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Allan Gut
An Intermediate Course
in Probability
Second Edition
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Contents
Preface to the First Edition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Preface to the Second Edition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Notation and Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 The Probability Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Independence and Conditional Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Expectation, Variance, and Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Joint Distributions and Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7 Sums of Random Variables, Covariance, Correlation . . . . . . . . . 9
8 Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
9 Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
10 The Contents of the Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 Multivariate Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Functions of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 The Transformation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Many-to-One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Conditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1 Conditional Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Conditional Expectation and Conditional Variance . . . . . . . . . . 33
3 Distributions with Random Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 The Bayesian Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Regression and Prediction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46x Contents
6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2 The Probability Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 The Moment Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 The Characteristic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Distributions with Random Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6 Sums of a Random Number of Random Variables . . . . . . . . . . . 79
7 Branching Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4 Order Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1 One-Dimensional Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2 The Joint Distribution of the Extremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 The Joint Distribution of the Order Statistic . . . . . . . . . . . . . . . 109
4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5 The Multivariate Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1 Preliminaries from Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2 The Covariance Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3 A First Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4 The Characteristic Function: Another Definition . . . . . . . . . . . . 123
5 The Density: A Third Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6 Conditional Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9 Quadratic Forms and Cochran’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3 Relations Between the Convergence Concepts. . . . . . . . . . . . . . . 152
4 Convergence via Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5 The Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem . . 161
6 Convergence of Sums of Sequences of Random Variables . . . . . 165
7 The Galton–Watson Process Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7 An Outlook on Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
1 Extensions of the Main Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
1.1 The Law of Large Numbers: The Non-i-i.d. Case . . . . . . . 188
1.2 The Central Limit Theorem: The Non-i-i.d. Case . . . . . . . 190
1.3 Sums of Dependent Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 190Contents xi
2 Stable Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3 Domains of Attraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4 Uniform Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5 An Introduction to Extreme Value Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6 Records . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7 The Borel–Cantelli Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.1 Patterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.2 Records Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.3 Complete Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
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