[学科前沿] 兰切斯特第二法则(3) [推广有奖]

兰切斯特第二法则(3)

人，阵亡2人。增加人数后，阵亡的人数在减少。

    当A队增加11人到20人时，A队的剩余人数为

\[{v}_{\Delta }=\sqrt{20^2-6^2}=19\]

人，阵亡1人。阵亡的人数与参战10人时的阵亡人数相比，又减少1人。

    由此得出结论，近距离作战时，增加己方的参战人数可以有效减少自身的战斗伤亡人数。

   假设A队使用的武器射程为L1，B队武器的射程为L2，且L1>L2，两队之间的作战距离为L。当A队和B队远距离作战时，A队应该尽力保证两队的距离L1>L>L2，充分发挥武器射程的优势，这样可以有效减少自身的伤亡，从而相对的增大了对方的伤亡；而B队则应该尽量使作战距离L<L2，消除A队武器的射程优势，从而是双方站在同一起跑线上。当A队进行近距离包围战时，A队也应该尽量使作战距离L1>L>L2，且L>L1/2，防止武器误伤对面采取包围的队友。

    由于未找到数学家库普曼关于兰切斯特法则的推导过程，所以只能引用推导的结果以供参考。

二战期间，以美国数学家库普曼（Koopman，1943）为首的美国海军研究组，在“兰氏平方法则”基础上，扩展成更加完整的战略模型，并利用微分博弈方法和动态最优化方法，计算出各种相对稳定状态下的均衡条件。并从“有效攻击距离”角度，得出了著名的“3倍制胜法则”（适用于“一对一”对决情形）。据此推导出了保证对局双方力量平衡所需要的初始条件。基本观点是：在双方对决中，一方要想绝对取胜，进攻方必须保证自己的兵力达到对方的3倍以上（“一对一”对决情形），这也说明防御策略在保存力量方面的优势。换言之，要保证取得压倒性胜利，进攻方所投入的兵力必须达到双方总投入兵力比重的73.9%以上；相对应的，如果所投兵力少于总兵力的26.1% (1-73.9%)，则必败无疑。此外，只要一方所投入的兵力不少于双方总投入兵力比重的41.7%，就足以维持双方力量的相对平衡，即形成对峙局面。这与人们通常的50%:50% 的直觉观念有一定出入。

    由库普曼的成果可以得出近距离作战时，进攻方的兵力是防守方的\[\sqrt{3}\]倍时，弱者反败为胜已不可能。

    假设两军交战，A军的人数为a人，B军的人数为b人。A军通过战术手段，将B军分成n份，进行近距离各个击破。则A军的剩余人数为：

\[{E}_{\Delta }=\sqrt{\frac{{m}_{A}\times {v}_{A}^{2}-{m}_{B}\times {v}_{B}^{2}}{{m}_{A}}}=\sqrt{\frac{{m}_{A}\times a^{2}-{m}_{B}\times (\frac{b}{n})^2\times n}{{m}_{A}}}\]

\[=\sqrt{\frac{{m}_{A}\times a^{2}-{m}_{B}\times \frac{b^2}{n} }{{m}_{A}}}\]

    如果A军与B军的武器性能相同，则A军剩余人数为：

\[{v}_{\Delta }=\sqrt{ a^2- \frac{b^2}{n} }\]

    如果A军与B军的武器性能相同，且人数相同为a，则A军剩余人数为：

\[{v}_{\Delta }=a \sqrt{ 1- \frac{1}{n} }\]

    当n趋近于正无穷大时，上式的极值为

\[\frac{lim{v}_{\Delta }}{n\rightarrow ∞}= a \sqrt{ 1- \frac{1}{n} }=a\]

上式的意思是当B可以被无限分割，各个击破时，A军的伤亡是0。现实中，B队被分割的最大次数为B次，没办法将1个人再分成几份。

    现实中，B队被分割的次数也不是越小越好，因为A队每次分割B队，自己也要付出努力和成本的。另一方面，当B队被分割的很小时，比如A和B队各100人，B队被分割到1人时，A队以100:1进行战斗，这100人也不能同时有效参见战斗的，因为B队对于A队来说，火力作用点太小了。

    假设A队和B队人数都是100人，火力性能相同。A队将B队平均分成n个区，进行各个击破，则A队剩余人数与分割次数见下表。

    当把A军分成1个区时，双方均全部阵亡；当把B军分成2个区时，A军剩余70.7人；当把B军分成4区时，A军剩余86.6人；当把B军分成10区时，A军剩余94.8人；当把B军分成100区时，A军剩余99.4人。

