作为市场不平衡度量的最优交易策略

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英文标题：
《Optimal Trading Strategies as Measures of Market Disequilibrium》
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作者：
Valerii Salov
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  For classification of the high frequency trading quantities, waiting times, price increments within and between sessions are referred to as the a-, b-, and c-increments. Statistics of the a-b-c-increments are computed for the Time & Sales records posted by the Chicago Mercantile Exchange Group for the futures traded on Globex. The Weibull, Kumaraswamy, Riemann and Hurwitz Zeta, parabolic, Zipf-Mandelbrot distributions are tested for the a- and b-increments. A discrete version of the Fisher-Tippett distribution is suggested for approximating the extreme b-increments. Kolmogorov and Uspenskii classification of stochastic, typical, and chaotic random sequences is reviewed with regard to the futures price limits. Non-parametric L1 and log-likelihood tests are applied to check dependencies between the a- and b-increments. The maximum profit strategies and optimal trading elements are suggested as measures of frequency and magnitude of the market offers and disequilibrium. Empirical cumulative distribution functions of optimal profits are reported. A few classical papers are reviewed with more details in order to trace the origin and foundation of modern finance.
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中文摘要：
对于高频交易量的分类，等待时间、交易日内和交易日之间的价格增量称为a、b和c增量。a-b-c增量的统计数据是根据芝加哥商品交易所集团发布的在Globex上交易的期货的时间和销售记录计算的。对a增量和b增量的Weibull、Kumaraswamy、Riemann和Hurwitz Zeta、抛物线、Zipf-Mandelbrot分布进行了测试。建议使用Fisher-Tippett分布的离散形式来近似极端b增量。回顾了Kolmogorov和Uspenskii关于期货价格限制的随机、典型和混沌随机序列分类。非参数L1和对数似然检验用于检查a增量和b增量之间的依赖关系。提出了最大利润策略和最优交易要素，作为衡量市场报价频率和幅度以及不均衡性的指标。报告了最优利润的经验累积分布函数。为了追溯现代金融的起源和基础，本文对一些经典文献进行了较为详细的回顾。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Optimal_Trading_Strategies_as_Measures_of_Market_Disequilibrium.pdf (2.98 MB)

2022-6-24 15:53:55 上传

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关键词：交易策略 不平衡 distribution Quantitative Applications

P DFF T（x）=kxk+1e-x个-k=dΦGα（x）dx，x>0，k=α>0，III.P DFF T（x）=k(-x） k级-1e级-(-x） k=dψGα（x）dx，x<0，k=α≤ 对于组合绝对极值b增量的样本，II可能有用。莫里斯·弗里切特（MauriceFr\'echet）在1927年写过《第二次世界大战》[60]。它也是以他的名义使用的。根据定义【65，第45页】，分布函数F（x）和F（x）属于一种类型，如果b>0和a，F（x）=F（bx+a）。很容易看出F（x）=ΦGα=k（x）=e-x个-k、 x>0且F（x）=e-（bx+a）-k、 x>-A是有效的CDF，属于k>0、b>0的一种类型。虽然改变坐标系统的规模和原点并不会创建新的类型，但我们得到了更好的拟合工具P DFII（x）=kb（bx+a）k+1e-（bx+a）-k、 x>-ab，k>0，b>0，a≥ 0。（44）P[P DFII（|δ-尺寸|）的最小化-EP DFZSN13（|δ-尺寸|））]给出了解决方案（k=3.955386，b=0.142783，a=0），图25。使用Microsoft Solver\'sconstraint a≥ 0，当猜测值a>0时，可稳定地获得最佳a=0。如果a=0，则PDF是2类Gumbel分布，表示Emil Gumbel的贡献【75】。最佳b 6=1排除了Fr'etchet的情况。使用连续的类PDF方程44来最小化Pearson的χ拟合优度是不方便的：类的分数边界将很牵强。极端和普通b增量是离散的。图25:2013年3月至7月ZSN13的绝对极端b增量频率与秩的曲线图，用δ表示，以及近似的缩放和移位Fr'echet-Fisher-TippettGnedenko-Type-2-Gumbel PDF，P DFII。17.2我们需要离散分布图，图25，外观匹配，但存在问题：1）理论密度是连续的，2）低估了大|δ|的频率。实际上，点|δ|=82是在频率为0.003322的情况下获得的，但理论密度为0.00000286，少1162倍。

