.1 277 13.2 傅里叶级数收敛的条件 279 13.2.1 部分和的表示式 279 13.2.2 黎曼局部化原理 281 13.2.3 迪尼一利普希茨收敛定理 286 13.2.4 狄利克雷收敛定理 290 习题13.2 294 13.3 傅里叶级数的性质 296 13.3.1 由函数的光滑性推断傅里叶系数的衰减性 296 13.3.2 由傅里叶系数的衰减性推断函数的光滑性 298 习题13.3 303 13.4 傅里叶级数的积分平均收敛 305 习题13.4 311 13.5 有限区间上的傅里叶展开 313 习题13.5 322 综合习题 324 参考文献 338 第三册目录 第14章 多元函数的极限和连续性 1 14.1 Rm中的点列和点集 1 14.1.1 Rm中的运算和距离 1 14.1.2 Rm中点列的极限 3 14.1.3 Rm中的点集 5 14.1.4 几个重要定理 7 习题14.1 10 14.2 多元函数的概念 12 14.3 多元函数的极限 16 14.3.1 沿集合s的极限和全极限 16 14.3.2 方向极限和沿曲线的极限 21 14.3.3 累次极限 24 14.3.4 向量函数的极限 27 习题14.3 29 14.4 多元连续函数 31 14.4.1 多元函数连续性的定义与运算 31 14.4.2 多元连续函数的性质 33 习题14.4 38 第15章 多元数量函数的微分学 41 15.1 偏导数和全微分 41 15.1.1 偏导数 41 15.1.2 全微分 45 15.1.3 全微分与偏导数的关系 46 习题15.1 50 15.2 方向导数和梯度 52 15.2.1 方向导数 52 15.2.2 梯度 53 15.2.3 微分中值定理 55 习题15.2 56 15.3 复合函数的偏导数和隐函数定理 57 15.3.1 复合函数的偏导数 57 15.3.2 复合函数的全微分 60 15.3.3 隐函数的偏导数和隐函数定理 61 习题15.3 67 15.4 高阶偏导数和泰勒公式 70 15.4.1 高阶偏导数和高阶全微分 70 15.4.2 m重指标和高阶偏导数的简写记号 75 15.4.3 泰勒公式 77 习题15.4 79 15.5 微分学的几何应用 83 习题15.5 86 第16章 多元向量函数的微分学 89 16.1 线性变换与矩阵分析初步 89 16.1.1 线性变换与矩阵的代数理论 89 16.1.2 线性变换与矩阵的范数 93 16.1.3 可逆矩阵的摄动定理 97 习题16.1 99 16.2 多元向量函数的偏导数与全微分 100 习题16.2 105 16.3 隐函数定理和反函数定理 106 16.3.1 压缩映射原理 106 16.3.2 隐函数定理 107 16.3.3 反函数定理 111 16.3.4 满射定理和单射定理 112 习题16.3 114 第17章 多元函数的极值 118 17.1 简单极值问题 118 习题17.1 123 17.2 条件极值问题 125 17.2.1 求稳定点的拉格朗日乘数法 125 17.2.2 拉格朗日乘数法的几何解释 133 习题17.2 136 第18章 含参变量的积分 139 18.1 含参变量的定积分 139 习题18.1 146 18.2 含参变量的广义积分 149 18.2.1 含参量广义积分的一致收敛 149 18.2.2 含参量广义积分的性质 153 习题18.2 161 18.3 欧拉积分 164 18.3.1 伽马函数 164 18.3.2 贝塔函数 165 习题18.3 169 第19章 重积分 171 19.1 Rm中点集的若尔当测度 171 19.1.1 若尔当测度的定义 172 19.1.2 若尔当可测的等价条件 175 19.1.3 若尔当测度的运算性质 177 习题19.1 180 19.2 重积分的定义和性质 182 19.2.1 重积分的定义 182 19.2.2 函数可积的达布准则 185 19.2.3 重积分的性质 187 习题19.2 188 19.3 重积分的计算 189 19.3.1 化重积分为累次积分 189 19.3.2 二重积分的计算 191 19.3.3 三重积分的计算 195 19.3.4 m重积分的计算 198 习题19.3 201 19.4 重积分的变元变换 204 19.4.1 变元变换的一般公式 204 19.4.2 一些常用的积分变元变换 210 19.4.3 m维球坐标变换 218 习题19.4 221 19.5 曲面的面积 224 习题19.5 229 19.6 重积分的物理应用 229 19.6.1 质心的计算 230 19.6.2 转动惯量的计算 231 19.6.3 万有引力的计算 232 习题19.6 234 第20章 曲线积分和曲面积分 235 20.1 第一型曲线积分和曲面积分 235 20.1.1 第一型曲线积分 236 20.1.2 第一型曲面积分 239 20.1.3 物理应用 242 习题20.1 244 20.2 第二型曲线积分和曲面积分 246 20.2.1 第二型曲线积分 247 20.2.2 第二型曲面积分 254 习题20.2 261 20.3 三个重要公式 265 20.3.1 格林公式 265 20.3.2 高斯公式 269 20.3.3 斯托克斯公式 273 习题20.3 276 第21章 广义重积分和含参量的重积分 279 21.1 广义重积分和含参量的重积分 279 21.1.1 广义重积分 279 21.1.2 含参变量的重积分 284 习题21.1 287 21.2 函数的磨光及其应用 290 21.2.1 函数的磨光 290 21.2.2 截断函数和单位分解定理 297 21.2.3 延拓定理 299 习题21.2 303 第22章 场论初步 305 22.1 关于场的基本概念 305 22.1.1 等值面和积分曲线 306 22.1.2 方向导数和梯度 梯度场和势函数 309 习题22.1 313 22.2 向量场的通量和散度 314 22.2.1 向量场的通量 314 22.2.2 向量场的散度 316 22.2.3 无源场及其性质 318 习题22.2 319 22.3 向量场的环量和旋度 320 22.3.1 向量场的环量 320 22.3.2 向量场的旋度 321 22.3.3 无旋场及其性质 323 习题22.3 325 22.4 一些重要定理 326 22.4.1 梯度、散度和旋度联合的一些运算公式 326 22.4.2 保守场及其等价条件 327 22.4.3 亥姆霍兹分解定理 330 习题22.4 337 22.5 平面和曲面上的向量场 338 22.5.1 平面上的向量场 338 22.5.2 曲面上的向量场 340 习题22.5 342 第23章 微分形式和斯托克斯公式 343 23.1 反对称多线性函数和外积 343 23.1.1 反对称多线性函数 343 23.1.2 外积运算 349 习题23.1 350 23.2 微分形式和外微分 351 23.2.1 微分形式 351 23.2.2 外微分运算 353 23.2.3 闭形式和恰当形式 356 习题23.2 360 23.3 微分形式的变元变换和积分 361 23.3.1 微分形式的变元变换 361 23.3.2 微分形式的积分 367 习题23.3 376 23.4 斯托克斯公式 379 23.4.1 微分流形 379 23.4.2 流形上的积分 386 23.4.3 斯托克斯公式 388 习题23.4 391 综合习题 393 参考文献 408 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