[量化金融] 高维全局最小方差投资组合的估计 [推广有奖]

为了节省空间，我们将这一断言的详细技术证明留给读者。定理2.1的证明：让我们回忆一下用α表示的最佳收缩强度*n=bn∑nbn-s-1n∑nbnS-1nS-1n∑nS-1n（1S）-1n1）- 2秒-1n∑nbnS-1n+bn∑nbn。（6.8）它认为-1n1=limz→0+tr（序号- z∑n）-1.= 林茨→0+tr“NxN- 子-1Σ-n∑-n#（6.9）S-1n∑nbn=limz→0+tr（序号- z∑n）-1∑nbn= 林茨→0+tr“NxN- 子-1∑nbn∑-n#（6.10）S-1n∑nS-1n1=ztr“nSn- z∑n-1#z=0=ztr“NxN- 子-1Σ-n∑-n#z=0。（6.11）设ξn（z）=tr“NxN- 子-1Θξ#其中Θξ=∑-n∑-nandζn（z）=tr“NxN- 子-1ΘζΘ其中Θζ=∑nbn∑-n、 矩阵Θξ和Θζ都有一个有界迹范数，因为kΘξktr=1∑-1n1≤ M-1landkΘζktr=q∑-1npbn∑nbn≤rMuMl。那么，尽管如此∈C+，我们从引理6.1 |ξn（z）得到-（x（z）-z）-1tr[Θξ]|=|ξn（z）-（x（z）-z）-1Σ-1n1 | a.s。-→ p/n为0→ c>0为n→ ∞ （6.12）和|ζn（z）- （x（z）-z）-1tr[Θζ]|=ζn（z）- （x（z）- z）-1.a、 美国。-→ p/n为0→ c>0为n→ ∞, （6.13）其中x（z）在（6.2）中给出。用那个limz→0+（x（z）-z）-1= (1 -c）-将（6.12）和（6.13）与（6.9）和（6.10）相结合，得到| 1-1n1- (1 - c）-1Σ-1n1 | a.s。-→ p/n为0→ c>0为n→ ∞ （6.14）和s-1n∑nbn- (1 - c）-1.a、 美国。-→ p/n为0→ c>0为n→ ∞. （6.15）最后，使用等式zx（z）- Zz=0=-x（z）- 1（x（z）- z）z=0=-1.-1+c-Z√(1-c+z）-4z- 1（x（z）- z）z=0=（1）- c） ，（6.16）我们得到ξn（0）-z（x（z）- z）-1.z=0tr[Θξ]= |ξn（z）- (1 - c）-3Σ-1n1 | a.s。-→ p/n为0（6.17）→ c>0为n→ ∞. 因此，|1-1n∑nS-1n1- (1 - c）-3Σ-1n1 | a.s。-→ p/n为0→ c>0为n→ ∞. （6.18）（6.14）和（6.18）的应用导致σSa。s-→(1 - c）-3Σ-1n（1- c）-2(1Σ-1n1）=（1- c）-p/n的1σgmvf→ c>0为n→ ∞,而另外使用（6.15）我们得到α*娜娜。s-→ α*与α*=bn∑nbn-(1 - c）-1(1 - c）-1Σ-1n（1- c）-1σGMV- 2(1 - c）-1(1 - c）-1Σ-1n+bn∑nbn=（1）- c） Rbc+（1）- c） p/n→ c>0为n→ ∞.

