• 除了底下之常用模型，跟大家推薦"最新的（即将发表）"面板门槛模型（擁有許多 Hansen 模型沒有之優點），例如 Hansen (1999) 基本就是考虑固定效果 (fixed effects)， 然而 CMPR (2016) 的新面板门槛模型不仅考虑固定效果，同时也考虑 (i) 内生性 (endogeneity), (ii) 异质的动态 (heterogeneous dynamics), 与 (iii) 横断面相依性 (cross-sectional error dependence). 詳情请见 https://bbs.pinggu.org/thread-4771282-1-1.html 。
  

• 南开大学的王群勇老师于 Stata Journal 发表了一个正式的面板门槛模型指令，请在 Stata 中打 findit xthreg，然后下载相关程序，大家可以尝试看看！为了方便大家，也可在此下载 。
• 该文章（目前需要订 Stata Journal 才可下载）为 Wang, Q. (2015), "Fixed-effect panel threshold model using Stata." Stata Journal, 15(1), 121–134. 其网址如下：http://www.stata-journal.com/article.html?article=st0373 没文章可能对你使用该 command 影响没那么大，可以 help xthreg 并看其简要说明，应该也可以大致了解！
• 此外，该文章的 sample code/data 可在此下载！
• 我也有一份有关（面板）门槛模型的英文讲义，可供大家免费下载，有问题或不详尽的地方也欢迎指教!
  

1. 简介（与相关资源）：此模型乃是 Bruce E. Hansen 于 1999 年在 可在此下载。
2. 例子：以一个宏观经济（横断面）的例子来说，假设我们想分析 (利用跨国资料）通货膨胀（inflation, $\pi_i$）对经济增长 (growth, $g_i$) 的影响效果。一般的观察是，当通货膨胀较低的时候，其与经济增长间可能是没关系（统计上不显著）或是某种较弱的正关系；但当通货膨胀非常高时（以较极端之数字，例如为 100% 时），其对经济增长之影响效果一般可能是负面的。换言之，通货膨胀与经济增长间可能有"两种"关系，而此"两种"关系则决定于通货膨胀的高低 (是否超越过一个未知、待估的门槛值)！一般的"线性"回归只能提供一个关系（$+, -,$ or $0$），所以无法适当描述上述的不同情况，这时候，我们就可考虑"非线性的"门槛回归 （横断面资料，原则上应也可适用于时间序列资料，但须满足一些条件，例如变量必须是定态 stationary；请见 Hansen, 2000）如下：[LaTex]g_i=\left\{\begin{array}{ll}
\beta_{1,0}+\beta_{1,1}\pi_i+e_i, & \mbox{if $q_i\le \gamma$} \\
\beta_{2,0}+\beta_{2,1}\pi_i+e_i, & \mbox{if $q_i> \gamma$}
\end{array} \right. =\left\{\begin{array}{ll}
\beta_1'x_i+e_i, & \mbox{if $q_i\le \gamma$} \\
\beta_2'x_i+e_i, & \mbox{if $q_i> \gamma$}
\end{array} \right.
[/LaTex]其中，$q_i$ 为门槛变量（此例为通货膨胀 $\pi_i$，"刚好"也是解释变量之一；在一般情况下，门槛变量 $q_i$ 并不需要一定为解释变量之一），而$\gamma$ 为未知的门槛值（可用最小平方法 OLS 来估计），此外，$x_i=(1,\pi_i)'$。在低通货膨胀区间（也就是 $q_i\le \gamma$），我们预期 $\beta_{1,1}$ 不显著易于 $0$ （或是边际显著的正）；但在高通货膨胀区间（也就是 $q_i>\gamma$），我们预期 $\beta_{2,1}$ 将会显著地小于 $0$（或是显著的负）。請見下圖：
改天再多补一些应用例子！
3. 而从横断面资料到面板资料门槛模型，这时我们可以允许无法观察的异质性（下列回归之 $\mu_i$， unobserved heterogeneity -- 面板资料模型之特色），同时也允许斜率之异质性（下列回归之 $\beta_1$ 与 $\beta_2$ 不一样）。以一个门槛（所以两个区间）为例，该模型可设定为：[LaTex]y_{it}=\left\{\begin{array}{ll}
\mu_i+\beta_1'x_{it}+e_{it}, & \mbox{if $q_i\le \gamma$} \\
\mu_i+\beta_2'x_{it}+e_{it}, & \mbox{if $q_i>\gamma$}
\end{array} \right.
[/LaTex]重要相关计量问题：1. 估计（estimation）：如同一般面板模型一样 （fixed effec, FE)，估计过程中先消除 $\mu_i$，然后利用 least squares 来估计相关参数，细节请参阅 Hansen (1999)。2. 检定（inference）：此部分主要在检定是否真的存在非线性的门槛效果，即$H_0:\, \beta_1=\beta_2$。很不幸地，该检定涉及到扰攘参数（nuisance parameter），亦即在虚无假设下，有些参数不见了（例如门槛值 $\gamma$），其导致一般检定统计量所对应之分配为非标准的，所以我們無法查一般的表來求取 $p$-value，因此我们必須仰赖（例如） bootstraping procedure 来求得对应之 $p$-value，用来决定是否要拒绝 $H_0$？一般而言，若 $p$-value 很小（say, < 10\%），我们可以拒绝虚无假设（线性模型，因为 $\beta_1=\beta_2$），才适合进一步的门槛回归分析！