    由此可见，在双方实力既定的情况下，通过将敌军分成若干区域，进行各个击破，可以以更小的伤亡代价来消灭敌人。

    在兵力框图分析中，使用递归方程式时，当初始兵力为X0=9，Y0=6，所能承受的被击中的枪数越多（即a越大），则所需要的交火次数n越多，并且A队剩余人数Xn逐渐增大，最终A队剩余6.7人左右，B队全部阵亡。

    而使用动能定理来计算剩余人数时，

\[{v}_{\Delta }=\sqrt{\frac{{m}_{A}\times {v}_{A}^{2}-{m}_{B}\times {v}_{B}^{2}}{{m}_{A}}}=\sqrt{9^2-6^2}=6.7082\]

    为什么两者的计算结果会如此接近？且随着a的增大，递归方程式的结果在越来越接近动能定理计算的结果？

    首先来考察Xn（Yn最终为0，不需考虑）的递归方程

\[{X}_{n}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}+{Y}_{0})+\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}-{Y}_{0})\]

    其中n为

\[n=\frac{\ln (\frac{{X}_{0}-{Y}_{0}}{{X}_{0}+{Y}_{0}})}{\ln (\frac{1- \frac{1}{a}}{1+ \frac{1}{a}})}\]

    在Xn的方程式中，当X0，Y0确定后，X0+Y0，X0-Y0和ln((X0-Y0)/(X0+Y0))都是常数，可以暂时不考虑。令

\[{n}_{1}=\ln (\frac{1- \frac{1}{a}}{1+ \frac{1}{a}})\]

\[{k}_{1}=(1-\frac{1}{a})^{{n}_{1}}\]

\[{k}_{2}=(1+\frac{1}{a})^{{n}_{1}}\]

    当a趋近于正无穷大时，查看k1和k2的极限。用MATLAB对下列2式进行求极限

\[\frac{lim{k}_{1 }}{{n}_{1}\rightarrow ∞}=(1-\frac{1}{a})^{{n}_{1}}=e^{\frac{1}{2}}\]

\[\frac{lim{k}_{1 }}{{n}_{1}\rightarrow ∞}=(1-\frac{1}{a})^{{n}_{1}}=e^{-\frac{1}{2}}\]

令\[b=\ln (\frac{{X}_{0}-{Y}_{0}}{{X}_{0}+{Y}_{0}})\]

则

\[{X}_{n}=\frac{1}{2}{(1- \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}+{Y}_{0})+\frac{1}{2}{(1+ \frac{1}{a})}^{n} ({X}_{0}-{Y}_{0})\]

\[=\frac{1}{2}e^{\frac{b}{2}}({X}_{0}+{Y}_{0})+\frac{1}{2}e^{-\frac{b}{2}}({X}_{0}-{Y}_{0})=6.708203932\]

而\[{v}_{\Delta }=\sqrt{\frac{{m}_{A}\times {v}_{A}^{2}-{m}_{B}\times {v}_{B}^{2}}{{m}_{A}}}=\sqrt{9^2-6^2}=6.708203932\]

    递归方程所计算的结果与动能定理计算的结果完全相同。随机取X0，Y0进行计算，其结果都是完全相同的。

    结合上一张表格，可得出如下结论（武器性能相同）：当a=1时，使用兰切斯特第一法则，剩余人数为2者人数之差；当a在增大时，即士兵所能承受的子弹数量增多时，递归方程计算的A队剩余的人数在增多，并且向动能定理的计算值逼近；当a为无穷大时，递归方程计算的A队剩余的人数与动能定理计算的剩余人数完全相同，为什么会相同作者也没想明白。即现实情况A的剩余人数vΔ

\[{V}_{A}-{V}_{B}≤{v}_{\Delta }<\sqrt{ {v}_{A}^{2}- {v}_{B}^{2}}\]

的大小取决于士兵承受子弹的能力（a的大小）和协同作用的强弱。士兵承受子弹的能力越强，协同作用越大，A的剩余人数vΔ接近

\[\sqrt{ {v}_{A}^{2}- {v}_{B}^{2}}\]

    而当武器性能不同时，用递归方程推算会比较复杂，而用动能定理

\[{v}_{\Delta }=\sqrt{\frac{{m}_{A}\times {v}_{A}^{2}-{m}_{B}\times {v}_{B}^{2}}{{m}_{A}}}\]

做估计则简单的多。

    对战的系统框图也可以画成下边的形式。