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雷达卡
a的零次方=1与牛顿二项式的创新
对于a^n，当n是自然数（正整数）时，物理意义是清晰的。比如，a^2=a*a，即两个a相乘；a^3=a*a*a，即3个a相乘。可对于a^0，0个a相乘，这啥意思呢？理解不了。或者说，0个a相乘，为啥不是0呢？
我们先看一下简单的加法与乘法。3+3+3+3=4*3，物理意义是4个三相加。对于，4+4+4=3*4，物理意义是3个四相加。人们发现最后的等式结果都是12，于是乘法就具有交换律，或者说，“3个四相加”与“4个三相加”是等效的。
我们看一下等式0*3，物理意义是0个三相加，这个不大好理解。但也能理解为，没有任何数相加，所以结果还是“没有”，也就是0。如果交换为，3*0，物理意义是3个零相加，即0+0+0，这个结果等于0，就显而易见了，就很好理解了。这样我们就知道，0*a=a*0=0，即零乘以任何数都得零。
好，现在我们再回到a^0的问题。我们能理解，a^(n+1)比a^n要多一个乘数因子a。即，a^4=a^3*a，a^5=a^4*a。那我们类比一下，就应该有a^1=a^0*a，这样我们就解出来，a^0=1。
我们继续往下，a^0=a^(-1)*a，于是我们就解出a^(-1)=1/a；同理，a^（-1）=a^(-2)*a，解出a^(-2)=1/a^2。
我们还能推广至，乘方就是指数的幂次相加。比如x=y*y，那么y=√x=x^(1/2)。同理，如果x=y*y*y=y^3，那么y=x^(1/3)。
我们看一下牛顿二项式的创新。在牛顿之前的上千年里，人们就已经知道二项式展开，(1+x)^n=1+n*x+n*(n-1)/2!*x^2+ n*(n-1)*(n-2)/3!*x^3+…，其中3！=1*2*3，n是正整数。牛顿就想，如果n是一个一般的分数或负数，会不会也成立呢？（ 很奇怪啊，上千年时间，其他人怎么就没能灵光一闪呢？）
于是，他就试着求一下根号下5的计算。√5=（4*（1+1/4））^(1/2)=2*（1+1/2*1/4+(1/2)(1/2-1)/2*(1/4)^2+(1/2)*(-1/2)*(-3/2)/(3!)*(1/4)^3+…）≈2+1/4+(-1/64)+1/512=2+0.25-0.015625+0.0020=2.236375。才只用到3阶展开，就与真值√5=2.236068很接近了。
在当时，牛顿的这个猜想虽然对了，但并没有理论基础。后来我们才知道，牛顿二项式展开，实际是微积分泰勒展开式的一个特例，f(x)=(1+x)^n，在x0=0处展开。
牛顿当时就把这个新发现应用在了圆周率π的近似求解上。求单位圆在（0,1/2）区间的积分面积，（1-(x^2)）^(1/2)=1+1/2*（-x^2）+(1/2)*(1/2-1)/2*(-x^2)^2+…≈1-1/2*x^2-1/8*x^4，不定积分的原函数就是x-1/6*x^3-1/40*x^5，在区间（0,1/2）的定积分就是，1/2-1/6*(1/2)^3-1/40*(1/2)^5-0=0.5-0.020833-0.000781=0.478386，后面的无穷小项很快收敛为0。 我们知道这个几何面积的真值是π/12+1/2*1/2*√3/2，一个π/6角度的扇形面积加上一个底是1/2，高是√3/2的三角形面积。 这样就可以解得π=12*（0.478386-0.2165）=3.142632。这只是牛顿二项式的二阶展开，就与π的精确值3.1415926很接近了。
创新，在很多情形下，是“温故而知新”。比方说，经典物理的伽利略变换x=x’+v*t，t=t’。这个是很显然的，岸边参照系与运动的船上参照系，时间是一样的；而位移自然就是要加上船本身行进的距离。我估计，几千年前的古人也知道，只是伽利略总结成物理公式的形式，并为后人所知。
不过，爱因斯坦就发现了这个公式有点不对劲。如果认为时间与空间，都是平权的描述物体变化的参量，那么这两种变换形式应该一样才对，大体应该有t=t’+x’/v这么个样子才行。后来，他就重新推导了洛伦兹变换，就具有了这种对称性,x=γ*（x’+β*t’）,t=γ*（t’+β*x’），这是在自然单位制下，其中β=v/c，两个参照系的相对速度v与光速c的比值，γ=（1-β^2）^(-1/2)。
