[量化金融] 时变极值相关性及其在引导中的应用 [推广有奖]

虽然有许多内核函数确实满足这些基本要求，但众所周知，内核的选择对相应的处理器几乎没有影响；参见Wand和Jones（1995年，第2章）及其参考文献。参数ν>0与核β的方差成反比，主要作用是控制w方向的平滑量。附加参数τ>0具有略微调整核中心的作用，允许更灵活的估计，同时不影响施加力矩约束。注意，τ=0生成平均值等于Wi的核，而τ=1生成模式为Wi的核。此外，θb（x）通过我们偏离力矩约束的程度来评估（2.6）。要看到这一点，请注意θb（x）=（1/2）/bE（W | x=x），其中bE（W | x=x）=Pni=1πb，i（x）wii是所有x的E（W | x=x）=R[0,1]wHx（dw）=1/2的Nadaraya–Watson估计量（Nadaraya，1964；Watson，1964）∈ 十、可以很容易地获得第2.3节中讨论的相关条件目标的插件估计量；特别是rybhx（w）=nXi=1πb，i（x）b（w；νWiθb（x）+τ，ν{1- Wiθb（x）}+τ，w∈ （0，1），其中B（w；p，q）是正则化的不完全β函数，p，q>0；此外，条件Pickands依赖函数、极值系数和二元极值分布的插入估计量可以写成随时间变化的极值依赖7bAx（w）=1- w+2nXi=1πb，i（x）ZwB（u；νWiθb（x）+τ，ν{1- Wiθb（x）}+τ）du，bCx=2bAx（1/2）=1+4nXi=1πb，i（x）Z1/2B（u；νWiθb（x）+τ，ν{1- Wiθb（x）}+τ）du，bGx（y，y）=exp- 2Zmaxuy，1- uy公司×nXi=1πb，i（x）β（u；νWiθb（x）+τ，ν{1- Wiθb（x）}+τ）du,（3.3）对于x∈ X和y，y>0.3.3。连接到单位间隔上的平滑。

单位区间上的核密度估计是一个具有挑战性的问题；参见Chen（1999）、Jones and Henderson（2007）、de Carvalhoet al.（2013）、Geenens（2014）以及其中的参考文献。在本节中，我们对比了我们估计量（3.2）的平稳版本与Chen（1999）的平稳版本，并对与de Carvalho et al.（2013）的光滑欧几里德似然角密度的关系进行了评论。后者可以看作单位区间上的矩约束核密度估计，从某种意义上讲，它服从（2.3）。如果所有协变量x取相同的值，因此估计问题归结为一个估计伪角{Wi}ni=1的相同分布集的角密度的问题，那么（3.2）变为sbh（w）=nnXi=1βwνWi2W+τ，ν1.-Wi2W+ τ, w∈ (0, 1).（3.4）公式（3.4）中我们的估值器版本与Chen的β核不同（Chen，1999）：（3.5）h？（w） =nnXi=1βWi；ws+1,1- ws+1,其中，s>0是带宽。事实上，（3.5）将核的模式设置为wi，如果我们设置τ=1，则（3.4）中的估计量也是如此。然而，在（3.4）中，w是β（·）的参数，而在（3.5）中，wii是β（·）的参数。估计量（3.4）与de Carvalho等人（2013，第1190页）中的光滑欧几里德角密度估计量有更密切的联系，由eh（w）=nnXi=1{1给出- （W）- 1/2）秒-2（Wi- W）}β{W；Wiν，（1- Wi）ν}=nnXi=1β{w；Wiν，（1- Wi）ν}-nnXi=1（W- 1/2）秒-2（Wi- W）}β{W；Wiν，（1- Wi）ν}，（3.6）表示w∈ (0, 1); 这里W和S是W的样本均值和样本方差，Wn，即W=nnXi=1Wi，S=nnXi=1（Wi- W）。8卡斯特罗·卡米洛（CASTRO CAMILO）、德·卡瓦略（DE CARVALHO）和瓦兹沃塔（WADSWORTHA）的启发式论证可以通过关注τ=0的情况来说明这一点。

