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分享 经济金融数学专区导读及资源汇总
慢爬的蜗牛 2014-11-15 00:32
【公告】经济金融数学专区导读及资源汇总 https://bbs.pinggu.org/forum.php?mod=viewthreadtid=3182136fromuid=3737555
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分享 中国科学院智慧火花(数学)公布的孪生素数猜想和哥德巴赫猜想都是初等数论问题
呆呆笨笨塞塞 2014-10-27 08:30
中国科学院智慧火花(数学)公布的孪生素数猜想和哥德巴赫猜想都是初等数论问题
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分享 25年以前的论文15年以前发表被世界各个数学网站引用
呆呆笨笨塞塞 2014-9-14 09:00
25年以前的论文15年以前发表被世界各个数学网站引用
什么是孿生素數猜想 存在無窮多個素數 p ,與 p + 2 都是素數。 孿生素數的公式 利用素數的判定法則,可以得到以下的結論:「若自然數 與 都不能被任何不大於 的素數 整除 ,則 與 都是素數」。這是因為一個自然數 是素數 若且唯若 它不能被任何小於等於 的素數整除。用數學的語言表示以上的結論,就是: 存在一組自然數 ,使得 其中 表示從小到大排列時的前 k 個素數:2,3,5,....。並且滿足 這樣解得的自然數 如果滿足 ,則 與 是一對孿生素數。 我們可以把(1)式的內容等價轉換成為同餘方程組表示: 由於(2)的模 , ,..., 都是素數,因此兩兩互素,根據 孫子定理 (中國剩餘定理)知,對於給定的 ,(2)式有唯一一個小於 的正整數解。 範例 例如k=1時, ,解得 。由於 ,所以可知 與 、 與 都是孿生素數。這樣就求得了 區間 里的全部孿生素數對。 又比如k=2時,列出方程 ,解得 。由於 ,所以 與 、 與 都是了孿生素數。由於這已經是所有可能的 值,所以這樣就求得了區間 的全部孿生素數對。 k=3時 = 11,41 17 29 由於這已經是所有可能的 值,所以這樣就求得了區間 的全部孿生素數對。        仿此下去可以一個不漏地求得任意大的數以內的全部孿生素數對。對於所有可能的 值,(1)和(2)式在 ... 範圍內,有( )( )( )...( )(3)個解。 結論推廣 孿生素數猜想就是在k值任意大時(1)和(2)式都有小於 的解。孪生素数猜想已经转入初等数论范围. 证明 【1】假定最后一对孪生素数是 ,我们按照(1)式和(2)式写上。 【2】将1至 ... 按 为一组,划分成 ... 个组(或区间) ; ;....; 。 假定 -2 之内无解,那么 之内无解。 【3】我们用反证法证明 有解, -2 , 之内有解就是 -2 之内有解。因为 -2 。 【4】,如果第一区间无解,根据引理:“两个含自然数个数相等的区间筛k次被筛数相差不超k“。其它区间的解数就不会超高2k。 因为:(1)式(2)式 ( ≠0; ≠ ) 还有 ... —1个区间,总解数不超过( ... —1 )x 2k 个。 而: ( ... -2 -1 ) x 2k ( ... -2)x 2k ( )( )( ).....( ) 【4】,对比:第二项作为分母,第三项作为分子,一一对应,第三项( )对 应第二项 。 ( ). 。 除了第一第二项 ( ). = 1/2,其他各项都是分子大于分母,而 前面12项 ( ). 。 【5】]就是说,如果第一区间 无解,其他区间解数不会超过 2k 个,于是,(1)式(2)式总解数少于 ( )( )( ).....( )个,而(2)式的解数是根据孙子定理得到的,与孙子定理矛盾的结果必然是错误的。 两个含连续自然数个数相等的区间筛k次被筛数相差不超高k 埃拉特斯特尼筛法是大家熟知的,现在问:两个自然数个数相等或者多个自然数相等的区间同时用 k个从小到大不同素数筛,被筛掉的数(或者没有被筛掉的数)不同区间会是一样的吗? 将1至 ... 按 为一组,划分成 ... 个组 (或区间)依次按2,3,5,...顺序筛,筛k次后,任两个含连续自然数个数相等的区间,被筛(或末被筛)数相差不超过k个。 说明:本筛法与埃拉托赛尼筛法不同,埃氏筛先用 2 筛,然后把 2 的倍数剔除掉;再用 3 筛,又把 3 的倍数剔除掉;再用 5 筛, ..... 。本筛法是已经筛过的数不马上剔除掉,而是做上标记,等全部筛完过后再把筛过的数剔除掉。于是,有一些含有几个不同素因子的数就要被筛几遍,例如“ 6 ”,就要被“ 2 ,”和“ 3 ,”各筛一遍。   证明:根据除法算式定理:“给定正整数 a 和 b , b 不等于 0 ,存在唯一整数 a 和 r ,( 0 ≤ rb.) 。使 a=bq+r 。”得知,如果从 a 中筛 bm 形数, a 个连续自然数中,最多含有 q+1 个 bm 形数, r 个连续自然数中,最多含有一个 bm 形数。例如, a=35 , b=3 , 35=3x11+2 , 35 个连续自然数中,最多含有 11+1=12 个 3m 形数,例如 1---35 有 11 个 3m 形数, 36----70 有 12 个 3m 形数。   现在设某两个区间为 A 与 B ,含自然数的个数分别为 |A| 与 |B| , |A|=|B| ,下证明 p 去筛,两区间被筛 pm 形数(或者未被筛数)个数相差最多不超过 1 个。由上所述筛法,用顺序素数 依次去筛,两区间每次被筛 pm 形数(或者未被筛数)个数相差最多不超过 1 个,故筛 k 次两区间被筛数 ( 或者未被筛数)个数最多不超过 k 个。   证法 1 ,设 |A|=pm+r ,则 |B|=pm+r , 0 ≤ rp ,即区间 A 和 B 中均至少含有 m 个 pm 形数,又由于 rp ,故 r 个连续自然数中至多有一个 pm 形数,即被筛 pm 形数个数相差不超过 1 个。   证法 2 ,假若不然,筛 k 次有两个区间 A 与 B ,被筛数相差大于 K ,比如有 K+1 个,那会出现什么问题呢?我们问第 K+1 是个什么(见图),例如 A 与 B 用 2 和 3 去筛,如果出现了相差 3 个,第一个记为 2m 形,第二个记为 3m 形,问第三个( - ? - )是什么形式?(每一个括号表示一个自然数)。    区间 A :( + )。。。( + ); ----------------- ----- -- ( - )( - )( - )( - )。。。( - );    区间 B :( + )。。。( + )( 2 m)(3 m)( ? ) ; -- ----- ----------------- ( - )。。。( - );    |--------------- 已经筛过部分 ----------------------|------------ 未经筛过部分 ------------| 。   如果第三个(?)是 2m 或者 3m 形,显然与除法算式定理矛盾;如果不是 2m 或者 3m 形,它就不应该“站在”已经筛过的行列。无论哪一种情况,假设都不能成立。 就是说,几个自然数相等的区间,用 k 个不同的素数去筛,筛完以后,任何两个区间被筛数(或者剩下的数)相差不会超过 k 个。证毕。
