乌托邦不可能定理——之一
乌托邦有两大宣称：一是效率，二是公平。
乌托邦宣称：自己是最有效率的，是历史的进步；
乌托邦宣称：自己的的分配模式是最公平的：全部劳动产品归全部劳动者所有。
下面我们证明这两大宣称是不可能同时实现的。

一、假设
1、假设某乌托邦有N个社员，N=1，2，3，......，n；
2、不失一般性，假设社员风险中性；
3、假设总产出水平是可以观测的，总产出为x；
4、假设社员的努力水平是不可观测的，每个社员的努力水平为ei；
5、总产出的大小取决于社员的努力水平：
x=f(e)=f(e1，e2，...，ei)
6、每个社员的工资水平为s，s=si(x)
7、每个社员的效用函数：ui=si(x)-ei ，即社员的效用是自己的工资水平的增函数，是自己的努力水平的减函数。

二、乌托邦目标的函数表达
1、一切产品归全部劳动者所有，即∑si(x)=x ———————————（1）
2、最有效率
（1）社会净产出能实现最大化：即maxf(e) -∑ei ——————————（2）
即总产出减去总的工作成本后能实现最大化。
（2）每个社员能实现效用最大化：即max si-ei，亦即：maxsi(f(e)) -ei —————（3）

三、乌托邦的生产和分配过程

既然每个社员能实现效用最大化，则他们会付出效用最大化下的努力水平：
ei=argmax [si(f(e))-ei] ———————————————（4）
（4）式是一个复合函数，效用最大化的一阶条件为：（si）＇(f(e))＇=1 ——————（5）
由（2）式得到一阶条件为：(f(e))＇=1 ————————————————（6）
由（5）式和（6）式得（si）＇=1 ————————————————（7）
再由（1）式两边对X求导得∑（si）＇=1 ————————————————（8）
（8）式与（7）式矛盾。

证毕。

最后，说一点体会：编辑公式太难了！

淡泊
2010.7.20