发帖
雷达卡
三门问题条件概率与贝叶斯公式
于德浩
2022.2.6
最近，我发现我对贝叶斯公式的理解还不够深刻。就是说，“你写一下贝叶斯公式，并说一下其中的意义；但你并没有很快直接写出来，而需要再去翻看概率论的书籍。”希望，这一次我是彻底弄懂了。
条件概率，是指在A事件发生的前提条件下，B事件发生的概率。从概率面积图中，我们能很容易的看到这个定义，即集合A与B的交集面积除以集合A的面积。P（A∩B）≡P（AB）； P（B|A）≡P（AB）/P(A)。这里就有了概率乘法，即P（AB）= P（B|A）*P(A)= P（A|B）*P(B)。
如果Bi是概率空间全集S的一个划分，那么P(A)=ΣP（ABi）=ΣP(A|Bi)*P(Bi)，这就是边沿概率或者全概率公式。我们把条件概率定义公式的分子，用概率乘法逆推出来；分母写成全概率公式；就得到了著名的贝叶斯公式，P（Bi|A）≡P（ABi）/P(A)= P（A|Bi）*P(Bi)/ ΣP(A|Bj)*P(Bj)。
一个非常有名的例题，钱袋里摸金币问题，这是我在朱永生老师著作的《实验物理中的概率和统计》看到的。有三个外观相同的钱袋子B1，B2，B3，其中B1里有2枚金币，B2有一金一银，B3有两枚银币。请问，我们随机取一个钱袋，第一次摸出一枚钱币是金币的概率是多少？再进一步问第二个问题，如果第一次是金币，请问剩下的还是金币的概率是多大？
我们先设定，摸到钱袋B1的概率事件为b1，发生概率显然是P（b1）=1/3。同理，P（b2）=P(b3)=1/3。 设定“第一枚钱币是金币的概率事件是a事件”，发生概率是P（a）。
我们根据全概率公式去计算，P(a)=P(a|b1)*P(b1)+P(a|b2) *P(b2)+ P(a|b3) *P(b3)。其中，P(a|b1)的物理意义就是，“当概率事件b1发生时，即若是摸到第一个钱袋B1；第一枚钱币是金币的a事件发生的概率”，由于B1里有2玫金币，所以，摸出来的第一枚钱币一定是金币，即P(a|b1)=1。 同理，我们也能“显然”知道，P(a|b2)=1/2，P(a|b3)=0。
带入上面的已知数据，就得到P（a）=1*1/3+1/2*1/3+0*1/3=1/2。这个结果，我们是可以直观感受到的。这就相当于我们把3金3银，混在一起，随手抓一个，那么第一枚是金币的概率就是其比率3/(3+3)=1/2，这就是另外一种方法的间接验证。
再看第二个问题。 “若第一枚是金币，袋子里还剩下一枚金币”，就等同于摸到的钱袋是B1的概率，即求P(b1|a)。我们代入条件概率的贝叶斯公式，P(b1|a)= P(a|b1)*P(b1)/P(a)=1*1/3/(1/2)=2/3。
这个结果与人们的直观感觉不太一样。“既然第一枚摸到的是金币，就说明一定不是B3；只能是钱袋B1或B2其中一个；而这两个应该是无差别的，所以概率应该是各50%才对。”其实，钱袋B1与B2不是概率平权的，上面的概率计算就是证明。但是，我们直接去争论是很难说服其他人的。人们会说，“两个钱袋是一样的，原来都是1/3概率；当排除第三个后，那就各占一半了。” 而你只能说，“B1是两枚金币，而B2是一金一银，它俩不一样；B1出现的概率至少要更大些。”
另一个更经典的反直觉概率问题就是三门问题。一个当年很火的美国电视节目，有三扇门，只有其中一扇门后面有跑车大奖。当参赛者随机选一扇门，比如门A；主持人会把剩余的一扇空门，比如B门打开；然后问，“你是改选C门，还是坚持你原来的选择A门？” 这是一个条件概率问题，正确的数学计算是，若更改为选择C门，概率就会从原来的1 /3提升为2/3。
很多人凭直觉提出了质疑。“当排除掉B门后，剩余的两扇门应该概率各50%才对。选A或选C，应该是一样的。人们应该相信第一感觉，不要轻易更改。”
有人说，假设有一个人迟到后入场，让他随机选剩余的A或C，他的概率肯定是1/2。难道对于参赛者的概率是1/3和 2/3，对于后者却是1/2和1/2，这不违背概率的客观性吗？
有人说，有两个参赛者，一个选A，一个选C，中间空门B打开。如果更改选择会提升概率，那么到底是A更好，还是C更好呢？这不自相矛盾吗？
有些悖论，我们可能一时看不出其中破绽，但我们只要知道它是错的就行。因为，我们只需知道一种正确解法的结果即可。对于三门问题，最简单的解法如下：参赛者第一次选择A门，显然是1/3的概率可能猜对拿大奖。那么，剩余2个门就是1-1/3=2/3的胜算。如果更改选择选B门，就相当于选了B门和空门，即选了所有剩下的门，那么概率就仍然是2/3。
这个解法是可推广验证的。假设是四门问题，若打开一个空门，那么更改选择之后的概率是从1/4提升到（1-1/4）/(4-1-1)=3/8。若打开两个空门，那么概率就提升至（1-1/4）/(4-1-2)=3/4。若一个空门也不打开，那么概率依然是（1-1/4）/(4-1-0)=1/4，这与一般常识和直觉就是相符的。
