单位区间上的核密度估计是一个具有挑战性的问题;参见Chen(1999)、Jones and Henderson(2007)、de Carvalhoet al.(2013)、Geenens(2014)以及其中的参考文献。在本节中,我们对比了我们估计量(3.2)的平稳版本与Chen(1999)的平稳版本,并对与de Carvalho et al.(2013)的光滑欧几里德似然角密度的关系进行了评论。后者可以看作单位区间上的矩约束核密度估计,从某种意义上讲,它服从(2.3)。如果所有协变量x取相同的值,因此估计问题归结为一个估计伪角{Wi}ni=1的相同分布集的角密度的问题,那么(3.2)变为sbh(w)=nnXi=1βwνWi2W+τ,ν1.-Wi2W+ τ, w∈ (0, 1).(3.4)公式(3.4)中我们的估值器版本与Chen的β核不同(Chen,1999):(3.5)h?(w) =nnXi=1βWi;ws+1,1- ws+1,其中,s>0是带宽。事实上,(3.5)将核的模式设置为wi,如果我们设置τ=1,则(3.4)中的估计量也是如此。然而,在(3.4)中,w是β(·)的参数,而在(3.5)中,wii是β(·)的参数。估计量(3.4)与de Carvalho等人(2013,第1190页)中的光滑欧几里德角密度估计量有更密切的联系,由eh(w)=nnXi=1{1给出- (W)- 1/2)秒-2(Wi- W)}β{W;Wiν,(1- Wi)ν}=nnXi=1β{w;Wiν,(1- Wi)ν}-nnXi=1(W- 1/2)秒-2(Wi- W)}β{W;Wiν,(1- Wi)ν},(3.6)表示w∈ (0, 1); 这里W和Sare是W的样本均值和样本方差,Wn,即W=nnXi=1Wi,S=nnXi=1(Wi- W)。8卡斯特罗·卡米洛(CASTRO CAMILO)、德·卡瓦略(DE CARVALHO)和瓦兹沃塔(WADSWORTHA)的启发式论证可以通过关注τ=0的情况来说明这一点。
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