[量化金融] 一种自上而下的员工多重练习和评估方法 [推广有奖]

（7） 我们通过求解以下PDE系统来确定既得ESO成本。-（r+λ（t）+β）C（m）+C（m）t+LC（m）+λ（t）m-1Xz=1pm，zC（m-z） +（λ（t）(R)pm+mβ）（s- K） +=0，（8）表示（t，s）∈ [电视，T]×R+和m=1，2，M、 这里，’pmi是预期行使的期权数量，pm，zi是在剩下M个期权的情况下行使z个期权的概率。终端条件为C（m）（T，s）=m（s- K） +用于s∈ R+。在行权期[0，tv]内，ESO是未行权的，如果员工离开公司，则该ESO将被没收。我们将m个未行权ESO单位的成本表示为C（m）（t，s）。由于持有未行权ESO实际上使持有人有权在tv时获得已行权ESO，前提是持有人仍在公司。如果ESO持有人在任何时候离开公司∈ [0，tv），未授予ESO成本为零。否则，如果ζ>t，则（折旧前）未授予ESO成本为C（m）（t，s）=IEne-r（电视-t） C（m）（tv、Stv）1{ζ≥tv}| St=so=IEne-（r+α）（tv-t） C（m）（tv，Stv）| St=so。（9） 为了确定未授予的ES O成本，我们解决了PDE问题-（r+α）~C（m）+~C（m）t+LC（m）=0，对于（t，s）∈ [0，tv）×R+，~C（m）（tv，s）=C（m）（tv，s），用于s∈ R+。（10） 这里，C（m）（tv，s）是在time tv评估的ves ted ESO成本。3数值方法与实现在本节中，我们提出了两种数值方法来求解PDE（8）。我们首先讨论了快速傅立叶变换（FFT）在ESO估值中的应用，然后讨论了有限差分法（FDM）。第3.3.3.1节快速傅立叶变换比较了两种方法的结果。我们首先考虑既得ESO（t∈ [电视，T]）。设x为s=Kex，并定义函数f（m）（t，x）=C（m）（t，Kex），（t，x）∈ [tv，T]×R，（11）对于每个m=1，M、 f（M）（t，x）的PDE由下式给出-（r+λ（t）+β）f（m）+f（m）t+eLf（m）+λ（t）m-1Xz=1pm，zf（m-z） +（λ（t）(R)pm+mβ）（Kex-K） +=0，（12），其中EL·=（r- q-σ)x·+σxx·。

（13） 终端条件为f（m）（T，x）=m（Kex- K） +，对于x∈ R、 f（m）（t，x）的傅里叶变换由f[f（m）]（t，ω）=Z定义∞-∞f（m）（t，x）e-iωxdx，（14）对于m=1，M、 角频率ω，以弧度/秒为单位。将傅里叶变换应用于PDE（12），我们得到了F[F（m）]（t，ω）的ODE，时间t的函数，用ω参数化，foreach m=1，M、 精确地说，我们有ddtf[f（M）]（t，ω）=h（t，ω）f[f（M）]（t，ω）+ψ（M）（t，ω），（15），其中h（t，ω）=r+λ（t）+β- iω（r）- q-σ） +ωσ，（16）ψ（m）（t，ω）=-λ（t）m-1Xz=1pm，zF[f（m-z） ]（t，ω）- （λ（t）(R)pm+mβ）Д（ω），（17）Д（ω）=F[（Kex- K） +]（ω），（18），终端条件F[F（m）]（T，ω）=mД（ω）。求解常微分方程，我们得到f[f（m）]（t，ω）=e-RTth（s，ω）dsF[f（m）]（T，ω）-中兴通讯-Ruth（s，ω）dsψ（m）（u，ω）du。（19） 因此，我们可以通过傅里叶逆变换来恢复给定的成本函数：f（m）（t，x）=f-1[F[F（m）]]（t，x）。（20） 对于每m=1，M、 和（t，x）∈ （tv，T）×R.在文献中，Leung和Wan（2015）应用傅立叶时间步进（FST）方法Itt来计算公司股票由Levyprocess驱动时美式ESO的成本。Jackson等人（2008）更广泛地应用FST方法来解决期权定价问题中出现的部分积分微分方程（PIDE）。备注3如果λ是常数，则（19）中的傅立叶变换可以简化为f[f（m）]（t，ω）=m-1Xk=0F（m）k（ω）（T- t） ke公司-（T-t） h（ω）+F（m）（ω），（21），其中F（m）（ω）=h（ω）λm-1Xz=1pm，zF（m-z） （ω）+（λ′pm+mβ）Д（ω）, （22）F（m）k（ω）=λkm-kXz=1pm，zF（m-z） k级-1（ω），k=1，2，m级- 1，（23）F（m）（ω）=F[F（m）]（T，ω）-h（ω）λm-1Xz=1pm，zF（m-z） （ω）+（λ′pm+mβ）Д（ω）, （24）h（ω）=r+λ+β- iω（r- q-σ) + ωσ.