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分享 数模最优化
big__too 2014-8-11 21:56
如果开学去接学妹,那么接第几个合适呢?由于报道当天学妹抵达学校的时间没有规律性,你永远不知道下一个会不会更好,可以这样算一下:假定自己学院新生学妹的总数n=90,从数学模型上说,先跳过前面k个人,不管这些人有多好;然后从第k+1个人开始,一旦看到比之前所有人都要好的学妹就该毫不犹豫地上前才是最有效率的手段。假设最合适的学妹出现在了第i个位置(kin),考虑到第i-1个人中的最佳学妹可能出现在前k个人里,这有k/(i-1)的可能,用x来表示k/n的值,并假设n充分大,对1/t进行x到1的积分并简化最终得道p (k)=-x*lnx,对-x*lnx求导,令导数为0,解出X的最优值,x=1/e,约等于37%带入公式得到90*0.37=33.3,因此从第34个学妹开始,出现最佳选择的概率最大。
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分享 【论低等人的一种典型模式——先学数学,再转经济】 烟花不堪剪
w55100 2014-5-1 01:02
在中国数学系有一种非常典型的模式,那就是先学数学,再转经济。不少人认为,假如能从数学成功转向经济,他们的饭碗就算是保住啦!不少同学也会向这部分人投去羡慕的目光,认为他们才是自己崇拜的精英。而那些没能成功转向经济的同学则被视为是屌丝, loser 。这种现象可真是让文明人笑掉大牙。今天我要讲的是,先学数学,再转经济,这实际上是一种典型的低等人模式。 中国人非常奇怪,明明有幸可以走上一条高等人的道路,它们反而觉得那样没有前途,非要从高等人的队列里艰难地爬出来,冲到低等人的群体当中,和同类拱在一起发臭,这样他们的人生才算是圆满了,这实在是一件非常可笑的事。 事实上,这样做的动机也不难理解,因为中国人所有的举动都可以 descend 到同一件事上:吃饭。尽管在绝大多数时候,有饭吃是肯定的,可是由于中国人进化不完全的缘故,即使储存的饭多得一辈子吃不完,他们还是在坚持创造更多的饭,可以说在现代文明中很好地再现了西西弗斯精神。 事实上,稍有数学学习经历的人都知道,假如一个人严肃地学过 elegant 的数学,是绝对不可能看得上那些极为土鳖的经济书的。并且,当一个人从全人类的精神追求中走出来过渡到经济这样的实际问题的时候,心里产生的落差是可想而知的。可是,**不少数学系学生还真能违背自然规律,反戈一击,逆转命运,毅然抛弃数学,选择经济,我想这里面的原因就显得比较丑陋了。 假如一个人从一开始就真心喜欢经济,那么就应该坚定不移地去做经济学家,这样的人毫无疑问是纯粹的,我也很欣赏这类人。毕竟每个人的喜好不同,我也相信任何一个领域都存在美和纯粹。假如一个人学数学实在能力不济,被迫转向力所能及的行业,这样的人我也可以理解:例如目前在华尔街工作的许多名校毕业生,就是因为写不出论文而没有拿到数学 phd 。(许多土著非常推崇这批人,实际上他们是能力低下的可怜人,真正能拿到 phd 的同学绝不会屑于去做那些工作,真正有能力追求真理的人绝不会无聊到把有限的生命浪费在挣钱上。这批人是名符其实的 loser ,这在美国社会是心照不宣的事实。我师兄的女朋友在哥大学经济,她就曾经劝慰我师兄讲:做不好数学没关系,再不济也可以在华尔街找工作。事实上,她本人甚至分不清连续函数与可微函数有何区别。然而,这批 loser 到了中国这里却变成了精英 ··· 可见中国人低劣的精神层次。)可是,目前**绝大多数放弃数学转向经济的人其实并不是因为上述任何一种原因,而是为了某些不可告人的功利目的。比如清华北大每年数学系的绝大多数学生都会转向经济,但是他们中的大部分却能得到很好的 GPA ,这就充分暴露了他们的龌龊目的。 中国人不知廉耻。明明在做一些见不得人的事情,却给你装得冠冕堂皇,似乎有许多大道理似的。其实假如你非要不屈不挠地追问缘由,他们又只能回归到吃饭,找工作,养家糊口等等土著问题上。尽管他们的内心这样子虚弱,可是他们认为没有被揭开的伤疤,那就不是伤疤。没有被揭穿的谎言,那就不算谎言。所以这个民族还有什么道德可讲呢? 目前,中国人的从众心理已经使先学数学,再转经济这种典型的低等人模式风靡开来,许多人甚至因为害怕这样的人太多而放弃转向经济的 “ 远大目标 ” ,转而转向其他一些实际行业,这种现状实在是叫人心寒。更可怕的是,由于这些人已经铁了心要做低等人,要阉割改变命运,他们的学习模式也是极为肮脏功利的:他们念书就是为了考试,他们做题就是为了要像机器一样熟练,他们无耻地打听考试题,他们死缠烂打地在考试以后要求加分,他们臭不要脸地乞讨推荐信,他们像疯狗一样背书,他们像精神病一样记笔记 ··· 他们天天来往于宿舍和自习室,而假装学习的目的只有一个:做回低等人! 啊!多么伟大! 中国的落后在于没有人觉醒,所以中国人的观念里始终只有财富和地位,却没有精神层次上的高下。事实上,精神层次上的高下从某种意义上说是天赋的,因此更加本质,而财富和地位在任何一个有才能的人看来只要想得到立刻就会有了,根本没有什么意义。也许有一天我们对数学不再感兴趣,那么无聊之下也许会去赚点钱,然后捐给数学,换一种更有效的方式支持纯粹事业的发展,这就是 James Simons 所做的。所以,实际上并不是从数学转向经济这种行为本身很低劣,而是中国人动机的不纯使之低劣。一个高尚的人,无论在做什么,无论何时何地都不会放弃心中的那份纯粹。这也是我对大家的希望。 中国人总是认为,发达国家公民的觉醒是物质累积的产物,从而将自身修养的拙劣推卸给物质的不足,这样才有了许多人嘴里所谓的 “ 经济基础决定上层建筑 ” 。这种说法的荒谬是不言而喻的,就连中国人一直信仰的马克思也是在饥寒交迫中创造了精神财富,其他例子就不用多谈了。事实上,物质累积下的觉醒始终是肤浅的觉醒,真正的觉醒,对于高层次精神文明的真正认同,必然源于灵魂深处的觉醒。人不堪其忧,回也不改其乐:真正纯粹的精神从来都是独立于物质的。而这种觉醒,需要依靠教育:告诉学生怎样做才是高尚的,而不仅仅是传授知识。 学校的作用有且只有两个:第一,为学生做好后勤工作。第二,对抗社会。很可惜的是,目前中国的所谓学校,没有做到其中任何一条。所以,一方面学校在产出低等人,另一方面低等人不知道自己为什么低等。这就导致了先学数学,再转经济这种典型的低等人模式没有受到道义上的谴责。
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分享 学数学的伤不起啊
Dawnson-X 2014-4-23 12:56
从周一到周五,天天都有数学课,统计分析,计量经济,数学建模,高等代数,天天要写实验报告,天天面对SPSS、Eviews、MATLAB......好一个累字了得!