这些值是从具有日期的会话行中提取的。评估EPDF，见图23。同样，NGN13的等级被之前绘制的10划分。绝对值取的相同极端b增量绘制在双对数坐标中，如图24所示。图23:2013年3月至7月合同的极端b增量频率，以δ表示。虽然获得0δ和±1δb增量的机会最高，如图20、21所示，但在一次会话中获得它们作为极端值的机会微乎其微，如图23所示。即便如此，如果我们在图24上的点云上方绘制直线，将其外推到左侧也是错误的。图24中的ZSN13、ZWN13、GCM13、SIN13、CLN13、NGN13、6BM13、6CM13、6EM13和6JM13证实了绝对极端b增量的频率具有最大值。其他间接证据：2013年3月至7月，没有ZCN13、ZBM13、ESM13、HGN13和6AM13的会议，极端为0δ和±1δb增量。17.1 Fr'echet、Fisher、Tippett、von Mises、Gnedenko、Gumbel、HaanThe现代极值理论受到[59]、[163]、[64]、[13]的影响。Fisher和Tippett根据他们必须满足的函数关系提出了三个极限分布。Mises证明了最大阶统计量弱收敛于图24中每一个的充分条件：2013年3月至7月交易的合同的绝对极端b增量频率与等级的双对数图，以δ表示。三种类型。Gnedenko给出了极端阶统计量弱收敛的必要条件和有效条件的严格证明。哈恩改进了对格涅登科结果的阐述。Nedenko，G，[64，p.423]的CDF相对于x的差异给出了Fisher和Tippett，FT，[59，p.211-212]的PDF，即DFF T（x）=e-x个-e-x=d∧G（x）dx，-∞ < x<∞,二、

Arrhenius解释道：“很容易看出，计算值和观测值非常一致。通常，随着面积的增加，偏差会增加。这取决于较小区域的值是比较大区域的值更多观测值的平均值。”。16.2抛物线在对数-对数坐标系中与频率和ranksplots上的直线偏差，统称为抛物线分形。所谓的国王效应与最高频率等级的离群值有关。一个常见的例子是城镇规模关系，在法国，巴黎偏离了曲线。图22：在Microsoft Excel中输入并绘制了[9]中的数据。据称，ena遵循抛物线分形：星系强度、城镇大小分布、语言、物种和石油系统的碳氢化合物聚集http://www.hubbertpeak.com/laherrere/fractal.htm.他们扩大了阿诺德的名单。引用的参考文献[36]证明，“经验和相关过程的异常振荡通常发生的点集是一个随机分形”，并建议如何评估其Hausdorff维数。图20、21和22表明，抛物线部分可能是比直线更好的选择。然而，抛物线有一个缺点：在许多情况下，它不能在不违反自然单调性的情况下，在观测间隔之外进行推断。需要更多的数据来确认或拒绝经济学中的抛物线分形效应。对于金融时间序列而言，澄清市场难题很有价值。17极端b增量在表16中，Min、nmin、Max和NMXPress列表示极端b增量及其在范围和会话中出现的次数。对于每个合同，将这些值组合在一个样本中，其中b-increments和b-increments取nsmin和nsmaxtimes。

他应用Kolmogorov技术对幂二除以奇数后得到的余数的平均最小周期进行平滑处理，并找到一个有趣的双对数依赖关系【6，p.39，图1】。他从植物学、文学、医学、火山活动、遗传学、科学出版物数量、与空间元素紧凑排列相关的图论（对计算机科学来说很重要）中总结出了七个例子，其中包括奥洛夫·阿伦尼乌斯定律：一个地区的物种数量与其所在地区的力量成正比。作者添加了第一个名字来区分儿子和父亲——斯万特·阿伦尼乌斯（1903年诺贝尔化学奖获得者“…解离电解理论”），他提出的化学反应速率常数的温度依赖性方程也以“阿伦尼乌斯劳”的名字为人所知。由于常数与温度倒数（开尔文度）的对数曲线上有很好的直线，所以可以将其添加到阿诺德列表中。16.1绘制Arrhenius数据图作者审阅了文章[9]，并在Microsoft Excel中输入了106对（分米面积，物种数量）[9，第96页，表]。我们第一次在图22中看到了Olof的结果。我的眼睛看到：1）对于Calluna Pinus木材、Herb Pinus木材、Myrtillus Picea木材、Herb Picea wod、Herb hill II和Shore association II，抛物线的碎片会更好；2） 红豆痘苗有一个很大的异常值。在原始表格中，13个关联伴随着较大区域的实验数据和计算数据之间10-30%的偏差：前2-3个来自8-10个观察值。

