[量化金融] 多维Black-Scholes偏微分中数字符号的使用 [推广有奖]

在英镑定价中，定理1的使用可以将二维问题转化为一维问题，而在美元定价中，到期支付函数不满足定理1的条件，但变量的另一种变化是有效的。美元价格Vd=V（S，X，t）是我们期权的美元价格。使用-he dging，Construction aportfolio∏=V- SX公司- 十、 （该投资组合包括一张期权，股票和英国镑，其价格以美元计算。）我们选择和因此∏在（t，t+dt）中变得无风险，也就是说，d∏=rd∏dt，相当于tod∏=dV- d（SX）- dX公司- rpdt·X=rd（V- SX公司- 十） dt。（29）多维Black-Schole偏微分方程中数值的使用9通过It^o公式，我们得到了=五、t型+σSS五、S+2ρσSσXSX五、SX+σXX五、十、dt公司+五、十二烷基硫酸钠+五、XdX，d（SX）=SdX+XdS+σSσXSXρdt。将上述等式代入（29），我们得到五、t型+σSS五、S+2ρσSσXSX五、SX+σXX五、十、dt公司+五、S- 十、dS公司+五、十、- S- dX公司- σSσXSXρdt- Xrpdt=rd（V- SX公司- 十） dt。因此，如果我们选择=十、五、S=五、十、- S=五、十、-SX公司五、S、 （30）那么我们有期权美元价格的PDE模型：五、t型+σSS五、S+2ρσSσXSX五、SX+σXX五、十、+ （卢比- ρσSσX）S五、S+（rd- rp）X五、十、- rdV=0，（31）V（S，X，T）=最大（S·X- Kd，0）。（32）到期支付函数（32）不满足同质性条件，但使用了va变量z=SX（33）（33）的本质是将英镑价格更改为美元价格。）将问题（31）和（32）转换为一维问题：五、t+（σS+2ρσSσX+σX）z五、z+rdz五、z- rdV=0，V（z，T）=最大值（z- Kd，0）。（34）这是一个普通的看涨期权（美元）问题，因此根据标准的Black-Scholeformula，我们有v（z，t）=zN（d）- Kde公司-rd（T-t） N（d），d=lnzKd+rd+σS，X（T-t） σS，X√T- t、 d=d- σS，X√T-t、 这里σS，X=σS+2ρσSσX+σX。

（35）10 O，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，Ning返回原始变量，我们得到期权的美元价格：Vd（S，X，t）=SXN（d）- Kde公司-rd（T-t） N（d），（36）d=（σS，X√T- t）-1.ln（SX/Kd）+（rd+σS，X/2）（T-t）, d=d- σS，X√T-t、 因为Vp=VdX-1而Kd=S（0）X（0），我们得到期权的英镑价格：Vp（S，X，t）=SN（d）- SXX型-1e级-rd（T-t） N（d），（37）d=lnSXSX+rd+σS，X（T-t） σS，X√T-t、 d=d- σS，X√T-t、 在直接计算英镑价格时，计算方法的变化效果良好。提醒Fp=最大值（S（T）- S（0）·Y（0）-1·Y（T），0）。设Vp（S，Y，t）为期权的英镑价格函数。通过-对冲，构建投资组合∏=V- S- Y、 （该投资组合包括一系列期权，股票份额和美元及其价格以英镑计算。）我们选择和所以∏在（t，t+dt）中是无风险的，也就是说，d∏=rp∏dt，相当于todV- dS公司- dY公司- rddt·Y=rp（V- S- Y）dt。（38）通过It^o公式，我们得到了=五、t型+σSS五、S- 2ρσSσYSY五、SY+σYY五、Ydt公司+五、十二烷基硫酸钠+五、伊迪。（39）因此，如果我们选择=五、S=五、Y、 （40）并将（39）和（40）替换为（38），那么我们就有了英镑定价的PDE模型：五、t型+σSS五、S- 2ρσSσYSY五、SY+σXY五、Y+ rpS五、S+（rp- rd）Y五、Y- rpV=0，（41）V（S，Y，T）=最大值（S- KdY，0）。（42）这里Kd是常数。到期支付函数（42）反映了同质性条件，因此通过数值的标准变化eu=VY，z=SY（43）在多维Black-Schole偏微分方程11中使用数值（43）的本质是将期权和股票的英镑价格更改为美元价格。）问题（41）和（42）可以转化为一维问题：Ut+（σS+2ρσSσY+σY）zUz+rdzUz- rdU=0，U（z，T）=最大值（z- Kd，0）。（44）如果我们考虑（26），那么我们可以知道（44）与（34）是一样的。

因此，使用标准的Black-Scholes公式并返回到原始变量，我们得到Vp（S，Y，t）=SN（d）-SYY e公司-rd（T-t） N（d），（45）d=lnSYY S+rd+σS，Y（T-t） σS，Y√T-t、 d=d- σS，Y√T- t、 此处σS，Y=σS，xd定义于（35）。备注4公式（37）和（45）与[1]中的公式相同。3.3提供指数化选择的储蓄计划一个实际问题：以色列的一家银行有一个储蓄账户服务，有利率选择项，持有人有权从Isr ael利率和美国利率中选择一个。该储蓄合同是一种利率交换期权。例如，如果今天的储户将100新谢克尔（以色列货币单位）存入1年到期的新谢克尔/美元储蓄账户，则1年后，银行将向储户支付以下两个值中的最大值：o100新谢克尔的总和及其利息（乘以以色列的通货膨胀率）。o100新谢克尔的美元价格及其美元利息之和（乘以新谢克尔/美元汇率）。这种储蓄计划是一种新谢克尔/美元利率交换期权，它有一个新谢克尔/美元汇率。