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向修海 2012-7-1 19:44
1、完全格 在 数学 中， 完全格 是在其中所有子集都有 上确界 (并)和 下确界 (交)的 偏序集 。完全格出现于数学和 计算机科学 的很多应用中。作为 格 的特殊实例，在 序理论 和 泛代数 中都有所研究。 完全格一定不能混淆于 完全偏序 ( cpo )，它构成严格的更加一般的一个偏序集合类别。更特殊的完全格是 完全布尔代数 和 完全Heyting代数 ( locale )。 目录 1 形式定义 2 例子 3 引用 4 参见 形式定义 偏序集合 ( L , ≤) 是完全格，如果 L 的所有 子集 A 在 ( L , ≤) 中都有 最大下界 (下确界，交)和 最小上界 (上确界，并)二者。它们被表示为: A (交)和 A (并)。 注意在 A 是 空集 的特殊情况下，L 的任何元素都是空集的上界和下界， A 的交将是 L 的 最大元素 。类似的，空集的并生成 最小元素 。因为定义还确保了二元交和并的存在，完全格因为形成了特殊种类的 有界格 。 上述定义的更多蕴涵在关于序理论中 完备性性质 的文章中讨论。 例子 给定集合的 幂集 ，按 包含 排序。上确界给出自这些子集的 并集 而下确界给出自这些子集的 交集 。 单位区间 和 扩展的实数轴 ，通过平常的全序和普通的 上确界 和 下确界 。实际上，全序集合(带有它的 序拓扑 )作为 拓扑空间 是 紧致的 ，如果它作为一个格是完全的。 非负 整数 按 整除 排序。这个格最小元是 1，因为它可以被任何其他数整除。可能另人惊奇，最大元是 0，因为它可以被任何数整除。有限集合的上确界给出自 最小公倍数 而下确界给出自 最大公约数 。对于无限集合，上确界将总是 0 而下确界可以大于 1。例如，所有偶数的集合有 2 作为最大公约数。如果从这个结构中去掉 0 它仍是格但不再是完全的。 任何给定群的子群在包含关系下。(尽管这里的 下确界 是平常的集合论交集，但子群的集合的 上确界 是子群的集合论并集所生成的子群，而不是集合论并集自身)。如果 e 是 G 的单位元，则平凡的群 { e } 是 G 的 极小 子群。而 极大 子群是群 G 自身。 模 的子模按包含排序。上确界给出自子模的和而下确界给出自交集。 环的 理想子环 按包含排序。上确界给出自理想子环的和而下确界给出自交集。 拓扑空间 的开集按包含排序。上确界给出自开集的并而下确界给出自交集的 内部 。 实数 或 复数 的 向量空间 的 凸集 按包含排序。下确界给出自凸集的交集而上确界给出自并集的 凸包 。 在集合上 拓扑 按包含排序。下确界给出自拓扑的交集，而上确界给出自拓扑的并集所生成的拓扑。 在集合上的所有 传递关系 的格。 多重集 的子多重集的格。 在集合上的所有 等价关系 的格；等价关系 ~ 被认为比 ≈ 更小(或"更细")，如果 x ~ y 总是蕴涵 x ≈ y 。 2、上极限和下极限 维基百科，自由的百科全书 跳转到： 导航 , 搜索 上极限和下极限的示意图。序列 x n 绘为蓝色。两个红色曲线逼近 x n 的上极限和下极限，绘为红色虚线。 数学 上， 序列 的 上极限 和 下极限 可以看为序列的极限上下界。 函数 的上极限和下极限可以用类似方式考虑。（参见 函数的极限 ）。集合的上极限和下极限分别是这个集合的 极限点 的 上确界 和 下确界 。 目录 1 定义 2 实数数列 3 集的序列 4 引用 定义 序列 的上极限定义是 ； 或者 。 同样的，序列 的下极限定义是 ； 或者 。 这些定义在任意的 偏序集 都适用，只需要 上确界 和 下确界 存在。 在 完全格 裡，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。 每当 和 都存在，那么 。 上极限和下极限也记为 和 。 实数数列 实数集 R 的 数列 对 微积分 很重要。 R 不是完全格，但可以加入正负 无穷 以得到 全序集 。 那么在 中数列 收敛 当且仅当 ，而这时 等于上面的共同值。 （注意当只是考虑 R 时，收敛至 或 并不当作收敛。） 作为例子，考虑数列 。应用 π 的 无理数 性质，可以证明 和 。 若 和 ，那么区间 不一定包含任何的 ，但是轻微扩大了的 对任意小的ε 0都会包含除了有限项外所有的 x n 。区间 是适合这个性质的最小闭区间。 一个 数论 例子是 ， 其中 是第 个 素数 。 下极限的值的猜测为2——这是 孪生素数猜想 ——但至今连它是否有限也没能证明。 集的序列 集合 X 的 冪集 P ( X )是 完全格 。对于 P ( X )中的序列，也就是 X 的子集的序列，其上下极限也有用处。 若 是这样的序列，那么 X 的元素 a 属于 ，当且仅当存在自然数 使得对于所有 ， a 在 裡。元素 a 属于 ，当且仅当对所有自然数 ，都存在一个指数 使得 a 在 裡。换句话说， 包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个 n ，使得它在集合 裡；而 包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有 n ，使得它在 裡。 以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合裡的最大集合： 。 令 为自 起的集合的下确界。那么序列 非递减，因为 。所以，第1至 n 个下确界的并集就是第 n 个下确界。下极限就是这序列的极限： 。 上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并： 。 上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个裡面）。 。 例子或应用可见 波莱尔－坎泰利引理 ， 柯西-阿达马公式 （Cauchy-Hadamard Formula）。
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