数量RBI是由于假设σbn而存在的RBN极限≤ μ和σGMV≥ 这两个等式完成了定理2.1的证明。定理2.2的证明：在c>1的情况下，最佳收缩强度由α+n=bn∑nbn给出-s*n∑nbnS*nS*n∑nS*n（1S）*n1）- 2秒*n∑nbnS*n+bn∑nbn。（6.19）设Θξ=∑-n∑-nandΘζ=∑nbn∑-n、 使用S的定义*ngiven in（2.16）和theequality（XnXn）+=Xn（XnXn）-2Xn，我们得到了*n1=trhXnXn+Θξi=trhXnXnXn-2XnΘξi=ztrhXnXnXn- 吉娜-1XnΘξiz=0S*n∑nbn=trhXnXn+Θζi=trhXnXnXn-2XnΘζi=ztrhXnXnXn- 吉娜-1XnΘζiz=0S*n∑nS*n1=trXnXn+-2Θζ= trhXnXnXn-3XnΘξi=ztrhXnXnXn- 吉娜-1XnΘξiz=0。Woodbury公式的应用（矩阵反演引理，参见Horn and Johnson（1985））XnXnXn- 吉娜-1Xn=Ip+zXnXn- 拉链-1（6.20）条线索*n1=zztrhXnXn- 拉链-1Θξiz=0S*n∑nbn=zztrhXnXn- 拉链-1Θζiz=0S*n∑nS*n1=zztrhXnXn- 拉链-1Θξiz=0。通过定理2.1的证明，我们知道矩阵Θζ和Θζ都具有有界迹范数。然后引理6.1的应用导致*娜娜。s-→zzx（z）- Zz=0tr[Θξ]=zzx（z）- Zz=0∑-1n1（6.21）S*n∑nbna。s-→zzx（z）- Zz=0tr[Θζ]=zzx（z）- Zz=0（6.22）秒*n∑nS*娜娜。s-→zzx（z）- Zz=0tr[Θξ]=zzx（z）- Zz=0∑-1n1（6.23）表示p/n→ c>1为n→ ∞, 其中x（z）在（6.2）中给出。让我们用以下符号表示θ（z）=zx（z）- zandφ（z）=x（z）- 然后θ（z）的一阶和二阶导数由θ（z）=θ（z）φ（z）和θ（z）=2θ（z）θ（z）θ（z）φ（z）+θ（z）φ（z）给出。

（6.25）利用L’Hopital规则，我们得到θ（0）=limz→0+θ（z）=limz→0+zx（z）- z=limz→0+（x（z）- 1)=1.-1+c | 1- c|- 1= -C- 1c，（6.26）φ（0）=limz→0+φ（z）=limz→0+x（z）- zx（z）z=-林茨→0+x（z）=-林茨→0+-2c（（1）- c+z）- 4z）3/2=c（c- 1） ，（6.27）林茨→0+φ（z）=- 林茨→0+2（x（z）- zx（z））+zx（z）z=- 林茨→0+2φ（z）+x（z）z=- 林茨→0+（2φ（z）+x（z）），这意味着φ（0）=limz→0+φ（z）=-林茨→0+x（z））=-林茨→0+6c（z- C- 1)((1 - c+z）- 4z）5/2=2c（c+1）（c- 1). （6.28）结合（6.25），（6.26），（6.27）和（6.28），我们得到θ（0）=limz→0+θ（0）=θ（0）φ（0）=c（c）- 1） ，（6.29）θ（0）=limz→0+θ（z）=θ（0）φ（0）+θ（0）φ（0）=（c）- 1). （6.30）最后，应用最后两个等式加上（6.21）、（6.22）和（6.23），得到α+na。s-→ α+forpn→ C∈ (1, +∞) 作为n→ ∞,其中α+=bn∑nbn-θ(0)θ(0)1Σ-1nθ（0）1∑-1n（θ（0）1∑-1n1）- 2θ(0)θ(0)1Σ-1n+bn∑nbn=（c- 1） Rb（c）- 1） +c+（c- 1） Rbn与Rbn→ RbandσS*a、 美国。-→θ(0)1Σ-1n（θ（0）1∑-1n1）=cc- 1σGMVforpn→ C∈ (1, +∞) 作为n→ ∞. （6.31）这就完成了定理2.2的证明。定理2.3的证明。首先，我们注意到数量1S的渐近分布-1nhas已经在定理2.1中推导出来。从（6.14）我们得到了1∑的一致估计-1nis给定比亚迪∑-1n1=（1）- p/n）1S-1n1表示c<1，（6.32）d∑-1n1=p/n（p/n- 1） 1S*n1表示c>1。（6.33）为了完成定理2.3的证明，我们需要以下Rubio和Mestre（2011）引理6.3的引理。设{ξ，…，ξn}是一个均值和单位方差为零的i.i.d.实随机向量序列，对于某些ε>0，具有一致有界的4+ε矩，设Cn是某些非随机矩阵，具有有限的迹范数。那么它认为nnXi=1ξiCnξi- tr（中国）a、 美国。-→ p/n为0-→ C∈ (0, +∞) 作为n→ ∞. （6.34）接下来，我们用下面的方法重写BNSNBN=nnXi=1xi∑nbnbn∑nxi=nnXi=1xiRnxi（6.35），其中xi是矩阵Xn的第i列。