作者编写了C++函数riemannzeta和HurwitzZeta，并将其从XLL导出，XLL是一种动态链接库DLL的形式，用作Microsoft Excel的加载项【161】。这有助于使用Microsoft Solver和Goal Seek在约束S>1.001和Q>0.001的情况下优化参数S和Q。表6的成本函数是九个类别的实验χ。15.2 Hurwitz-ZetaThe的Euler-Maclaurin公式所选计算方法基于Euler-Maclaurin求和【44，第114-117页】。伯努利数取自[1，第810页]。推导过程很长，作者仅给出了Hurwitz-zeta函数的最终公式，这是他在文献中找不到的。然而，对于黎曼泽塔，其思想与[44]中的相同。由于直接和的收敛速度较慢，因此将Euler-Maclaurin求和应用于差值ζ（S，Q）-N-1Xi=0（i+Q）-S=∞Xi=N（i+Q）-S、 ζ（S，Q）=N-1Xi=0（i+Q）-S+（N+Q）1-不锈钢- 1+2（N+Q）-S++MXk=1B2k（N+Q）1-S-2kQ2k-2j=0（S+j）（2k）！+E（S，Q，N，M），其中B2kare是伯努利数，E（S，Q，N，M）是误差项。使用Harold Edwards【44】和Linas Vepˇstas【227】的估计值，选择N=20和M=13，以确保图21所示S值的C++内置类型双精度支持的16位小数精度。Hurwitz-Zeta分布是用来描述b增量分布的透视图，它不需要尝试组合多个会话或在较小范围内。由于分布在时间上发生变化，甚至在一个范围/会话内，这可能会阻止泛化。16关于抛物线分形的评论提到，在许多情况下，幂律仍然是实验事实[6，第36-41页]，寻找渐近行为和对数修正可以提供理论解释。

虽然图显示了合理的相关性，但作者无法找到所有会话组合的b增量频率的合适Q和S，以使结果满足Pearsongoodity of fit标准。对于从单个会话获得的b增量，这是可能的。特别是，表5中的1秒ZBM13 2013年5月20日数据完全符合Hurwitz Zeta分布表6。对称负δ和正δ组合在一类中。自由度数f=9-1.-2 = 6. 相应的χ（6，0.02）=15.033，χ（6，0.01）=16.812，χ（6，0.001）=22.457【111】均大于实验值13.215。在我们的例子中，Riemann和Hurwitz zeta函数应该针对实参数S>1和（S>1，Q>0）进行计算。这项任务比计算复变元σ+t的黎曼-泽塔函数更简单√-1.σ、 t型∈ R、 对于σ=而言，这已成为一种竞争。2013年5月30日，ZBM13，表6：b增量的1500000001个值，Hurwitz Zeta分布，S=2.385873201，Q=1.510384234|δ| mmPmp=P DFHZ（|δ|）Np=pPm（m-Np）Np0 154 0.641666667 0.584630058 140.3112139 1.3354803261 30 0.125 0.173952889 41.74869328 3.3062542312 23 0.095833333 0.078165303 18.7596727 0.9584589173 18 0.075 0.042982386 10.31577261 5.7239872184 6 0.025 0.026656006 6 6.397441496 0.0246910815 2 0.008333333 0.017906011 4.297442571 1.2282287156 4 0.016666667 0.012733336 3.056000653 0.2916016287 2 0.008333333 0.009449749 2.2679397620.0316550378 1 0.004166667 0.007249441 1.739865873 0.314622821P240 1 0.953725178 228.8940428 13.21497997【139】，其中ζ（+t√-1） =0，无法证明黎曼假设，但对计算机科学有贡献。