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分享 投资思想(转)
jilt86 2014-4-7 22:50
无论哪种投资,背后都有一套自己的投资哲学和逻辑,这些深层次的内容源自投资者,特别是发明、发现这些投资思想的人对自身,对市场、对人性的综合理解,每一种思想都可谓博大精深,然而我深信大道至简,权且自己从数学角度来理解各种常见的投资思想。 价值投资: 代表大师:巴菲特,其思想在于发现价值被低估的标的买入并持有,在高估时抛出。本人对如何发现低估标的没有太深的理解,虽然这是整个思路的关键。 中心思想:其实是一阶矩,也就是基于期望的投资,这个思想虽然容易被理解,但是最大的难点是如何正确的设定期望,所以抱住一只股票不放手的人物,认为价值投资=长期投资的人,恐怕难以称为价值投资者。 类似的技术流派Bollinger: 代表大师:Bollinger,在其所著的Bollinger on Bollinger band书中,作者给出了3种基于布林通道的投资机会:1,波幅突破,简单理解就是布林带的口很小时,K线真正突破的方向(作者也讲了关于假突破的现象)2,趋势跟踪,布林是构建在均线之上的,自然可以趋势跟踪,只不过作者认为行情的反转未必是跌穿了均线就一定就反转,也可能是walking the band在布林带上下走着继续趋势(这个是与品种属性相关的,不同的品种品性并不相同)3,趋势的反转,这部分作者是结合了传统技术分析的思路,主要是结合M或者三重顶底的反转来构建的,作者认为,传统的顶底识别有缺陷,没有加入统计因素,也就是绝对的价格更低并不代表突破,只要还在布林带内,即便价格创新低或新高,很可能是反转,篇幅限制,大家有兴趣看看原文,就不展开了。 中心思想:我个人觉得Bollinger是技术分析的集大成者,bollinger band既包含了均线,也包含了到均线的波动距离统计,同时纳入了一阶矩和二阶矩。均线就是其一阶矩,为什么这么说呢?均线本质上就是对价格的期望,虽然对时间序列取均值作为期望难以比得过巴菲特哪种大师级的方法,但是贵在简单可行,并且普通的均线可以近似视为市场上投资者的平均持仓成本(张建平老师的提示,很有启发)。关于二阶矩,就是方差了,布林带的上下就是基于标准差构建的,这个巧妙之处在于它不必考虑时间序列的分布,按照契比雪夫定理(任意一个数据集中,位于其平均数m个标准差范围内的比例总是至少为1-1/㎡,对于m=2或3,分别有3/4的数据位于平均数2个标准差范围内)。Bollinger band这三种用法关键是看如何选取时间周期以及合适的均线,这其实并不容易,有boll实战经验的人肯定深有体会,这是书上学不到的。 技术流派各种均线流: 代表大师:克罗,考夫曼 克罗用的是普通均线交叉系统,前面分析boll时也讲到了,这个是典型的一阶矩,从克罗的成功也能看出来大道至简的道理啊。而均线交叉就是一条快一条慢均线,这就反映了不同投资者的平均持仓成本的变化。快速的均线反映了可能有更多信息含量的人的持仓成本(投资决策),当然也包含了很多投资者不同的投资心理,如何捕捉真正有信息含量的first movers,就是通过均线的选择,现在市场由于计算技术的发达,大家各种优化,导致不那么容易选出来这样的均线了,而且很多大的机构也深知这一点,往往会让均线交叉时上下搞几次,或者让价格大幅脱离交叉点时的价格。但这些基本思想是没有变的,可能的解决思路就是加filter? 考夫曼的自适应均线是均线系统比较新的有代表性的发展,正是由于过度优化和机构投资者交易手法的多变和故意制造假象,考夫曼就设计了自适应均线,并且后来的研究加入了filter,一定程度上解决了克罗系统的问题。自适应均线本质是根据价格的趋势性进行加权或者惩罚,有趋势时均线跟踪的很快,而震荡时,加入惩罚项,均线不怎么动,虽然从定义上讲这已经不是一阶矩的期望了,但是这其实更好得反映了市场的平均成本,并且由于自适应均线的方法计算核心的均线时用的仍然是线性方法EMA,所以,我也把它列入一阶矩的分类中。 MACD 这个本质上也是个均线系统,网上说发明者是阿佩尔,很多人很迷恋MACD,但是看看MACD的公式,首先DIFF=两条长短EMA均线的差,DEA是对DIFF再次取EMA,我没看到作者原著关于MACD思想的解释,我个人的推断是作者想作的是和克罗一样的事,就是发现first mover的信息,但是作者把问题复杂化了。这个的思想还是期望模型,只不过求的不是价格本身的期望,而是长短EMA均线之间差值的期望,可以说是期望的期望,还是个一阶矩的系统。这个系统的关键也是长短周期以及最后的再次期望的周期的选择,我个人不喜欢这么复杂化的东西。 KD和RSI 这两者用的以及不是线性模型了,但是可以线性化处理方便理解,先讲RSI,RS=N天内上涨数之和/N天内下跌数之和,RSI=100×RS/(1+RS),100无关紧要,可以去掉,那么1/RSI=1/RS+1,而1/RS= N天内下跌数之和/N天内上涨数之和,变换后的RSI指标,权且叫IRSI=IRS+1,用法自然和正常的用法相反,只是为了便于理解其本质。这个IRSI就是衡量N天内的市场弱势程度,所以,这个连期望在计算过程中都没有涉及,也就谈不上几阶矩了。但是作者隐含了一个均值回归的思想,就是价格不能持续地涨跌下去,总会有所调整的,所以也可以算是个一阶矩的指标。再说KD指标, RSV=(收盘价-N日内最低价)/(N日内最高价-N日内最低价)*100,这个真是不好线性化,这个本身反映了价格最新的收盘价处于N日波动区间的什么范围。然后后续的工作就又回到了期望上,K是RSV的M日移动平均,D是K的T日移动平均。又是个期望的期望,套用条件期望的迭代法则,就会发现其实这个东西也没什么新鲜的,还是一阶矩针对收盘价所处N日相对强弱的应用。 共同基金常用的alpha策略 代表大师:这个比较多,不列举了。神马是aplha策略?这个自然和BETA联系在一起的,前些天也参与讨论了关于CAPM的一些事,大家成天关注着beta云云,但是其实基金都是以赚alp ha的钱为主的,y=α+βx+c,通常,基金选择的都是alpha0的个股组成的投资组合,这个策略能盈利,背后的逻辑就是三阶矩也就是偏度skewness,金融投资标的收益很多并不是对称分布的,而是左偏的,也就是alpha是大于0的。这在美国股市是很典型的,共同基金一般在使用alpha策略时,也会考虑到左偏分布的下尾风险,所以VaR到处都会听到,常见的策略就是基于二阶矩的调整,就是根据波动率以方差衡量来进行仓位的平衡,以降低风险,当然也有基于beta的期货或者期权对冲,比较复杂,我也没深入研究,就不说了。这个投资思路可以说简简单单,干干净净,却让很多美国共同基金的经理表现很好,这也是为啥美国想搞赢指数很难的原因。 对冲基金采用的突破策略 代表大师:索罗斯,保尔森。索罗斯的投资思想的核心是相关反射理论,也就是趋势是不断通过不同投资者的心理和行为自我确认强化,到了转折点就反转的。这个听起来高大上,很复杂,但是背后的逻辑用数学来说就是四阶矩kurtosis,也叫flatness。这个的核心思想就是投资标的在多数时间,都是没有大的趋势性的,表现为价格多数时间集中在均值附近左右徘徊,这就是大的峰度的成因,然而金融品种的峰度也不是固定的,用滚动的视角来统计,一段时间内峰会急剧降低,这就是大的行情出现了,索罗斯是顺势交易的典型,所以尤其近些年他65岁之后的日子基本不会去提前动手赌顶和底,而是趋势来了(峰度变小了)再出手,这保尔森就比较信奉Shiller的思想,成名战也是逆势搞出来的,在金融危机没到来前大肆买入CDS做空房地产,他的思想也是看到峰度从很小开始变的很大了,所以就一直逆势作,最后发了大财。 简单总结下:将所有的投资策略数学模式化可能未必得以全面,但是管中窥豹,另外算是自己的理解总结。无论几阶矩衍生的投资哲学,再总结下都是依赖突破和回归来进行实战操作的。总结这些不代表这些方法能让你赚到钱,真正能让你赚到钱的是内心的修炼,而不是这些外化的方法。 2013-12-7 纪念自己作为投资者入行2年,铭记那些冲动,急躁,不理性,无计划交易的日子,希望以后不要再犯类似的错误: case 1:赌性,为了赚回亏损的20美元,光佣金就交了快2000美元,问题是还没盈利。问题:心理想的是赚回20-200-2000来,已经成了赌徒,无视市场行情了,也完全没有了真正客观的判断。 case 2:恐惧,为了减少60美元的损失,人工干预止损了,结果咖啡180的空头草草以亏损收场。1206的大豆多头,1212就平仓了,害怕出报告行情不利。前怕波动后怕报告,最后就成了不怕亏。 case 3:小利,为小利而动,为了10个点的区间重仓入市,结果亏损累累。或者明明交易系统有入场信号,进去反复打价差,结果一不小心就作丢了,甚至还亏了。好事来的那么快准是个套。 case 4:贪婪,每天都要交易,无视行情的存在性。关注的品种太多了,结果持仓时也三心二意,换来换去,每个品种真正的大行情都错过去了。市场是工作不是生活,莫让贪婪的内心迷失于其中。
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分享 金融数学
cl266287 2014-4-5 12:03
金融数学
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cl266287 2014-4-5 12:02
数学数学!
