tag 标签: 实数经管大学堂：名校名师名课

相关帖子

 版块 作者 回复/查看 最后发表
线性谱估计及其在相位反演中的应用 外文文献专区 可人4 2022-3-31 0 541 三江鸿 2022-5-1 13:54:04
一种低通传递函数的实时数字信号恢复 多复数极点系统 外文文献专区 kedemingshi 2022-4-14 0 360 kedemingshi 2022-4-14 11:15:00
不同条件下非相干帧的构造算法 设计约束 外文文献专区 能者818 2022-3-6 0 353 能者818 2022-3-6 16:36:25
请问matlab中如何判断一个数是实数或虚数？ MATLAB等数学软件专版 wondergao 2009-3-8 3 40598 Xaero 2015-1-1 20:56:32
有人会用MATLAB的遗传算法工具箱编写基于实数编码的加速遗传算？ MATLAB等数学软件专版 diviny 2009-9-20 2 4247 yuanxinqiang 2013-4-26 22:12:42
求助：若f，g均为凹函数，如何证明af+g也为凹函数呢？a属于实数范围。 爱问频道 springplum 2010-9-23 3 1445 Enthuse 2010-9-23 22:23:25
建立回归模型时，解释变量能否为一个指数 一个实数 EViews专版 jjanet 2009-12-6 1 1717 nlm0402 2009-12-6 09:41:01
更多...