（3.6）中的右手项加强了力矩约束，因此它是渐近可忽略的，因此对于大n，我们有eh（w）≈ （1/n）Pni=1β{w；Wiν，（1- Wi）ν}；另一方面，对于大n，bh（w），我们也有≈ （1/n）Pni=1β{w；Wiν，（1- Wi）ν}，因为W=1/2+op（1），作为n→ ∞.虽然（3.4）和（3.6）都服从力矩约束（2.6），但它们通过不同的方法施加力矩约束：我们的估计器通过用系数（2W）重新缩放伪角度来执行（2.3）-1.平滑的欧几里德角密度通过（3.6）中的右侧项附加地强制（2.3）。据我们所知，在（3.5）中对Chen\'skernel施加力矩约束并不简单。3.4. 调整参数选择和引导。我们通过最大似然K倍交叉验证（MLCV）选择调谐参数（Hastie et al.，2001，第7.10.1节）。具体地说，设{W，…，WK}为划分为K个块的伪角度的完整样本。在第4节和第5节的分析中，我们根据伴随的协变量x的值分割块，以便每个Wk=（Wk，1，…，Wk，nk）位于协变量空间的类似部分。出租BHX(-k） 表示去掉长度为nk的第k个样本Wk的估计量，我们选择（bb，bν，bτ）=arg min（b，ν，τ）∈RX，nKXk=1nkXj=1- logbhXk，j(-k） （Wk，j），（3.7）带Rx，n={（b，ν，τ）∈ (0, ∞): νWiθb（x）+τ>0，ν{1- Wiθb（x）}+τ>0，对于i=1，nx个∈ X}={（b，ν，τ）∈ (0, ∞): ν{1 - Wiθb（x）}+τ>0，对于i=1，nx个∈ X}。（3.8）约束优化产生了明确的估计，因为它保证了我们的估计中β参数的正性。（3.8）中的后一个等式来自于注意到对于所有x，νWiθb（x）+τ>0∈ 十、第4.2节给出了有关调谐参数选择的实际实现的更多详细信息。

众所周知，对于密度估计，MLCV可以产生性能次优的估计，导致密度估计不平滑，特别是当真实密度具有无限支持时（DasGupta，2008，第32.10.1节）。补充材料中的计算实验表明，无论我们使用MLCV还是最小二乘交叉验证（LSCV），第5节中的主要发现都非常相似（DasGupta，2008，第32.10.2节）。如果使用LSCV，预期结果会比第4节中的结果更好。然而，对于非平方可积密度（例如，hx（w）=β（w；x，x），对于x，LSCV在理论上不会成立∈ (0, 1/2)).按照所谓的平滑引导法（Silverman和Young，1987），可以通过模拟内核密度估计值来进行不确定性评估。下面详细介绍的过程允许我们生成B引导角曲面。对于r∈ {1，…，B}：1。样本j？从{1，…，n}上的离散均匀分布。2、样品Xrj~ Kbb（·）- Xj？）。3、样品Wrj~bhXrjwithbhXrj（w）=nXi=1πbb，i（Xrj）β（w；bνWiθbb（Xrj）+bτ，bν{1- Wiθbb（Xrj）}+bτ），w∈ （0，1），时变极值相关性9，其中θbb（Xrj）=1/2Pni=1πbb，i（Xrj）Wi，πbb，i（Xrj）=Kbb（Xrj- Xi）Pnk=1Kbb（Xrj- Xk），i=1，n、 4。重复步骤1–3 n次，以获得rth引导样本（Xr，Wr），Xr=（Xr，…，Xrn）和Wr=（Wr，…，Wrn）T.5。使用（Xr，Wr）和（3.7）获得引导估计值（bbr，bνr，bτr）。使用引导样本{（Xr，Wr）}Br=1，引导估计{（bbr，bνr，bτr）}Br=1和（3.2），我们可以构造b引导角曲面bhx。bhBx。为便于计算，步骤2仅考虑单个带宽bb，但已知（例如，见Polanski，2001），平滑bootstrap重采样不需要从具有相同带宽的核密度估计中生成。

