[学以致用] 当盖茨和巴菲特遇上钱包悖论 [推广有奖]

21楼

shengyuan419 发表于 2011-3-1 11:49:10

看起来很简单，但一不注意，可能就要产生所谓的钱包悖论了。
悖论的产生比尔盖茨先生或许会这么想：可以选择自己的钱包里有更多或者更少的钱，那么他就有一半的机会来赢得游戏。如果他输了，只是输掉他钱包里的钱。而如果他赢了，他能够赢得比自己钱包里更多的钱。这样他的期望收益是大于零的。
与之类似地，沃伦巴菲特在考虑这个游戏的时候，能够用相同的理由来说服自己。他感觉自己有公平的机会来赢得比口袋里更多的钱，这么看来，他在这个游戏中是占优势的。
两位亿万富翁都认为这个游戏是有利的，这显然是一个悖论。该游戏很明显是一个零和博弈：一个人得到的收益恰好是另一人的损失，并不存在使二者同时期望获利的可能。
那么我们应该怎么样解决这个推理过程和这个显而易见的悖论呢？

纠正错误推理比尔盖茨和沃伦巴菲特不大可能通过这样错误的方式来推理。他们会看到之前逻辑中的错误：每个人在考虑的时候都认为自己钱包里的钱可以同时是较多的和较少的。事实上，一个钱包里只可能有较多的钱或者较少的钱。
所以正确的逻辑应为：
如果我的钱包里有较多的钱，那么我参加这个游戏，会输掉自己的更有价值的钱包。
如果我的钱包里有较少的钱，那么我参加这个游戏，会赢得另一个更有价值的钱包。
这两种情况的可能性是均等的。而且，由于总有一个人赢得另一个人输掉有更多钱的钱包，这个游戏是均衡的。这个游戏的结果应该是比尔盖茨和沃伦巴菲特各有一半的可能获胜。这样，没有一方是有利的，而这个游戏则是公平的。
我们可以简化一下这个模型，假设更有价值的钱包里有 x 美元，可以认为其中一人赢得游戏的机会为50%。当一方赢得这个游戏时，他从另一人的钱包里赢得了 x 美元。当一方输掉了一个游戏，他输掉的正是他的钱包里更有价值的那部分，即x美元。于是期望收益：
E = x * p1 + (-x) * p2 = 0.5 x - 0.5 x=0
其中p1和p2分别为获胜和失利的概