<P>Lecture Notes in Financial Economicsoffered by Prof. Antonio Mele at the London School of Economics and Political Science</P>

<P>Contents
1 The static model of general equilibrium 9
1.1 The agents’ rational plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Walras’ Law and homogeneity of degree zero of the excess demand functions 12
1.3 Competitive equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Back toWalras’ law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 The notion of numéraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Amonetary digression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Dichotomy or neutrality? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2 Money as an additional source of endowments . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 A model à la Magill-Quinzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.4 “Breakup” of financialmarkets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6 Appendix 1: Exercises and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7 Appendix 2: Separation of two convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 Appendix 3: Existence and unicity of equilibrium . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8.1 Construction of amap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8.2 Proof of existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8.3 Fixed points and t&acirc;tonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.4 A philosophical digression around the clock: physical time vs. ∞ t&acirc;tonnement time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8.5 Unicity and stability of the equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 An introduction to time and uncertainty 39
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 The role of financial assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Arbitrage and optimality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1 How to price a financial asset? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Absence of arbitrage opportunities and Arrow-Debreu economies . 43
2.4 Equivalent martingalemeasures and equilibrium . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.1 The rational expectations assumption . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.2 Rewriting the constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.3 Equilibrium, optimality and computational issues . . . . . . . . . . 51
2.4.4 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.5 Several commodities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.6 Incomplete markets: the finite state-space case . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6.1 Nominal assets and real indeterminacy of the equilibrium . . . . . 58
2.6.2 Nonneutrality ofmoney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7 Static portfolio selection problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7.1 The constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7.2 The program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7.3 The programwithout a safe asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7.4 The market (or “tangency”) portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.8 The static CAPM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.9 Broader definitions of risk - Rothschild and Stiglitz theory . . . . . . . . . 70
2.10 Appendix 1: Exercises and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.11 Appendix 2: On analytics of mean-variance portfolio choice . . . . . . . . 76
2.11.1 The primal program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.11.2 The dual program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.12 Appendix 3: Some foundational issues in probability theory . . . . . . . . 79
2.12.1 Heuristic considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.12.2 The probabilistic setup of reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3 Infinite horizon economies 83
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 The neoclassic growthmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.1 Decentralized economy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.2 Centralized economy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.3 Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3 Recursive formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4 The Lucas’model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.1 First order conditions: a heuristic derivation by means of a marginalist
argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.2 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.3 Rational expectations equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4.4 Arrow-Debreu state prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4.5 Derivation of the CAPMwith consumption . . . . . . . . . . . . . 98
3.4.6 CCAPM: further notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5 Real interest rates predicted by standard business cycles theories . . . . . 100
3.5.1 The basicmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.5.2 A digression: indeterminacy and sunspots . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6 Overlapping generations models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.6.1 Introductory examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.6.2 Money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.6.3 Money in amodel with real shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6.4 The Diamond’smodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.7 Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.7.1 Models with productive capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.7.2 Models withmoney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.8 Appendix 1: Determination of the solutions of finite difference equations . 121