其实，从执行策略讲，即使不懂概率计算，也应该更改选择。假设是100个门，第一次随机选一个，主持人把其它98个空门都打开，你显然会去选那个没有被打开的门，即使你不会算出概率是99%。因为，你起码知道你第一次选择仅有1%的胜算，这肯定无法拿大奖；所以必须要更改选择才行。
我之所以重新关注三门问题，是因为我想用条件概率的贝叶斯公式去计算得出。但，没能转化为合适的数学模型。我从手机网上搜索了一篇微信公众号文章，找到了计算方法。我们假设A门后面有跑车大奖是概率事件a，其发生概率是显然的P（a）=1/3。同理，P(b)=P(c)=1/3。参赛者随机选择一个门，不妨设为A门，这是必然事件h。主持人打开一扇空门，不妨设为B门，这是概率事件d。那么我们就要去求解“空门打开后，不更改选择的胜率”P(a|d)，及“更改选择的胜率”P（c|d）。
根据贝叶斯公式，P(a|d)=P(d|a)*P(a)/P(d)。根据全概率公式，P(d)= P(d|a)*P(a)+ P(d|b)*P(b)+ P(d|c)*P(c)。条件概率P(d|a) 的物理意义是“当a事件，即A门后有大奖的事件发生时，主持人打开B门的概率“。 显然，这时主持人可以打开B门，也可以开C门，所以这个概率就是P(d|a)=1/2。
条件概率P(d|b) 的物理意义是“当b事件，即B门后有大奖的事件发生时，主持人打开B门的概率“。 这时主持人不能打开B门，所以这个概率就是P(d|b)=0。条件概率P(d|c) 的物理意义是“当c事件，即C门后有大奖的事件发生时，主持人打开B门的概率“。 这时主持人只能打开B门，所以这个概率就是P(d|c)=1。
把上面已知数据代入，就得到“不更改的胜率“P(a|d)=1/2*1/3/(1/2*1/3+0*1/3+1*1/3)=1/3；而”更改后的胜率“P(c|d)=1*1/3/(1/2*1/3+0*1/3+1*1/3)=2/3。通过数学公式得到的结果会更有信服力。
再说一下上面提到的三个质疑悖论的破绽。 一是，有两个可能状态，未必是平权的，你得有足够的证据才行。比方说，掷硬币连续3次是正面为赢，否则为输。你有赢或输两种可能的结果，但显然不是平权的各50%。
三门问题，我们试用一下枚举法。第一，参赛者选A门，A门后有大奖，主持人开B门。若更改选择，那么就是输。第二，A门后有大奖，主持人开C门，若更改选择，那么就是输。第三，B门后有大奖，主持人只能开C门，更改后就是赢。第四，C门后有大奖，主持人只能打开B门，更改后就是赢。 如果认为4种路径是平权的，那么就是胜算为50%；可是，若第一和第二归类为一种状态，那么就是1输2赢，胜算是2/3。 如果你不确定第一和第二能否归类为一种状态，那么枚举法在这里就是失效的，我们要去找更合适的算法。
第二个悖论。概率事件，对于不同的人，不同的信息获取范畴，胜率当然是不一样的。参赛者的更改后胜率为2/3，就是要比迟到者的1/2胜算更高，因为他掌握的信息更多，分析的更正确充分。当然，若他没能正确利用信息，他就只有1/3的胜算。 倘若对于主持人来言，胜算就是100%，因为主持人的信息更全面。
第三个悖论，正确的概率是两人各50%的胜算。但这与三门问题是两码事。这实际是限定了B门必须是空门。 倘若B门后面有大奖，这个游戏就被迫中断了，没有第二次选择的机会了。
我还有必要说明的是，三门问题，虽然更改后的胜率提升为2/3，但未必结果一定能赢。还有，你还要考虑“情感损失”。假如你选A门，没有二次更改，最后你果然没得大奖，你只会觉得“运气不够好，有点可惜。”而假如你选A门，二次更改为C，可最后你竟然没得大奖，你会怎么想？你会懊悔一辈子。“曾经，老天给我一个跑车大奖；可我竟然犯贱，朝令夕改，拱手让出。什么数学计算，什么胜率更高，什么最优策略，统统都没用。
理智不能战胜感性的事太多了。在几百年前，有人坚持日心说真理，可当时的地心说把他给烧死了。股票指数的年收益率平均8%，远高于一般银行理财产品的年2%，可人们都不敢买股票，长期持有。 彩票的胜率是几百万分之一，期望值为负，可仍有大量的人趋之若鹜。人们不和你算数学概率，“百万富翁的梦想是要有的，万一真实现了呢？两块钱一张彩票，这么便宜，就当是消费，福利捐款；总比花钱去抽烟喝酒，弄无三经强吧？”
再回到“钱袋里摸金币”的问题。我们可以类比“股票短线趋势投资”，一般经验是，若趋势一经开始，将会大概率延续。这里似乎有理论基础了。我们假设未来有三种可能，一是连续上涨，二是连续下跌，三是有涨有跌。若已出现前面5天下跌，请问后面5天还会继续下跌（剩余一枚还是金币）的概率是多少？ 前面的计算答案是2/3的概率。
京公网安备 11010802022788号