对于引理6.3的应用，我们必须证明矩阵Rn在单位内有一个有界迹范数。它认为| | Rn | tr=bn∑nbn≤ Mu（6.36），因此，矩阵Rn的迹范数的有界性直接来自于假设bn∑nbn≤ 穆。引理6.3的应用导致bnSnbn- bn∑nbna、 美国。-→ p/n为0-→ C∈ （0，1）作为n→ ∞, （6.37）与（6.32）一起暗示了定理2.3的陈述。参考文献[1]白，J.（2003），大维度因素模型的推理理论，计量经济学71135-171。[2] 白J.和S.Shi（2011），估计高维协方差矩阵及其应用，经济和金融年鉴12-2199-215。[3] Bai Z.D.和J.W.Silverstein（2010），大维随机矩阵的谱分析，斯普林格：纽约；多德雷赫特；海德堡；伦敦[4] Bodnar，T.和W.Schmid（2008），《在非光学模型中对全球最小方差投资组合权重的检验》，Metrika 67127-143。[5] Bodnar，T.和W.Schmid（2009），样本效率前沿的计量经济学分析，欧洲金融杂志15，317-335。[6] Bodnar，T.，Gupta A.K.和N.Parolya（2014），关于大维协方差矩阵最优线性收缩估计的强收敛性，多元分析杂志132215-228。[7] Brandt，M.（2010），《投资组合选择问题》，载于：Y.Ait-Sahalia和L.P.Hansen（编辑）《金融计量经济学手册》，第269-330页。[8] DeMiguel，V.，Garlappi，L.，Nogales，F.J.，和Uppal，R.（2009），《港口组合优化的一般方法：通过约束投资组合规范提高绩效》，管理科学55718-812。[9] El Karoui，N.（2010）。Markowitz问题和其他具有线性约束的二次规划中的高维效应：风险低估。《统计年鉴》383487-3566。[10] Elton，E.J.，Gruber，M.J.，Brown，S.J.和Goetzmann，W.N。

（2007），《现代投资组合理论与投资分析》，威利：新泽西州霍博肯。[11] Fan，J.，Fan，Y.和Lv，J.（2008），使用因子模型的高维协方差矩阵估计。《计量经济学杂志》147186-197。[12] 樊，J.，张，J.，和俞，K.（2012）。庞大的投资组合选择，总风险敞口受限。美国统计协会杂志107592-606。[13] Fan，J.，Liao，Y.，和M.Mincheva（2013），通过阈值主正交互补进行的大协方差估计，英国皇家统计学会期刊：系列B75603-680。[14] Frahm，G.和C.Memmel（2010），最小方差投资组合的主要估计量，经济计量学杂志159289-302。[15] Friesen，O.，M.L–owe，M.Stolz（2013），《样本协方差矩阵的高斯函数与相关数据》，多元分析杂志114270-287。[16] Golosnoy，V.和Y.Okhrin（2007），最优投资组合权重的多元收缩，欧洲金融杂志13441-458。[17] Jagannathan，R.和T.Ma（2003），《大型投资组合中的风险降低：为什么施加错误的约束有帮助？《金融杂志》581651-1683。[18] Kempf，A.和C.Memmel（2006），估计全球最小方差投资组合，SchmalenbachBusiness Review 58332-248。[19] Le Cam，L.和G.Lo Yang（2000），《统计学中的渐近性：一些基本概念》。斯普林格。[20] Ledoit，O.和Wolf，M.（2003），《股票收益协方差矩阵的改进估计及其在投资组合选择中的应用》，经验金融杂志10603-621。[21]Marcenko，V.A.和Pastur，L.A.（1967年）。随机矩阵的特征值分布，斯博尼克：数学1 457-483。[22]马科维茨，H.（1952），投资组合选择，金融杂志7，77-91。[23]Okhrin，Y.和W。

Schmid（2006），《投资组合权重的分布性质》，计量经济学杂志134235-256。[24]Rubio F.和X.Mestre（2011），一类一般随机矩阵的谱收敛，统计学和概率字母81592-602。[25]Rubio F.，Mestre X.，和D.P.Palomar（2012），《估计风险下最大方差投资组合的性能分析和优化选择》，IEEE信号处理选定主题杂志6，337-350。[26]Silverstein，J.W.（1995），大维随机矩阵特征值经验分布的强收敛性，《多元分析杂志》55331-339。[27]Stein，C.（1956），多元正态分布平均值的常规估计的不可容许性。《第三届伯克利数理统计与概率研讨会论文集》，1954-1955，第一卷197-206。加州大学出版社，伯克利。[28]韦纳布尔斯，W.N.和B.D。