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分享 美赛经验谈之二:怎样阅读数学模型教材
donaldduckrenda 2014-1-31 14:40
上周和大家漫谈了关于备战比赛应该积累的东西,以便能够在比赛中有的放矢,一周后,数学中国继续推出备战经验宝典。本篇文章进入第二篇:怎样阅读数学模型教材。 大家在学习数学建模这门课程或准备比赛的时候,往往都是从教材开始的,教材的系统性让我们能够很快,很深入地了解前人在数学模型方面已有的研究成果,并最快地吸收他们为自己所用,但是常常有很多同学抱怨说书太厚,介绍太过于简略而无法看懂,操作性不强等等,也不知道读哪本书更好,把每个模型应该掌握到哪个地步而没有方向,更害怕浪费了宝贵的时间。在此,我向大家隆重推荐建模教程学习的基本要领:三步阅读法。 对于任何一本教材,一份资料里介绍的一种数学模型的建立,或者一种算法,你都要问自己三个问题: 1. 这个模型叫什么名字? 2. 这个模型属于什么类型,能够解决具有哪类特征的问题? 3. 这个模型的具体操作步骤怎么实现? 当你能够学完教材上的这个模型,并能够查找相关资料,实例加以巩固,自己能够非常清晰地回答以上三个问题,那么,这个模型就完全印在你的脑子里而融会贯通了。 第一个问题是这个模型叫什么,就像我们 C++ 里面学的对象名一样,或者是 matlab 里说的句柄,也是我们通过论文形式与评委进行沟通的重要手段,要知道这个模型的名字,它的相关产生背景,和它类似的模型,有什么区别等等,这种文字性的东西的记忆最终会体现在论文的字里行间,积累越多,论文就会写得越流畅。 第二个问题就不像第一个问题那样浮于模型表面了,而是在深入了解模型的建立思想、阅读了一定的例子之后,自己在脑海里可以形成一个印象,这个方法可以解决什么类型的问题?问题的特征是什么?有什么样的背景可以联想到这个方法?这样,等出现类似的问题时,你会更加容易地搜索到对应的方法。 第三个问题,也就是操作层面上的,这个模型可以用什么软件实现?参数怎么调?有没有现成的代码供参考?每一步的操作涵义是否清楚?当你明白了一个模型或者是算法的思想之后,软件操作和程序代码应该是像文思泉涌般跃然纸上才对,而且这个过程里会遇到很多意想不到的,纸上谈兵时看不到的困难,因为具体的操作要受你的系统环境、软件版本、时间限制等各种方面的现实考验,没有什么捷径,只有平时多练,多做,自然在临场你能最快地找到解决的办法。 用一个例子说明一下: 姜启源老师主编的《数学模型》一书第三章优化模型,读完 7 个小节,也就是 7 个例子之后,你对优化模型应该有如下的认识: 1. 模型名字:优化模型,也叫数学规划,包括线性规划、目标规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等各自能够解决决策变量为整数或实数,目标函数为线性或者非线性的问题,是最常见的数模问题。 2. 这是优化类模型,能解决问题的特征是问题要求某些量达到最大或最小,比如销售量最大化,森林火灾造成的损失最小等等,而且我们可以人为地控制某些变量,比如员工的上班时间,原材料的投入量,消防队员救援的策略等等。只要是存在可控制的量和要达到最优的目标,这就是一个优化问题。 3. 比较标准的优化问题,就像教材上对它的分类一样,可以直接用 lingo 软件解决,而复杂的非标准而有很多细节的优化问题则需要手动操作和很多其他灵活的处理,或者还需要用动态规划的方法弄清楚问题发展过程后加以解决,总的来说,优化问题的建模分为这么几个步骤: a. 找到可以控制的决策变量;找到待优化的优化目标; b. 寻找决策变量对优化目标的影响,写出目标函数; c. 对目标函数用求导等数学工具求出最值和对应的决策变量的取值; d. 回到原问题予以解答。 对于更加细化的问题,比如整数规划模型,模拟退火算法等等,我们也可以更加详细地顺着这样的思路去想问题,以此为思路,为深度要求来学习书本上的知识。 话说回来,学数学模型,其实看哪本书都可以,一本书只是一个线索,要学懂它,只要按照以上的标准,能回答这三个问题,就可以结束了。其实很多时候一本书上的内容真的不够,往往需要读者能以此为引导去查找相关资料才能真正学懂一个模型,一种算法。 所以,学数模最关键的是要用心去做,用心去想,多多利用各种资源平台去积累相关的知识,最终达到融会贯通地地步 。 美赛和其他建模比赛相比,看重的更多的是大家的实力,所以在平时教材阅读的时候就应该用正确的方法多多积累,才能够用实力去拿下理想中的大奖。希望读者能沉下心来,用心思考,慢慢积累,进而掌握数学模型这门技术,更好地服务于大家的比赛和深造,谢谢大家阅读本文! 另外推荐大家阅读《数学建模方法与分析》 Mark M. Meerschaert 机械工业出版社,这本书是美赛官方组委会出版的,对熟悉美赛的建模套路有着事半功倍的效果,且内容由浅入深,无论基础如何军能从里面得到想要的收获,希望大家都能从建模之旅中收获自己想要的知识和能力!
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分享 美赛经验谈之四:数学模型分类浅谈
donaldduckrenda 2014-1-31 14:34
大家常常问道,数学模型到底有哪些,分别该怎么学习,这样能让我们的学习有的放矢,而不至于没了方向。我想告诉大家,现实生活中的问题有哪些类,数学模型就有哪些类,因为说到底,数学模型是用来解决实际问题的,解决那些当我们缺乏某一方面足够的经验时,定量化地依靠数字来解决问题的办法。于是,们可以想想,在现实生活中,我们能够遇到哪些需要定量化解决的问题,而这些问题能否利用数学工具加以解决。 1. 优化类问题:我们常常需要对某些行为进行决策,这些是我们可以控制的因素,这些因素一般来说会定量化地影响我们的某些目标值,比如投入决定产出,价格决定销量等等。这时,如何确定我们的决策变量,进而使得我们的目标值达到最优就是我们利用数学模型来解决的问题。这里,有一些是标准化过了的数学规划问题,而实际问题往往会更加复杂,这时候,就需要我们凭借经验将这些问题化简,进而达到我们能够处理的地步,这中间往往没有统一的处理办法,具体问题具体分析,而这个也体现了一个数模人的实力,优化类问题表达式的建立往往是难点,里面涉及到很多很多的方法,比如元胞自动机,排队论等等,需要大家在平常的积累中慢慢掌握,熟练; 2. 评价类问题:每个行业都有它的评价标准和准则,那么这些标准应该有其自身的形成机制,数学模型就是形成这一机制的方法。如何根据成分指标评价一瓶葡萄酒?如何根据员工表现评价年终奖评定?如何评价一名 NBA 球员在球场上的效率?这些问题都需要设计评价算法来对这些对象进行评价。数学模型的评价方法的一个优势在于,它能够最大程度上客观地反映被评价对象的优劣程度以及符合评价指标的多少,能够体现公平的原则; 3. 预测类问题: 未来的情况往往可以根据当前的一些量予以推测和判断,这些当前的量再加上失去发展的机制,就能够推算出未来可能的情况。预测的方法有很多,大多是前人总结的经典模型,可以拿来直接套用,而自己推断事物发展的机制进行算法设计然后预测有时候能够更加真实地反映未来的可能趋势,当然,有的模型根据事物发展的机理,有的直接通过数据分析的手段,这些都是可行的,关键看你有没有定量地把握事物的本质。 最后补充一点,几乎所有的问题都可以划归到优化上去,评价是要最优的评价,保证最后的评价结果最能反映对象的需求同时与标准结果的比较差别最小;预测也是要最优的预测使得正确率最高或者相对误差值最小,所以大家多在优化上下功夫一定值的,把这种优化思想贯穿整个建模的学习中,一定会让你的思路变得更加清晰! 回到这三类问题,这里,从解决问题的类型的角度来分类,数学模型有这么三种用途,而还可以从数学思想方法的角度来分类,也就是数学思想层面的分类,这些内容就比较多了,而且内容也是浩如烟海,大家可以结合着对解决问题类型的分类慢慢学习,多多思考,使自己解决问题的能力得到真正的提高。
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分享 美赛经验谈之五:怎样问数学模型问题
donaldduckrenda 2014-1-31 14:32
在我们学习数学模型、准备比赛的时候,经常会遇到各种各样的问题,有关于算法的,模型建立的,还有直接的题目思路,我在做数学中国版主这些天里,也经常力所能及地解决大家提出的各种问题,既有同学是一句简单的话:求 XX 算法相关资料,也有的干脆摆上来一道校赛题,我很乐意和负责地为大家解决疑问,也对支持数学中国,相信数学中国的各位同学表示感谢! 同时,也有一些在问题解答过程中效率不是太高的问题,有时候我们版主的回答会不在点子上,一部分是我们能力所限,还有一些确实是问题问的有些模糊,或者不太合适,导致回答效率不高,在此,我想大家分享一些我的想法,希望大家在以后提问的时候能够多多注意,提高学习效率,能够更好地掌握数学模型的精髓。 首先,问题是怎么产生的? 问题的产生来源于建模的过程。也就是: 实际问题→数学模型→数学求解→问题回答 大家可以想一下自己的问题到底是从哪里来的,无非出自于这四个步骤中间: 1. 对一个实际问题没有思路,找不到一个模型可以解决; 2. 知道用哪个数学模型,但是模型的建立过程遇到困难,设计不出相应的算法; 3. 建立模型以后,发现求解有困难,找不到现成的算法或者自己不知道设计; 4. 发现得到的结果回答问题比较奇怪,却不知问题出在哪里。 这是在建立一个模型,解决一道题目时,会“卡壳”的地方,也就是问题所在。根据此,我们可以把提问分成三类: 1. 问题思路:可以是询问某类问题怎么解答,也可以是具体的题目寻求思路,这时,我们可以根据我们的经验,告诉提问者最合适的模型,提出一些思考方向,让大家能够提高解题效率,慢慢地培养大家自己分析问题的能力,真正在数模能力上有所提高; 2. 具体模型的相关疑问:知道用哪个模型,却不知道怎么建立和求解,或者求解结果不好也不知怎么改进,在这个过程中遇到的问题大多是由于对模型的数学机理还没有完全明白,不知道如何将书上的模型和具体题目相对应来求解,我们版主会根据我们的经验指出这些模型怎么用,有哪些关键点,这样大家真正去领会这个模型的涵义,问题也就迎刃而解; 3. 细节问题:某个软件如何安装、操作,某个算法的参数怎么调整,程序报错等等,这些操作层面的问题希望大家自己尝试过再提,安装这类技术性问题我们有经验的版主会及时予以解答,至于程序报错可能等多的需要同学们自己多多调试,因为我们的回答会帮你解决当前的问题,但是程序调试能力是自己时间积累的结果。 第一类问题对应于建模的第一步:找模型;第二类问题对应于后面几步:建模和解模;第三类的问题可以说是千奇百怪了,因为具体操作过程中会涉及到各种困难等着大家去克服。大家遇到问题和看完我们的回答以后,一定都要看看这个问题在整个建模的大框架下属于哪一步,从前后联系的角度看看这样解决是否合理,而不是就问题而解决问题。所谓之授人以鱼不如授人以渔,这样,当下次再遇到类似的问题,大家就可以获得自己解决的能力,这样的话,才是建模能力的真正提高。 当然,同学们在初学建模的时候,肯定也会遇到一些入门时的基础性问题,比如看什么书,怎么入手等等,这些普适性的问题我会在后续的帖子中间给予集中的解答,希望大家持续关注数学中国的更新!