（25）在（22）和（24）中，Д（ω）在（18）中定义。对于数值实现，我们使用有限域[tv，T]×[xmin，xmax]，对长度δT=（T）进行统一离散- tv）/n和δx=（xmax- xmin）/（Nx- 1） 在时空分布中。我们设置δt=0.01，xmin=-10，xmax=10，Nx=2。类似地，我们将有限频率空间[ωmin，ωmax]离散为均匀的网格大小δω，其中我们应用了Nyquist临界频率ωmax=π/δx和δω=2ωmax/Nx。对于j=0，Nt，andk=0，Nx公司- 1，表示tj=tv+jδt，xk=xmin+kδx，ωk=（kδω，0≤ k≤ Nx/2，kδω- 2ωmax，Nx/2+1≤ k≤ Nx公司- 1] .（26）然后我们数值计算离散傅里叶变换f[f]（tj，ωk）≈Nx公司-1Xn=0f（tj，xn）e-iωkxnδx=φkNx-1Xn=0f（tj，xn）e-i2πkn/Nx，（27），φk=e-iωkxminδx。在（27）中，我们评估了sumPNx-1n=0f（tj，xn）e-i2πkn/nx，采用标准的快速傅立叶变换（FFT）算法。通过逆FFT进行相应的傅立叶反演，得到既得ESO成本f（tj，xn）。请注意，在此过程中，系数φk将被取消。对于未授予的ESO，我们定义了相关的成本函数f（m）（t，x）=C（m）（t，Kex），（28），每m=1，M、 从PDE（10）中，我们推导出▄f（M）（t，x）的PDE- （r+α）~f（m）+~f（m）t+eLf（m）=0，（29）对于（t，x）∈ [0，tv）×R，终端条件f（m）（tv，x）=f（m）（tv，x），对于x∈ R、 正如我们所看到的，一旦既得ESO成本被计算出来，它就决定了未设定ESO问题的最终条件。将傅立叶变换应用于（29），我们可以导出F[F（m）]（t，ω），ddtF[F（m）]（t，ω）=h（ω）F[F（m）]（t，ω），（30），其中h（ω）=r+α- iω（r- q-σ） +ωσ，（31）表示（t，ω）∈ [0，tv）×R，终端条件为F[~F（m）]（tv，ω）=F[F（m）]（tv，ω）。我们将theODE解为getF[~f（m）]（t，ω）=e-~h（ω）（tv-t） F[~F（m）]（tv，ω）。