事实上，已知所谓的校准方法性能良好，但它们需要在一系列带宽上构建重采样，因此计算成本更高。可视化角度曲面的不确定性可能会很困难，但角度曲面的横截面（即x固定值下的条件角密度估计）可以很容易地使用功能箱线图进行总结（Sun和Genton，2011）。第4.2.3.5节给出了构建角密度函数箱线图的详细信息。估计量的局部线性版本。通过将（3.2）中的Nadaraya–Watson权重替换为（3.9）πb，i（x）=n{bs（x；b），可以任意构造我们估计量的局部线性版本- bs（x；b）（Xi）- x） }Kb（Xi- x） bs（x；b）bs（x；b）- bs（x；b），其中bsm（x；b）=n-1Pni=1（Xi- x） mKb（Xi）- x） ，对于m=0、1、2。局部线性回归经常被作为一种解决方案来缓解纳达拉亚-沃森估计量的边界偏差问题（Wand和Jones，1995年，第5.5节）。自始至终，我们考虑Nadaraya–Watson和局部线性权重来说明它们的相对性能。4、仿真研究。4.1. 数据生成配置和初步实验。我们研究了在示例1和2中引入的logistic和Dirichlet条件模型下我们的方法的性能。对于logistic条件模型，我们取αx=Φ（x），并考虑x∈ Xlogistic=[Φ-1(0.2), Φ-1(0.4)]. 对于Dirichlet条件模型，我们考虑两种情况：对称Dirichlet角曲面（ax，bx）=（x，x），对于x∈ XsDir=[0.8，4]，非对称Dirichlet角曲面（ax，bx）=（x，100），对于x∈ XaDir=[0.5，2]。在图2中，我们在n=500的单个实验上绘制了上述三种情况的真实和估计角表面。

图2的顶部面板对应于logistic角曲面，其中极值相关性作为预测值的函数而减小。中间的面板显示了对称的Dirichlet角面，在这里我们观察到协变量较低值的依赖性较弱，而较高值的依赖性较强。最后，在底部面板中显示了一个递增的对称依赖动力学，在这里我们绘制了对称Dirichlet角曲面。图2中的单次运行实验允许我们说明该方法的优点和局限性。尽管第4.2节进一步详细讨论了一个很好的估计值，但我们可以从该图中预计，我们的估计值会受到基于核的10 CASTRO CAMILO、DE CARVALHO和WADSWORTHestimators固有的限制。例如，当角表面达到峰值时，使用Nadaraya–Watson权重（图2中列）的逐点估计性能不佳，但这主要是由于kb的边界偏差，这是基于核的估计在有界域上的一个缺点；参见Hardle（1990年，第4.4节）及其参考文献。为了缓解这个问题，我们还使用局部线性权重计算我们的估计量，如第3.5节（图2右栏）所述。我们发现，对于两个Dirichlet角曲面，协变量空间上边界的性能略有改善，但对于logistic角曲面，性能几乎保持不变。对于非对称Dirichlet模型，使用局部线性权重的估计似乎可以产生更平滑的估计。表1证实了这一相对改进，其中我们评估了两个估计器的平均性能。使用Nadaraya–Watson权重，其他两个模型的估计值往往更好（平均性能）。

在计算方面，使用Nadaraya–Watson权重的估计器的运行时间比其局部线性计数器至少高出10倍。尽管存在这些限制，两种估计器都成功地恢复了真实角曲面的形状，因此能够准确地再现协变量上极值依赖的演化。4.2. 仿真结果。为了构建模拟研究，我们针对第4.1节中提出的三个条件模型，抽取了1000个300和500大小的样本。对于尺寸为500的样本，图3显示了角曲面横截面的功能箱线图（Sun和Genton，2011）（x固定值下的条件角密度估计）及其蒙特卡罗图。函数箱线图的构建引入了确定函数数量和曲线的中心性或外显性的措施。具体而言，Sun和Genton（2011）使用BandDepth从中心向外排列曲线样本，确定100α%的中心区域（0<α<1）。这些中心区域可以使用最深曲线的α比例来估计；这些区域的正式定义见Sun和Genton（2011年，第3节）。图3中的灰色区域显示了采样曲线50%、75%和95%的中心区域。这些图使我们能够说明我们的估计器在不同依赖动态下的可变性方面的性能。例如，图3的toppanel中显示的逻辑模型估计结果在所有三种情况下都是最分散的。我们认为这有两个相关的原因：第4.1节讨论的边界偏差造成的限制，以及逻辑条件曲面中的极值依赖范围比其他两种情况更大的事实。

虽然当极值依赖性更强时，局部线性估计的变量更大，但这两种估计的性能似乎相似。中心面板对应于对称Dirichlet角模型，在最后两种情况下，该模型显示出良好的平均性能，但在实际角密度为U时，会出现一些偏差。使用Nadaraya–Watson权重的估计值似乎比使用局部线性权重的估计值变化略大。最后，底部面板中显示的非对称Dirichlet角模型显示了比对称对应物更分散的估计（在它们之间，似乎Nadaraya–Watson估计再次比使用局部线性权重的估计更可变），尽管蒙特卡罗平均可生产近似。这种不对称性似乎不是一个主要问题。总的来说，三个模型的估计在恢复不同形状的密度方面表现出合理的性能，蒙特卡罗方法可以产生可靠的估计。