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分享 我要把我的数学练的和老师一样娴熟
人大,我要来了 2013-9-28 13:35
今天早上去听了考研数学辅导,感受颇深,因为感觉自己还有很大的差距,所以更要珍惜时间,努力前进。特别是看到老师对每一个问题一看到时就立刻知道怎么做的时候,就感觉好羡慕,好震憾。所以如果我能够学到老师那样熟练,还会再怕吗?所以我要再对自己说一次,努力吧,不要再浪费任何时间。
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分享 ZT 有志于攻读经济金融研究生应该掌握的数学
lyt639 2013-8-19 08:21
其实写这样一篇日志很汗颜,类似的东西可能一些知名大家写过,人大经济论坛上类似的帖子也层出不穷,敝人的拙作能对整体社会福利提高多少实在很值得怀疑。不过早就萌生了这样的想法,几年间也有很多疑惑和思考,不妨就总结一下,以飨后人,尤其是理工科出身有志于从事社会科学研究的学弟学妹们,还请大家多加指教。 我觉得写具体的条目之前,需要先讨论一下数学在社会科学尤其是经济学、金融学中的作用。时兴的看法一般有两类,一类是数学无用论,极端的人认为但凡是数学模型推导出来的都是没有用的,虚无的。这一论点在国内依然有市场,不过在北美已经基本被抛弃了。另一类是数学至上论,认为所有经济学、金融学理论都应该建立在公理、假设、命题、定理的结构下。似乎是为了弥补国内以前在社会科学上的差距,这类观点在国内也很有影响力,不仅早期很多理工科的教授学生转行做经济金融研究,更影响了国内一流大学的课程设置上,对数理基础的强化仿佛一下子登上了意识形态的顶峰,变得毋庸置疑了。我想简述一下我自己的观点,虽然我本科是主修数学的,但我不支持把经济数学化。好的经济学文章都是极富直觉和思考的,有些思考是不能用数学代替的。过分依赖数学工具的严重后果是会导致经济直觉的退化,用抽象的数学逻辑替代经济直觉不仅会是观点空洞,得不到现实的结论,更有可能在简化过程中丢掉不明显却至关重要的条件,添加不靠谱的假设。另一方面,对数量方法的敌视更是可笑,数学工具的使用可以帮助规范化经济学的结构,而应用无数杰出先贤得到的数学结论则可以大大增强经济分析的严谨性。只要使用好数量工具,是有百利而无一害的。 再谈谈本文的适用范围:我是希望尽可能扩大适用者的范围,所以我的标题取的是“经济金融研究生”,其中既包括硕士生,比如英国的Msc, MPhil,美国的MA/MS/M.Eng:经济硕士、金融硕士、金融工程硕士,更包括研究学位中的PhD. 一般来讲,美国的研究生训练最偏定量,欧洲就显著不同。国内近年来由于师资队伍中出现了大量海归人才,发展势头迅猛,学术训练也日趋严谨和规范。在学位上,英国的硕士相当于美国博士生的前两年,主要重于学术基础。美国的硕士则更偏职业导向,比较在乎应用。硕士生入学的数学标准可能比博士生低很多,但是想从课堂上得到尽可能多的收益,了解一些必要的数学基础还是很重要的。当然,限于我自己的视野和学术水平,不敢说有多高的参考价值,仅作抛砖引玉。 讨论经济学、金融学需要的数学立足于需求导向,即该学科的学习中必要的数学知识和方法,多余的数学知识固然是有益的,不过边际收益递减也是不争的事实。一般来讲,经济学的学习可以由三大基础课构成,即:微观经济学,主要是研究个体的经济行为;宏观经济学,主要是研究宏观经济的短期波动和长期增长;计量经济学,应用概率统计的方法从经济数据中探索和验证经济理论。前两者是研究对象导向型而计量经济学则更侧重于方法本身。这三者需要的数学更有不同,我会在后面提及。金融学的分类则更为复杂,我本人也不是非常熟悉,不过基本可以分为两类,即公司金融和资产定价。公司金融更着重个体企业的研究,依赖的主要是微观经济学、博弈论、契约理论等研究工具。资产定价则需要处理更多随机事件以及动态的问题,从宏观经济学中汲取了一些方法和思想。研究生阶段的金融学一般称为金融经济学,与传统的商科专业如会计、管理、营销相比对经济理论的依赖更为显著,因此将金融学与经济学一并讨论是合适的。 下面总算要进入正题了,我将经济金融需要的数学方法简单归为以下三类:分析学与微分方程,代数、拓扑以及现代数学,概率、统计与计算数学。除了少量的现代数学以外,大多数提及的数学知识其实已经有几十年到上百年的历史了。 (一)分析学与微分方程 分析学是现代经济金融学的基础,也是重中之重。为什么叫分析学而不是微积分,主要是为了强调两者的不同。基础的微积分知识如一元微积分、多元微积分等大多数人在本科阶段都学过,即所谓的高等数学,但是这些知识对经济学研究生而已是不够的。由于经济学研究生的训练强调学术严谨性,其中包含了大量的命题证明,单纯的微积分计算公式并不能满足需要。以我个人的经验,北京大学数学学院的三学期数学分析是可以满足基本需要的。两学期的高等数学(微积分)就有所欠缺。我国的微积分(数学分析)教学与美国有显著不同,我们是将证明与计算公式穿插在一起,伴随课程难度的降低,逐渐减少证明的数量。而美国是统一让学生修读两学期的微积分,再单独开设分析入门这门课,集中训练证明技巧。这样三学期的设置与国内数学系类似,所以对数学系的同学影响不大,但对于其他修读高等数学专业的同学,就存在一个难以衔接的问题。本专业的教学不强调证明技巧,到数学系去听数学分析III又发觉对方在讲多元微积分。 对于没有条件的同学,可以选择修读Rudin的Principle of Mathematical Analysis(机械工业出版社有英文影印版),这本书大致可以满足需要,而且是经典之作。在具体知识上,除了典型的微积分知识,还有泰勒展开,隐函数和反函数定理,集合论,简单的点集拓扑,最优化条件(拉格朗日方法)以及一些经济学中特有的知识,如凹函数、拟凹函数,约束优化(Kuhn- Tucker、拟凹优化等)。这些特有的知识可以参考相关的数理经济学书籍,如比较普遍的蒋中一的《数理经济学基本方法》。 在数学分析(微积分之上),还有复分析(复变函数)、实分析(实变函数)与泛函分析这三个领域。据我目前所知,复分析在经济学中确实没有什么应用,所以不建议大家修读。实分析的地位则更为特殊一点。由于美国的教学设置,他们的实分析课程往往更侧重于基础的分析训练而不一定是高级的Lebesgue测度与积分,所以你经常会看到美国学校要求你具有实分析,但他们的学生没听过Lebesgue测度的现象。我认为国内的实变函数教材还是值得一读的,基础扎实,同时讲解一些点集拓扑和集合论的知识。越来越多的经济学研究中也引入了实分析的内容。至于泛函分析,一些基本的内容如不动点定理、超平面分割定理以及对偶思想等会有不少应用,但整体而言涉及的内容并不多,不需要系统性地学习。 微分方程在经济学与金融学中的应用亦十分广泛。微分方程分为常微分方程和偏微分方程,其中常微分方程主要应用于经济学之中,尤其是经济增长和宏观经济学。因为这两者都着重研究动态的问题。但国内的常微分方程书籍过于侧重理论证明,对于应用以及直观的培养不足。菲尔兹奖获得者Smale著有一本微分方程与动力系统的书,其中内容很明快很直观,有兴趣的同学可以选来阅读。其实国内的高等数学中涉及的常微分方程已经基本满足需要了。我建议大家将常微分方程和线性代数结合起来学,这样学习常微分方程的同时应用线性代数的理论,有利于理解和提高。偏微分方程更多用于金融学,Black和Scholes关于期权定价模型的经典之作就用了一个热方程来求解。但偏微分方程的难度比较大,建议大家可以涉猎一下,但是选课的时候可能要谨慎一点。 (二)代数、拓扑和现代数学 线性代数对经济学的影响极大,是非常重要的内容,但抽象代数就毫无关联。所以大家在选修时可以有所侧重。线性代数中的正负定、特征值等内容以及矩阵表述形式等知识都是经济学中的基本概念,一定要熟练掌握。至于线性空间之类的内容就相对不是那么重要了。之所以没有提及几何是因为几何在经济学中确实没有什么应用,拓扑的应用倒是有一些,不过主要是点集拓扑。拓扑学之类的课程倒是不用系统性的学习,以我个人为例,我也只是自学了一点点集拓扑,像是连续函数等价于开集的原像是开集之类的性质,像代数拓扑之类的内容对于大多数人而已就没什么必要掌握了。不过对于专攻经济理论的人,一些现代数学还是有必要的,像是微分流形之类的,在机制设计、一般均衡和博弈论中都有应用,而且伴随着经济理论的抽象化和规范化,一些现代数学语言势必会愈发成为主流。 (三)概率、统计与计算数学 概率部分大概可以分成三个小部分:概率论与测度论、随机过程和随机分析。测度论为基础的高等概率论是一门很着重于语言的课程,本身对于经济学的贡献并不是很大,但是只有掌握这样的语言才能阅读前沿的文献。随机过程的概念和方法则广泛应用于现代宏观经济学(不是大家熟悉的凯恩斯宏观经济学哦),可以说随机性的引入直接改写了宏观经济学的框架,也构成了宏观经济学的基础特征:动态与随机。随机分析本身则更是金融学的基本工具,甚至可以说,是金融学的理论研究促进了随机分析的蓬勃发展。针对学习的内容,我认为大家有必要学习基础的微积分概率论,同时自修测度论和高级随机过程,这部分主要立足于基本语言以阅读文献,而不求具体的命题和定理。由于现代经济学发展的特点,规范化成为一个主流方向,所以即便运用的数学工具并没有这般超前,使用的逻辑体系却已经达致相当高阶的水准了。