“公理是经验事实不能推翻的”,“作为理论体系的基础应当是不能与事实矛盾的”,这些应该不是“公理”的本质含义,虽然“公理”绝大多数时候不是“凭空”产生的。物理与数学还是有区别的。
我们可以说许多公理来自人们的实践活动(以经验事实为依据),但并非所有公理都直接与人们的实践有关,正如许多数学内容并非直接与人们的实践有关,部分公理表现为“纯智力活动”的结果。从前人们对欧几里德几何学适用范围的认识还很有限(人们还没有探索足够大尺度的空间),早期非欧几何的提出(“抽象地、凭空地”修改了欧氏几何的公理组)一般只被认为是部分人的“纯智力活动”。后来人们认识到欧氏几何“应用”的局限性(来源于公理组的局限性),非欧几何成为“现实”更好的描述。但无论欧氏几何或非欧几何各有什么样的适用范围,其公理体系都是内洽(相容)的,或者说其公理组内部没有逻辑矛盾。欧氏几何学不是靠其公理组打动人们的神经,而是为喜欢智力游戏的人们树立了一种光辉的典范——公理化体系。公理是不是要“由事实推翻”,这既取决于人们是否“应用”该理论,也取决于人们在多大范围内应用该理论。某种数学理论的提出并非一定直接服务于人们的应用(但是其必须具有内洽性或相容性),虽然许多理论后来被人们发现“很有用”,并且许多理论也是人们为了应用而研发出来的。
“局限”与“不符”、“被事实推翻”都是反映人们认识的深入过程,不能据此完全否定原有公理对人们认识进步的意义。今天的公理明天完全可能继续受到批判,但从人们的认识角度说,它们不会被彻底地否定。——当然这些全是废话。
“推理正确,两头符合”是个好标准,但随之引出的问题是什么叫“正确”,什么叫“符合”。哥德尔不完全定理似乎在说,某个理论是否具有“推理正确,两头符合”的这种特征,并不能由该理论本身的逻辑得到说明——“正确”与“符合”是不能由该理论本身证明的。我们必须在这个理论之外给出“推理正确,两头符合”的具体说明。