3.9 Appendix 2: the continuous time version of the neoclassic growth model . 125
3.9.1 Convergence results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.9.2 The model itself . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.10 Appendix 3: the contraction theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.11 Appendix 4: Optimization of continuous time systems . . . . . . . . . . . 131
4 On kernels and puzzles 135
4.1 A discrete-time model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1.2 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2 The equity premiumpuzzle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.1 The puzzle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.2 The Hansen-Jagannathan cup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.3 Empirical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3 Exponential affine pricing kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.4 Pricing kernels, Sharpe ratios and the market portfolio . . . . . . . . . . . 147
4.4.1 What does amarket portfolio do ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.4.2 Final thoughts on the pricing kernel bounds . . . . . . . . . . . . . 151
4.4.3 The Roll’s critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5.1 Proof that R&micro;∗ can be generated by a feasible portfolio . . . . . . 154
4.5.2 Proof that 1 = E &iexcl;&micro; · R&micro;∗&cent;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5.3 Proof that R&micro;∗ is mean-variance efficient . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5.4 Proof that E &iexcl;R&micro;∗&cent;−1 = r − 1+r/(1+Sh) Sh . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.5.5 Proof that R&micro;∗ is the &micro;-maximum correlation portfolio . . . . . . . 156
5 Arbitrage, equilibrium and evaluation of infinitely-lived securities 157
5.1 A continuous-timemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.1.1 Convergence issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.1.2 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.1.3 On bubbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.1.4 On reflecting barriers and absence of arbitrage . . . . . . . . . . . 164
5.2 Martingales and arbitrage in a Brownianmodel . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2.1 The fundamental theorem of finance . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2.2 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.2.3 Viability of themodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.2.4 Completeness conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.3 Equilibriumwith a representative agent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3.1 The program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3.2 The older, Merton’s approach: dynamic programming . . . . . . . 177
5.3.3 EquilibriumandWalras’s consistency tests . . . . . . . . . . . . . 178
5.3.4 Continuous-time CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.3.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.4 Black &amp; Scholes formula and “invisible” parameters . . . . . . . . . . . . 180
5.5 Models with final consumption only . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.6 On jumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.6.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.6.2 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.6.3 Properties and related distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.6.4 Asset pricing implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.6.5 A formula for option prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.7 General equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.8 Incompletemarkets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.9 Appendix 1: On linear functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.10 Appendix 2: Martingale methods for solving stochastic volatility models . 193
5.11 Appendix 3: Walras consistency tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.12 Appendix 4: The Green’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.13 Appendix 5: Further topics on jumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.13.1 The Radon-Nikodymderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.13.2 Arbitrage restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.13.3 State price density: introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.13.4 State price density: general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6 Derivatives 209
6.1 General properties of derivative prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.2 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.2.1 On spanning and cloning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.2.2 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.2.3 The surprising cancellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.3 Properties ofmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.3.1 Rational price reaction to random changes in the state variables . 220
6.3.2 A final general property: recoverability of the risk-neutral density
fromoption prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.3.3 Hedges and crashes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.4 Stochastic volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.4.1 Option pricing implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.4.2 Some technical details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.4.3 Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.5 American options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.6 Exotic options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.7 Appendix 1: an alternative derivation of the Black &amp; Scholes formula, and
further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.7.1 The original argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.7.2 Further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.8 Appendix 2: the maximumprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.9 Appendix 3: Stochastic volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.9.1 Proof of the Hull and White (1987) equation . . . . . . . . . . . . 233
6.9.2 On smiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7 Interest rates 241
7.1 Prices and interest rates: introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.1.2 Markets and interest rate conventions . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.1.3 Bond prices representations, yield-curve and forward rates . . . . . 243
7.1.4 Forwardmartingale measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.2 Models of the short-termrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.2.2 The basic bond price evaluation equation, and the plan of the section250
7.2.3 Some famous univariate short-term rate models . . . . . . . . . . . 252
7.2.4 Short-term rates as jump-diffusion processes . . . . . . . . . . . . . 259
7.2.5 Multifactormodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.2.6 Affine and quadratic term-structuremodels . . . . . . . . . . . . . 262
7.2.7 Why inverting the yield-curve, and how ? . . . . . . . . . . . . . . 262
7.3 The Heath-Jarrow-Mortonmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.3.1 Introduction, and the plan of the section . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.3.2 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.3.3 Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
7.4 Interest rate derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.4.1 Introduction, and the plan of the section . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.4.2 European options on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.4.3 Related pricing problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.4.4 Market models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.5 Appendix 1: Rederiving the FTAP for bond prices: the diffusion case . . 283
7.6 Appendix 2: Certainty equivalent interpretation of forward prices . . . . . 285
7.7 Appendix 3: More on T-forwardmartingalemeasures . . . . . . . . . . . 286
7.8 Appendix 4: On some analytics of the Hull and White model . . . . . . . 287
7.9 Appendix 5: Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
7.10 Appendix 6: Change of numeraire techniques . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8 Statistical appendix 295

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