概率与随机过程可以选用Durret的《概率论》,国内有影印版,这是一本很不错的教材。至于随机分析的话,有几本金融随机分析都是很不错的参考书,尤其是将金融的应用加入到理论内容之后,有助于消化吸收。 由于统计学与计量经济学千丝万缕的关系,统计成为经济学的一个重要基石。不过考虑到大家在研究生阶段还要在计量经济学课上系统地修读统计学,所以这部分的要求反而不是很高,我认为只要有一门理论的微积分基础的(如果是测度基础的更好)数理统计学就可以了。有志于从事计量研究的同学应该多修读一些统计的课程,但是相比于统计学本身,可能打好概率的基础更为重要。至于其他从事理论或者实证研究的同学,计量的方法相较于理论更为重要,所以统计学的内容倒是不需要掌握那么多。Casella的《统计推断》是主流的计量参考书,大家可以考虑购入。 计算数学,也就是计算方法,对于经济学的贡献主要在于数值模拟等方面。由于现代宏观经济学的突飞猛进,其应用的模型已不再可以得到精确的解析解,因此数值模拟成为了非常重要的研究方法。此外在计量经济学中也有很多的应用。对这方面我不是很了解,不过我认为修读一学期的计算概论并掌握Matlab的使用还是非常必要的。 (四)结语 写了这么多,不知道有没有人已经看烦了。不过本文的初衷在于勾勒现实中的经济金融研究生应该具有的数学素养,杜绝极端。一方面不主张大家偏废数理基础,另一方面也反对盲目大跃进,学习很多用处不大甚至根本没有用的内容。与其这样,倒不如把精力放在留心现实世界,多研究些经济问题,培养直观来的有意义。希望一些还在本科的同学能从中受益,有的放矢。而一些总感觉数理基础不好的同学也可以参考文中的内容加以提高,而不要自怨自艾。我总认为经济学与物理学有很多的相似,一个研究人类社会,一个研究自然世界,都大量运用数学加以描述和分析,但又独立于数学理论。经济学有今天的发展离不开数学的支持,也希望能有更多志同道合的同学们加入这一行列,共同研究奇妙的社会经济行为和现象。如果大家有兴趣,过段时间我可以再罗列一个经济类的书单。
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分享 ZT 有志于攻读经济金融研究生应该掌握的数学
lyt639 2013-8-12 10:12
其实写这样一篇日志很汗颜,类似的东西可能一些知名大家写过,人大经济论坛上类似的帖子也层出不穷,敝人的拙作能对整体社会福利提高多少实在很值得怀疑。不过早就萌生了这样的想法,几年间也有很多疑惑和思考,不妨就总结一下,以飨后人,尤其是理工科出身有志于从事社会科学研究的学弟学妹们,还请大家多加指教。 我觉得写具体的条目之前,需要先讨论一下数学在社会科学尤其是经济学、金融学中的作用。时兴的看法一般有两类,一类是数学无用论,极端的人认为但凡是数学模型推导出来的都是没有用的,虚无的。这一论点在国内依然有市场,不过在北美已经基本被抛弃了。另一类是数学至上论,认为所有经济学、金融学理论都应该建立在公理、假设、命题、定理的结构下。似乎是为了弥补国内以前在社会科学上的差距,这类观点在国内也很有影响力,不仅早期很多理工科的教授学生转行做经济金融研究,更影响了国内一流大学的课程设置上,对数理基础的强化仿佛一下子登上了意识形态的顶峰,变得毋庸置疑了。我想简述一下我自己的观点,虽然我本科是主修数学的,但我不支持把经济数学化。好的经济学文章都是极富直觉和思考的,有些思考是不能用数学代替的。过分依赖数学工具的严重后果是会导致经济直觉的退化,用抽象的数学逻辑替代经济直觉不仅会是观点空洞,得不到现实的结论,更有可能在简化过程中丢掉不明显却至关重要的条件,添加不靠谱的假设。另一方面,对数量方法的敌视更是可笑,数学工具的使用可以帮助规范化经济学的结构,而应用无数杰出先贤得到的数学结论则可以大大增强经济分析的严谨性。只要使用好数量工具,是有百利而无一害的。 再谈谈本文的适用范围:我是希望尽可能扩大适用者的范围,所以我的标题取的是“经济金融研究生”,其中既包括硕士生,比如英国的Msc, MPhil,美国的MA/MS/M.Eng:经济硕士、金融硕士、金融工程硕士,更包括研究学位中的PhD. 一般来讲,美国的研究生训练最偏定量,欧洲就显著不同。国内近年来由于师资队伍中出现了大量海归人才,发展势头迅猛,学术训练也日趋严谨和规范。在学位上,英国的硕士相当于美国博士生的前两年,主要重于学术基础。美国的硕士则更偏职业导向,比较在乎应用。硕士生入学的数学标准可能比博士生低很多,但是想从课堂上得到尽可能多的收益,了解一些必要的数学基础还是很重要的。当然,限于我自己的视野和学术水平,不敢说有多高的参考价值,仅作抛砖引玉。 讨论经济学、金融学需要的数学立足于需求导向,即该学科的学习中必要的数学知识和方法,多余的数学知识固然是有益的,不过边际收益递减也是不争的事实。一般来讲,经济学的学习可以由三大基础课构成,即:微观经济学,主要是研究个体的经济行为;宏观经济学,主要是研究宏观经济的短期波动和长期增长;计量经济学,应用概率统计的方法从经济数据中探索和验证经济理论。前两者是研究对象导向型而计量经济学则更侧重于方法本身。这三者需要的数学更有不同,我会在后面提及。金融学的分类则更为复杂,我本人也不是非常熟悉,不过基本可以分为两类,即公司金融和资产定价。公司金融更着重个体企业的研究,依赖的主要是微观经济学、博弈论、契约理论等研究工具。资产定价则需要处理更多随机事件以及动态的问题,从宏观经济学中汲取了一些方法和思想。研究生阶段的金融学一般称为金融经济学,与传统的商科专业如会计、管理、营销相比对经济理论的依赖更为显著,因此将金融学与经济学一并讨论是合适的。 下面总算要进入正题了,我将经济金融需要的数学方法简单归为以下三类:分析学与微分方程,代数、拓扑以及现代数学,概率、统计与计算数学。除了少量的现代数学以外,大多数提及的数学知识其实已经有几十年到上百年的历史了。 (一)分析学与微分方程 分析学是现代经济金融学的基础,也是重中之重。为什么叫分析学而不是微积分,主要是为了强调两者的不同。基础的微积分知识如一元微积分、多元微积分等大多数人在本科阶段都学过,即所谓的高等数学,但是这些知识对经济学研究生而已是不够的。由于经济学研究生的训练强调学术严谨性,其中包含了大量的命题证明,单纯的微积分计算公式并不能满足需要。以我个人的经验,北京大学数学学院的三学期数学分析是可以满足基本需要的。两学期的高等数学(微积分)就有所欠缺。我国的微积分(数学分析)教学与美国有显著不同,我们是将证明与计算公式穿插在一起,伴随课程难度的降低,逐渐减少证明的数量。而美国是统一让学生修读两学期的微积分,再单独开设分析入门这门课,集中训练证明技巧。这样三学期的设置与国内数学系类似,所以对数学系的同学影响不大,但对于其他修读高等数学专业的同学,就存在一个难以衔接的问题。本专业的教学不强调证明技巧,到数学系去听数学分析III又发觉对方在讲多元微积分。 对于没有条件的同学,可以选择修读Rudin的Principle of Mathematical Analysis(机械工业出版社有英文影印版),这本书大致可以满足需要,而且是经典之作。在具体知识上,除了典型的微积分知识,还有泰勒展开,隐函数和反函数定理,集合论,简单的点集拓扑,最优化条件(拉格朗日方法)以及一些经济学中特有的知识,如凹函数、拟凹函数,约束优化(Kuhn- Tucker、拟凹优化等)。这些特有的知识可以参考相关的数理经济学书籍,如比较普遍的蒋中一的《数理经济学基本方法》。 在数学分析(微积分之上),还有复分析(复变函数)、实分析(实变函数)与泛函分析这三个领域。据我目前所知,复分析在经济学中确实没有什么应用,所以不建议大家修读。实分析的地位则更为特殊一点。由于美国的教学设置,他们的实分析课程往往更侧重于基础的分析训练而不一定是高级的Lebesgue测度与积分,所以你经常会看到美国学校要求你具有实分析,但他们的学生没听过Lebesgue测度的现象。我认为国内的实变函数教材还是值得一读的,基础扎实,同时讲解一些点集拓扑和集合论的知识。越来越多的经济学研究中也引入了实分析的内容。至于泛函分析,一些基本的内容如不动点定理、超平面分割定理以及对偶思想等会有不少应用,但整体而言涉及的内容并不多,不需要系统性地学习。 微分方程在经济学与金融学中的应用亦十分广泛。微分方程分为常微分方程和偏微分方程,其中常微分方程主要应用于经济学之中,尤其是经济增长和宏观经济学。因为这两者都着重研究动态的问题。但国内的常微分方程书籍过于侧重理论证明,对于应用以及直观的培养不足。菲尔兹奖获得者Smale著有一本微分方程与动力系统的书,其中内容很明快很直观,有兴趣的同学可以选来阅读。其实国内的高等数学中涉及的常微分方程已经基本满足需要了。我建议大家将常微分方程和线性代数结合起来学,这样学习常微分方程的同时应用线性代数的理论,有利于理解和提高。偏微分方程更多用于金融学,Black和Scholes关于期权定价模型的经典之作就用了一个热方程来求解。但偏微分方程的难度比较大,建议大家可以涉猎一下,但是选课的时候可能要谨慎一点。 (二)代数、拓扑和现代数学 线性代数对经济学的影响极大,是非常重要的内容,但抽象代数就毫无关联。所以大家在选修时可以有所侧重。线性代数中的正负定、特征值等内容以及矩阵表述形式等知识都是经济学中的基本概念,一定要熟练掌握。至于线性空间之类的内容就相对不是那么重要了。之所以没有提及几何是因为几何在经济学中确实没有什么应用,拓扑的应用倒是有一些,不过主要是点集拓扑。拓扑学之类的课程倒是不用系统性的学习,以我个人为例,我也只是自学了一点点集拓扑,像是连续函数等价于开集的原像是开集之类的性质,像代数拓扑之类的内容对于大多数人而已就没什么必要掌握了。不过对于专攻经济理论的人,一些现代数学还是有必要的,像是微分流形之类的,在机制设计、一般均衡和博弈论中都有应用,而且伴随着经济理论的抽象化和规范化,一些现代数学语言势必会愈发成为主流。 (三)概率、统计与计算数学 概率部分大概可以分成三个小部分:概率论与测度论、随机过程和随机分析。测度论为基础的高等概率论是一门很着重于语言的课程,本身对于经济学的贡献并不是很大,但是只有掌握这样的语言才能阅读前沿的文献。随机过程的概念和方法则广泛应用于现代宏观经济学(不是大家熟悉的凯恩斯宏观经济学哦),可以说随机性的引入直接改写了宏观经济学的框架,也构成了宏观经济学的基础特征:动态与随机。