29]. 科马罗夫卡（Komarovka）是莫斯科郊外的一个俄罗斯小村庄，当时是全世界数学家的圣地。图20:2013年3月至6月交易的玉米、E-mini、黄金和原油期货的绝对增值频率的双对数依赖关系，以δ表示。图20上的点累积了大量的b增量。ForES mini于2013年6月7日达到614991。ZCN13和CLN13的行在会话之间分裂。ESM13和GCM13的点更接近一条近似线。“直线”倾向于在更大的范围内弯曲，这意味着频率高于预测值。近似线低估了风险，但优于高斯分布。一只眼睛表明抛物线比直线更合适。在计算EPDF之前，将会话的b增量结合起来，可以创建平滑的地块，如图21所示。ESM13绘图使用的刻度数等于27438059。这比表16中的数字要大，因为包括2013年6月21日的最后一次临时会议。在这些图上，添加了初始艺术单零增量。它们的数量可以忽略不计，等于会话的数量。此外，一个交易日内区间之间的ci增量被视为B图21：2013年3月至7月交易的合同的绝对增量频率的双对数依赖关系，以δ表示。所有课程的增量合并在一起。增量。这不能造成主要差异。GEM13与其他地块明显不同。与表16相比，以δ表示的NGN13 b增量除以10。对于本合同，报告报价中的最小变化等于0.01，而官方δ=0.001。抛物线比直线更好地逼近这些数据。

8] ，[16，相关结果]P DFR（k）=k-服务提供商∞i=1i-S=k-Sζ（S），k∈ N∧ S∈ R∧ S>1，Hurwitz zeta【42，相关结果】，【82】P DFH（k）=（k+Q）-服务提供商∞i=0（i+Q）-S=（k+Q）-Sζ（S，Q），k∈ N∧S、 Q∈ R∧S>1∧Q>0和幂律分布[6，第29页]，[147，第30页]。simplewords是如何引发一项研究的，这很有趣。仲恺莱（ChungKai-Lai）的话【26，p.259】：众所周知，两个“大牌”之间的这种著名关系并没有引发任何重大问题【133】和【82】。作者应该认识到，他对最大利润战略的研究是由罗伯特·帕尔多（Robert Pardo）的话引发的【176，p.125】：衡量市场提供的潜在利润并不是一个被广泛理解的想法【190，前言】。Zipf-Mandelbrot定律假设最大秩N。虽然它可以设置为setbig，但这很不方便，因为绝对b增量的上界可能未知。Riemann-zeta分布的灵活性低于Hurwitzzeta分布。后者是精心设计的，因此可以从零级开始，并且有大量的零b增量。所有方程式均简化为P DF*（k） =-S ln（k+Q）- ln C公司*, 其中*是ZM、R、H或P-幂律。这是一条有点的直线方程（x=ln（k+Q）≈ ln（k），y=ln P DF*（k） ），如果Q→ 0或k Q、 ZM不能保证后者，其中k≤ N、 H在这一组中看起来最灵活。这些线表示幂律y=Cxa。弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）回忆（作者的俄语翻译）：从目击者的故事中，我知道Kolmogorov在湍流理论中的相似性定律不是由他从尺寸的考虑（用于今天的解释）中获得的，而是因为他用带有数千个实验数据的纸覆盖了Komarovka避暑别墅的地板“以及更早的”。。。我的结果没有被证明（VS：数学上），但正确，这更重要“[6，p。

（43）限制PSLIM表示理论极限：b-增量，rmax，i=K+，s，rmax，iandb增量，rmin=-K-,s、 rmin，i.这些等于2Pslimδ或-2.Pslimδ表示当前的跌停或涨停价格。作者没有在一个交易日内看到价格从跌停到涨停的差距，也没有看到价格从跌停到涨停的差距。有时会出现开盘价与限价之间的差距。Pork Bellies曾因连续进行几次限时而闻名。对于无限制的期货，理论上下一个b增量rmin，i=-Ps、riδ和b增量、rmax、iis无限制。表16列出了最小和最大偏差以及范围和时段内的发生次数。就绝对值而言，所有这些都小于理论极限，并且K会因会话而异。当分布几乎对称时，K-,sis很少完全等于K+，s。极端值只出现了几次，N计为数千，对偏度有显著影响。它们对于触发止损单的风险更为关键，因为相关频率与高斯分布一样不可忽略。多项式分布并不有趣，除非Ks，K-,s、 K+，允许由另一种分布类型控制的随机变量，并与一元随机变量相结合，选择增量的正负号。另一种方法是找到一个负责b增量绝对值（包括其极值）的分布，并将其与变量选择符号相结合。15.1 Zipf Mandelbrot、Riemann和Hurwitz Zeta分布作者回顾了Zipf Mandelbrot Q>0∧ S>0[147，pp.198 218]，其中Zipf情况为Q=0，P DFZM（k）=（k+Q）-SPNi=1（i+Q）-S、 秩k=1，N、 Riemann zeta[96，第35页]，[65，第82页]，[133，第821页，等式。