Allan Gut
An Intermediate Course
in Probability
Second Edition

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Contents
Preface to the First Edition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Preface to the Second Edition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vii
Notation and Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 The Probability Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Independence and Conditional Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Random Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Expectation, Variance, and Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Joint Distributions and Independence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7 Sums of Random Variables, Covariance, Correlation . . . . . . . . . 9
8 Limit Theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
9 Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
10 The Contents of the Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1 Multivariate Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2 Functions of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.1 The Transformation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.2 Many-to-One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
2 Conditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
1 Conditional Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
2 Conditional Expectation and Conditional Variance . . . . . . . . . .33
3 Distributions with Random Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
4 The Bayesian Approach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
5 Regression and Prediction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46x Contents
6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
3 Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
2 The Probability Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
3 The Moment Generating Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
4 The Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
5 Distributions with Random Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
6 Sums of a Random Number of Random Variables . . . . . . . . . . .79
7 Branching Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
4 Order Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1 One-Dimensional Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2 The Joint Distribution of the Extremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 The Joint Distribution of the Order Statistic . . . . . . . . . . . . . . . 109
4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5 The Multivariate Normal Distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1 Preliminaries from Linear Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2 The Covariance Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3 A First Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4 The Characteristic Function: Another Definition . . . . . . . . . . . . 123
5 The Density: A Third Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6 Conditional Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7 Independence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9 Quadratic Forms and Cochran’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3 Relations Between the Convergence Concepts. . . . . . . . . . . . . . . 152
4 Convergence via Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5 The Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem . . 161
6 Convergence of Sums of Sequences of Random Variables . . . . . 165
7 The Galton–Watson Process Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7 An Outlook on Further Topics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
1 Extensions of the Main Limit Theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
1.1 The Law of Large Numbers: The Non-i-i.d. Case. . . . . . . 188
1.2 The Central Limit Theorem: The Non-i-i.d. Case . . . . . . . 190
1.3 Sums of Dependent Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 190Contents xi
2 Stable Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3 Domains of Attraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4 Uniform Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5 An Introduction to Extreme Value Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6 Records. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7 The Borel–Cantelli Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.1 Patterns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.2 Records Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.3 Complete Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211