随机分析本身则更是金融学的基本工具,甚至可以说,是金融学的理论研究促进了随机分析的蓬勃发展。针对学习的内容,我认为大家有必要学习基础的微积分概率论,同时自修测度论和高级随机过程,这部分主要立足于基本语言以阅读文献,而不求具体的命题和定理。由于现代经济学发展的特点,规范化成为一个主流方向,所以即便运用的数学工具并没有这般超前,使用的逻辑体系却已经达致相当高阶的水准了。概率与随机过程可以选用Durret的《概率论》,国内有影印版,这是一本很不错的教材。至于随机分析的话,有几本金融随机分析都是很不错的参考书,尤其是将金融的应用加入到理论内容之后,有助于消化吸收。 由于统计学与计量经济学千丝万缕的关系,统计成为经济学的一个重要基石。不过考虑到大家在研究生阶段还要在计量经济学课上系统地修读统计学,所以这部分的要求反而不是很高,我认为只要有一门理论的微积分基础的(如果是测度基础的更好)数理统计学就可以了。有志于从事计量研究的同学应该多修读一些统计的课程,但是相比于统计学本身,可能打好概率的基础更为重要。至于其他从事理论或者实证研究的同学,计量的方法相较于理论更为重要,所以统计学的内容倒是不需要掌握那么多。Casella的《统计推断》是主流的计量参考书,大家可以考虑购入。 计算数学,也就是计算方法,对于经济学的贡献主要在于数值模拟等方面。由于现代宏观经济学的突飞猛进,其应用的模型已不再可以得到精确的解析解,因此数值模拟成为了非常重要的研究方法。此外在计量经济学中也有很多的应用。对这方面我不是很了解,不过我认为修读一学期的计算概论并掌握Matlab的使用还是非常必要的。 (四)结语 写了这么多,不知道有没有人已经看烦了。不过本文的初衷在于勾勒现实中的经济金融研究生应该具有的数学素养,杜绝极端。一方面不主张大家偏废数理基础,另一方面也反对盲目大跃进,学习很多用处不大甚至根本没有用的内容。与其这样,倒不如把精力放在留心现实世界,多研究些经济问题,培养直观来的有意义。希望一些还在本科的同学能从中受益,有的放矢。而一些总感觉数理基础不好的同学也可以参考文中的内容加以提高,而不要自怨自艾。我总认为经济学与物理学有很多的相似,一个研究人类社会,一个研究自然世界,都大量运用数学加以描述和分析,但又独立于数学理论。经济学有今天的发展离不开数学的支持,也希望能有更多志同道合的同学们加入这一行列,共同研究奇妙的社会经济行为和现象。如果大家有兴趣,过段时间我可以再罗列一个经济类的书单。
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分享 2013年数学三考研大纲
luckyping777 2013-3-22 21:25
013 年研究生入学统一考试数学(三)大纲 考试科目:微积分、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分,考试时间为 180 分钟. 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试. 三、试卷内容结构 微积分  56% 线性代数  22% 概率论与数理统计 22% 四、试卷题型结构 试卷题型结构为: 单项选择题选题 8 小题,每题 4 分,共 32 分 填空题 6 小题,每题 4 分,共 24 分 解答题(包括证明题) 9 小题,共 94 分 微积分 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限 : 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性 考试要求 1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念. 5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念. 6.了解极限的性质与极限存在的两个准则,掌握极限的四则运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的方法. 7.理解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系. 8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型. 9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理.介值定理),并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达(L'Hospital)法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 考试要求 1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程. 2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数. 3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数. 4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分. 5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用. 6.会用洛必达法则求极限. 7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用. 8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间 内,设函数 具有二阶导数.当 时, 的图形是凹的;当 时, 的图形是凸的),会求函数图形的拐点和渐近线. 9.会描述简单函数的图形. 三、一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常(广义)积分 定积分的应用 考试要求 1.理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质和基本积分公式,掌握不定积分的换元积分法和分部积分法. 2.了解定积分的概念和基本性质,了解定积分中值定理,理解积分上限的函数并会求它的导数,掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法. 3.会利用定积分计算平面图形的面积.旋转体的体积和函数的平均值,会利用定积分求解简单的经济应用问题. 4.了解反常积分的概念,会计算反常积分. 四、多元函数微积分学 考试内容 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算 无界区域上简单的反常二重积分 考试要求 1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念,了解有界闭区域上二元连续函数的性质. 3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分,会求多元隐函数的偏导数. 4.了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决简单的应用问题. 5.了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标.极坐标).了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算. 五、无穷级数 考试内容 常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 考试要求 1.了解级数的收敛与发散.收敛级数的和的概念. 2.了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件,掌握几何级数及 级数的收敛与发散的条件,掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法. 3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系,了解交错级数的莱布尼茨判别法. 4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域. 5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分),会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数. 6.了解 . . . 及 的麦克劳林(Maclaurin)展开式. 六、常微分方程与差分方程 考试内容 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用 考试要求 1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法. 3.会解二阶常系数齐次线性微分方程. 4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项式.指数函数.正弦函数.余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程. 5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念. 6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法. 7.会用微分方程求解简单的经济应用问题. 线性代数 一、行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理 考试要求 1.了解行列式的概念,掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式. 