爱因斯坦又在想，物体的能量E与动量P，应该也满足洛伦兹变换。E=γ*（E’+β*P’）,P=γ*（P’+β*E’）。 物体的质量M与动量P，也应该满足洛伦兹变换，M=γ*（m+β*P’）,P=γ*（P’+β*m）。这几个式子一比较，我们发现，E’=m；在物体自身参照系，显然有P’=0，故E=γ*（E’+β*0）=γ*E’=γ*m。我们还原回一般单位制，就得到了质能方程E=γ*m*c^2。
在宏观条件下，物体的运动速度v相对光速c很小，即β=v/c≈0，我们应用牛顿二项式展开就得到，E=m*c^2*(1+(-1/2)*(-β^2)+ (-1/2)(-3/2)/2*(-β^2)^2+…)=m*c^2+1/2*m*v^2+3/8*m*v^4/c^2+… 。 看到没，展开式中的第二项就是经典物理学中的动能项。
我们再看一下金融学中的随机运动方程。dS/S=μ*dt+σ*dB，这个物理意义是清晰的，股价的变化率是一个漂移项再加一个随机布朗运动。可是，怎么去求解这个方程呢？第一种方法，就是把当前股价S近似为初态S0，dS/S0=μ*dt+σ*dB，这个方程好解，S=S0*（1+μ*t+σ*t^(1/2)*Z），其中Z是标准正态分布N（0,1）的随机数。由于随机数x的正态分布期望值是0；所以股价S末态的期望值就是S0*（1+μ*t），这也符合常识。即长期来看，股价上涨，而随机波动都相互抵消。
对于，dS/S=μ*dt+σ*dB，这个方程，如果用传统的微分方程解法（只考虑一阶近似），可能就会得到S=S0*e^(μ*t+σ*t^(1/2)*Z)。可是，这个末态股价S的期望值并不是我们预想的S0*（1+μ*t）或者S0*e^(μ*t)。所以，不管是从数学上，还是从物理上，我们都有必要去考虑二阶项(ds)^2的影响。
对于lnS函数的泰勒展开式，d（lnS）=1/S*dS+1/2*（-1/S^2）*（dS）^2+… ;
其中，（dS）^2=(S*μ*dt+S*σ*dB)^2，(dt)^2是相对dt的二阶小量，可以忽略掉。可是，（dB）^2又该怎么处理呢？有个日本数学家就提出了伊藤引理，假设（dB）^2=dt。这样问题就大大简化了，再把dB*dt项也看成高阶无穷小给忽略掉。这样，(dS)^2≈S^2*σ^2*dt，从而d（lnS）=μ*dt+σ*dB-1/2*σ^2*dt；这样就解得，S=S0*e^(μ*t-1/2*σ^2*t+σ*t^(1/2)*Z)。如果，我们求一下股价S末态的期望值，发现正好是合理的S0*e^(μ*t)。
我们再回过头去看，（dB）^2=dt这个假设的合理性在哪儿？ 如果把每天的股价涨幅看成是纵向事例，那么“整体的方差=局部方差之和”，这也就能合理解释（dB）^2=dt。
有了伊藤引理及股价随机变化运动方程，那么就可以推导出BS期权定价方程及定价公式了。我们把认购期权C看成是股价S和时间t的函数，泰勒展开式到二阶，就有dC=∂C/∂S*dS+∂C/∂t*dt+1/2*∂^2C/∂S^2*(dS)^2+1/2*∂^2C/∂^2t*(dt)^2，我们把(dS)^2≈S^2*σ^2*dt代入并略掉dt一阶以上的高阶项。dC=∂C/∂S*dS+∂C/∂t*dt+1/2*∂^2C/∂S^2*S^2*σ^2*dt。
到这一步，我们再假设认购期权的收益率是ρ，股票的收益率是μ，就应该有dC=C*ρ*dt及dS=S*μ*dt。代入，并消掉方程两边的dt项，就得到期权定价方程C*ρ=∂C/∂S*S*μ+∂C/∂t+1/2*∂^2C/∂S^2*S^2*σ^2。这大约就是著名经济学家萨谬尔森能够得到的结果，与后来的著名的BS期权定价方程只差一步之遥。
很明显，上面方程中的参量ρ及μ是未知的，所以也就无法求解。后来，BSM这三个人，用了一个大胆的简化，假设ρ和μ都等于简单的很小的市场无风险利率r，一般可取为r=3%/年。先别管这个大胆的假设是否合理，只要得到的解与市场数据一致，不就很好嘛。
后来，BSM发现与实验数据确实符合的很好。现在，我们可以这么解释，定价概率与股价涨跌的客观概率是两码事。定价概率，多方看涨，空方看跌，双方成交，那么就意味着是“公平游戏”，当然应该有市场观点的股价收益率μ=0。而至于未来股价是涨是跌，或是客观的涨跌概率是多少，那当然是未知的；可这些与风险资产认购期权的定价都是无关的。
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