（32）反过来，我们应用傅立叶逆变换来恢复未授予的ESO成本：~C（m）（t，Kex）=~f（m）（t，x）=f-（t，x）为1[F[F（m）]]（t，x），（33）∈ [0，tv）×R.再次，我们应用FFT数值计算傅立叶变换，并使用逆FFT恢复成本函数。3.2有限差分方法为了进行比较，我们还使用有限差分方法计算ESO成本。具体而言，我们在均匀网格上应用Crank-Nicolson方法。这里我们提供了一个轮廓，重点介绍了我们应用的边界条件。更多详细信息，我们参考Wilmott et al.（1995），以及其他参考文献。至于网格设置，我们将域[tv，T]×R+限制为有限域D={（T，s）| tv≤t型≤ T、 0个≤ s≤ S*}, w这里是S*必须相对非常大，如果当前股价St=S*, 那么股票价格很可能会大于履约价格K，大于[t，t]。确定s=s时的边界条件*, 我们引入了一个新的函数C（m）（t，s）=IE中兴通讯-（r+β）（u-t） （苏- K） dLu+e-（r+β）（T-t） （M）- LT）（ST- K） +ZTtβe-（r+β）（v-t） （M）- Lv）（Sv-K） dv | St=s，Lt=M- m级.对于m=1，M、 当s=s时*, 我们看到C（m）（t，s）≈\'C（m）（t，s）。因此，我们可以将边界条件设置为s=s*为C（m）（t，S*) =\'C（m）（t，S*). 根据Feynman-Kac公式，C（m）（t，s）满足PDE-（r+λ（t）+β）’C（m）+C（m）t+L‘C（m）+λ（t）m-1Xz=1pm，z？C（m-z） +（λ（t）(R)pm+mβ）（s-K） =0，（34）对于m=1，M、 和（t，s）∈ （tv，T）×R+，终端条件为“C（m）（T，s）=m（s-K） ，用于∈ R+。然后，\'C（m）（t，s）有安萨兹解\'C（m）（t，s）=Am（t）s- Bm（t）K，（35），其中Am（t）和Bm（t）分别满足一对常微分方程，-（q+λ（t）+β）Am+A′m+λ（t）m-1Xz=下午1点，zAm-z+（λ（t）(R)pm+mβ）=0，-（r+λ（t）+β）Bm+B′m+λ（t）m-1Xz=1pm，zBm-z+（λ（t）(R)pm+mβ）=0，（36）对于m=1，M、 和t∈ （tv，T），终端条件Bm（T）=Am（T）=m，形式=1，M

我们可以解析地求解常微分方程（36），也可以使用后向欧拉方法进行数值求解。接下来，我们用δt=（t）的均匀网格大小离散域D-tv）/指令δS=S*/N、 然后，我们应用C（m）i，jt表示C（m）（ti，sj）的离散近似，其中ti=tv+iδt，sj=jδS。应用Crank-Nicolson方法求解C（m）满足的偏微分方程，对于m=1，M通过时间倒转，我们得到了时间tv时的既得ESO成本，它成为未授予ESO估值问题的最终条件值。对于未授予的ESOcost，我们将域[0，tv]×R+限制为有限域D={（t，s）| 0≤ t型≤ 电视，0≤ s≤ S*},其中S*相对来说非常大，以至于▄C（m）（t，S*) = 伊恩-（r+α）（tv-t） C（m）（tv、Stv）| St=S*o（37）≈ 伊恩-（r+α）（tv-t） （Am（t- 电视）Stv- Bm（T- tv）K）| St=S*o（38）=e-（q+α）（tv-t） Am（t- 电视）S*- e-（r+α）（tv-t） Bm（t- tv）K.（39）我们再次应用Crank-Nicolson方法求解满足▄C（m）（t，s）的偏微分方程，对于m=1，M3.3数值示例使用FFT和FDM，我们通过改变授予期tv、工作终止率α和β以及锻炼强度λ来计算不同的ESO成本。在表1中，我们给出了ESOcosts并比较了两种数值方法。众所周知，看涨期权的价值随着其到期日的增加而增加。本着类似的精神，如果员工倾向于更早地行使ESO，那么预计ESO成本会更低。如表1所示，ESO成本随着运动强度λ的增加而减少，或者随着工作终止率α或β的增加而减少，其他因素保持不变。另一方面，归属期的影响不是单调的。在行权期内，如果员工的工作终止率很高，那么在期权未授予的情况下，员工很可能会离开公司，从而导致零薪酬。因此，电视的成本正在下降。