二、矩阵 考试内容 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算 考试要求 1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质,了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质. 2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵. 4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法. 5.了解分块矩阵的概念,掌握分块矩阵的运算法则. 三、向量 考试内容 向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 考试要求 1.了解向量的概念,掌握向量的加法和数乘运算法则. 2.理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法. 3.理解向量组的极大线性无关组的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩. 4.理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系. 5.了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法. 四、线性方程组 考试内容 线性方程组的克莱姆(Cramer)法则 线性方程组有解和无解的判定 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组(导出组)的解之间的关系 非齐次线性方程组的通解 考试要求 1.会用克莱姆法则解线性方程组. 2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法. 3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法. 4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念. 5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法. 五、矩阵的特征值和特征向量 考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵 考试要求 1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念,掌握矩阵特征值的性质,掌握求矩阵特征值和特征向量的方法. 2.理解矩阵相似的概念,掌握相似矩阵的性质,了解矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法. 3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 六、二次型 考试内容 二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性 考试要求 1.了解二次型的概念,会用矩阵形式表示二次型,了解合同变换与合同矩阵的概念. 2.了解二次型的秩的概念,了解二次型的标准形、规范形等概念,了解惯性定理,会用正交变换和配方法化二次型为标准形. 3.理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法. 概率论与数理统计 一、随机事件和概率 考试内容 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 考试要求 1.了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系及运算. 2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等. 3.理解事件的独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法. 二、随机变量及其分布 考试内容 随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 考试要求 1.理解随机变量的概念,理解分布函数 的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率. 2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-1分布、二项分布 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布 及其应用. 3.掌握泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布. 4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布及其应用,其中参数为 的指数分布 的概率密度为 5.会求随机变量函数的分布. 三、多维随机变量及其分布 考试内容 多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量的函数的分布 考试要求 1.理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质. 2.理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布. 3.理解随机变量的独立性和不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件,理解随机变量的不相关性与独立性的关系. 4.掌握二维均匀分布和二维正态分布 ,理解其中参数的概率意义. 5.会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布,会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布. 四、随机变量的数字特征 考试内容 随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 切比雪夫(Chebyshev)不等式 矩、协方差、相关系数及其性质 考试要求 1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征. 2.会求随机变量函数的数学期望. 3.了解切比雪夫不等式. 五、大数定律和中心极限定理 考试内容 切比雪夫大数定律 伯努利(Bernoulli)大数定律 辛钦(Khinchine)大数定律 棣莫弗—拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理 列维—林德伯格(Levy-Lindberg)定理 考试要求 1.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律). 2.了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理(二项分布以正态分布为极限分布)、列维—林德伯格中心极限定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理),并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率. 六、数理统计的基本概念 考试内容 总体 个体 简单随机样本 统计量 经验分布函数 样本均值 样本方差和样本矩 分布 分布 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布 考试要求 1.了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,其中样本方差定义为 2.了解产生 变量、 变量和 变量的典型模式;了解标准正态分布、 分布、 分布和 分布得上侧 分位数,会查相应的数值表. 3.掌握正态总体的样本均值.样本方差.样本矩的抽样分布. 4.了解经验分布函数的概念和性质. 七、参数估计 考试内容 点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 考试要求 1.了解参数的点估计、估计量与估计值的概念. 2.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法.
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分享 数学搞死人
水妖的眼睛 2013-3-19 17:36
数学搞死人啊,无语
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分享 数学啊,愁。。。。。。。
热度 1 /狂奔的蜗牛 2013-1-23 21:24
准备考研了,数学还有好多没有看,想起来就愁得慌
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分享 克鲁格曼你是省略了多少步!
热度 4 beenic 2013-1-9 22:31
花了将近1个月的时间终于完全推导出了克鲁格曼新经济地理学“中心-外围”模型(CP Model),快要感觉不会再爱了;不过还是得继续努力啊! 在我眼里计量模型的美都是其他同学眼里的***,所以有些路你只能一个人走! 下了一大堆克鲁格曼当年的论文原版,里面简直就是一个个谜语,过程推导全不告诉你! 等期末忙完了,回家慢慢推导他的其他模型,比如城市体系 和 新国际贸易 就写这么多吧。
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分享 动态数学分析
tangaibing 2012-9-11 14:14
控制论和差分方程运筹的确实难得很。自学的确难读懂。
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