相关日志

分享 高等数学中的实数（R）—正三观（1）
Qing1006 2014-3-16 16:16
高等数学中的实数（R）—正三观（1）
1.实数（R）的产生根源： 从高等数学的角度出发，来对实数的定义追根溯源，在初等数学的知识体系中最原始的数为整数，建立高等数学最基础的集合为整数集（ Z ），由整数集有定义了有理数和有理数集（ Q ）。有理数是整数与分数（分数可以化简为：有限小数、无限循环小数）的统称。 整数集（Z）具有什么性质， 就可以将它的性质赋予给有理数集（Q）。例如，整数集具有自然的有序性，即可以拿出两个整数就可以随意的比较大小。它这种性质也赋予给了有理数Q，由于有理数Q是由整数来定义的，即 Q=p/q ，p和q都为整数，所以假设Q1=p1/q1,Q2=p2/q2,那么比较Q1和Q2的大小时候就是看Q1与Q2是否同号，要是同号，那么就将Q1-Q2，通分之后比较p1q2-p2q1之间的大小，再确定Q1和Q2之间的大小，这使得有理数在定义上就继承了整数的有序性即可以比较大小。 上述为有理数的集合定义。整数（Z）其遵循加减乘除运算，但是对于除法运算“不封闭”，即除法使得整数变成了非整数，这样得到的结果跑到了整数集合（Z）之外，而从上述定义中可以看出，有理数Q也遵循加减乘除运算，同时它对除法运算“封闭”，这样我们称有理数Q的集合为一个“数域”，而由于整数集合（Z）对除法运算不封闭，所以整数集合Z不是一个“数域”。但是，需要指出的是， 有理数集合Q对于求极限过程不封闭 。证明根号2是无理数的过程就是利用反证法、有理数的定义公式和p与q互质，说明其不是有理数,即证明它为无理数。 （ 两个数互质，是指两个数的公约数只有1，则称之为两个数“互质” ） “数域”对所有运算都封闭，整数集对除法运算不封闭，有理数集对求极限不封闭，那么要寻找一个比有理数集更为完美的数域，就是要寻找 一个对于除法运算和极限运算都封闭的集合 ，我们就 创造了实数集合（R） 。 2.数学定义上的实数集合（R） 实数集合（R）是在有理数集合（Q）的基础上延伸出来的一个新的数域。 R的产生和定义可以用Dedekind（戴德金分划来理解） 。 上图是一个对于有理数集Q的分划，从有理数上的点2上进行分划，将有理数集合Q在点2上分划为集合A和集合B。那么有理数集合Q=A并B并且A交B=空集。 这样的话，根据集合A和集合B在有理数集合上具有有序性，所以对于集合上任意的a属于集合A和任意的b属于集合B存在着ab。 如果在点2上进行划分，那么就会出现两种并集的情况，即： 这种情况下左面为集合A，右面为集合B，若为第一种情况，就称之为集合B中有最小元即“2”；若为第二种情况，就称之为集合A有最大元即“2”。 将有理数集合的分划推广到一般情况，即假设分划点为c，则有c点左右两边有集合A和集合B，会出现两种并集的情况，即： 这种情况下左面为集合A，右面为集合B，若为第一种情况，就称之为集合B中有最小元即“c”；若为第二种情况，就称之为集合A有最大元即“c”。 总结上述有理数集合过程，有理数集合可以在一点将其划分为集合A和集合B，那么这两个集合的并集为有理数集Q并且这两个集合的交集为空集，同时对于集合A和集合B组成的有理数集合，A集合中有最大元或者B集合中有最小元，那么就有对于任意的a属于A和任意的b属于B，有ab（ 由于有理数集合为有序集，A集合在B集合左边，所以A集合小于B集合 ）。 下面，我们要对有理数集合进行扩充，将其推广，因为有理数集合要分划为两个集合A、B，并且A中有最大元或者B中最小元，那么，我们对这个命题取反命题，就是有理数集合命题的另外一边即我们要扩充的一半，那么这个反命题就是无理数的概念。从集合的角度来讲，无理数就是在集合中，在某点进行划分，分为A和B两个集合，A中无最大元且B中无最小元，这样一个集合。如图： 例如，上图在分划中，以圆周率点为分划点，将集合分为A和B两部分，这两部分也遵从有序性即可以比较大小，但是在分划出的集合A和集合B中无最大元也无最小元，这是因为圆周率是一个无限不循环小数，只可以接近却永远不能达到，称之为无理分划。 这样就定义了无理数，从划分的角度来讲，有理划分+无理分划=实数集合（R）。对于一个集合可以对它在不同的点进行划分，划分点的不同（有理数点或无理数点）就将这个集合可以划分为有理数集和无理数集（ 无理数集就是有理数集的补集 ）。这些不同的分划又组成了一个大的分划大集合，所有的分划大集合就组成了实数集合（R）。 实数集合（R）是由有理数集和无理数集组成的，所以对实数R在某点如d点进行划分，就有： 这是实数集的完备性。同时在实数集（R）中，任何一个无理数都可以由一个极限在R中去趋近，所以极限运算在实数集R中封闭，同时实数R具有有序性（比较大小）和完备性。 3.实数集（R）的有序性为何是自然定义的？ 整数集合（Z）的有序性是自然天生的，有理数集合（Q）的有序性是通过有理数的定义通过判断符号然后对同号元素交叉相乘定义的Q具有有序性，那么实数（R）的是否具有有序性呢？ 这个问题从分划的角度来解释 。我们知道，实数R被有理划分和无理划分分割为两部分，其中有理划分中一个元素为a，无理划分中一个元素为b。 对于实数R在有理划分（Q）上，R的元素在Q中沿用了Q的有序性，由于无理数是有理数集的补集，所以在无理数集中R的元素也存在有序性，那么我们就只关注R的元素一个在无理数集中，一个在有理数集中同时存在时的有序性是怎么样的？如下图所示： a元素属于有理分划，b元素属于无理分划，a和b元素属于不一样的分划，所以A和B是不一样的值，那么就关心B的值的范围问题： 映射至元素即ab或ab中元素，所以，实数R集合是天生有序的。 4.何为“数域”？ 数域指存在一个集合M，其有M={m1,m2},并且M集合对加减乘除封闭并且天生可以进行加乘运算，这样的M称为“数域”。 M M={m1,m2}集合要为一个数域，存在着诸多的条件，分别是（1）m1+m2=m2+m1（满足加法运算和加法交换律）；（2）m1*m2=m2*m1（满足乘法运算和乘法交换律）；（3） ヨ0（存在0）m1+0=0+m1（0元）；（4） ヨ1（存在1）m1*1=1*m1（1元）；（5） ヨ-m（存在-m）-m1+m1=0；（6） ヨ1/m1（若m1不等于0）则(1/m1)*m1=m1*(1/m1)=1。 对于上述性质，m1,m2,-m1,1/m1,0,1都是属于M集合之中，这样保证了运算的封闭性。 如果没有（6），即如同整数集合，他对除法不封闭，那么整数集合称之为“环”，“环”上有加减乘，但没有除法（对除法不封闭），或称之为没有乘法的逆元。 再例如“群（Group-G）”，“群”中的集合只有一种运算即群运算-群的乘法运算，如{g1,g2,g3,...}，那么这样的话群运算就是g1*g2=g3，群中存在乘法的单位元，群运算是不可交换的，就是没有乘法交换律。 数域首先满足对四则运算的封闭性以及可以对极限封闭性。复数数域C是天生无序的，但是它是目前为止最完美的数域。
个人分类: 高等数学|0 个评论
更多...

京ICP备16021002号-2 京B2-20170662号 京公网安备 11010802022788号 论坛法律顾问：王进律师 知识产权保护声明   免责及隐私声明

GMT+8, 2025-12-26 11:01