基于策略和无嫉妒的房屋分配机制

将函数定义为(，\'，):=,-。通过匿名性，功能5例如，很容易验证两个代理和对象的所有机制都满足第4.2条，但所有这些机制都不是匿名的。是很好地定义的，因为=，对于任何代理，除了代理之外，还有(-1)个代理。此外，我们还有0≤，≤-1=yen-≤(，\'，)≤.考虑任何亲=()∈，任何代理和对象。设id=（,....,）为首选项，其中所有代理都报告与代理相同的首选项。让=(，id-)是当只有代理将她的报告从。由于匿名y，id，=。通过可分性，我们有，，-id，=x∈{}h，-id，i=x∈{}h，-i=x∈{}(，，)，这是从我们对乐趣的构造中得出的。因此，我们有了我们想要的表示，=+x∈\\{}(，，)，在他的阶段，我们想将我们的两两交换机制与byKesten(2009)提出的TopTrading Cycles from Equality Di vision(TTCED)机制进行对比。ttcedmechnology figurrst从为每个代理分配每个对象的相等值t开始。然后，任何一对接受了彼此的顶级对象的代理都可以依次交换他们的份额。一旦代理不能再交换顶级对象，她对该对象的分配就会被确定，并且继续以优先的方式交换下一个对象。TTCED和对交换机制在一个关键方面是要求所有的交易独立地并行进行，而在TTCED机制中，代理对依次进行，这两种机制在意义上是极其相似的，即两种机制都是以相等的分割开始的，并允许代理之间进行成对交易。事实上，正如Kesten(2009)所表明的，TTCED机制相当于Bogomolnaia和Moulin(2001)的PS机制，因此不具有策略证明性。相反，我们演示了一对交换机制承认大量的策略证明和无嫉妒机制。4.2公平和激励在他的章节中，我们做出了令人惊讶的观察，在对交换机制的类别中，激励相容和公平是齐头并进的。在这篇文章中，我们认为策略证明和嫉妒自由在他的类中是等价的。据我们所知，这是市场上唯一一个随机分配机制家族，其中在公平和策略证明这两个通常竞争的概念之间建立了suchan等价。回想一下，在配对交换机制中，一个代理的总分配取决于每个代理从其他代理那里得到的转移的总和。在这种情况下，策略证明和嫉妒自由都要求传递函数满足单调性的概念，即两个代理人之间的t ransfer与他们相应的偏好很好地一致。我们通过一系列引理将这一概念形式化，并将其证明推迟到附录中。下面的引理表明，在一个策略证明机制中，一个代理从任何其他代理报告时收到的probabil isticshares的转移随机地支配着她在报告任何其他代理时收到的转移。引理4.4。假定e=H，，....,我。若策略证明，则对于所有的\'，\'\'∈R和∈[]，p=1(，\'\'，)≥p=1(\'，\'\'，).引理2.1表明一般随机指派机制的策略证明性等价于交换单调性、上不变性和下不变性三个性质。类似地，下面的lem ma证明了在配对交换机制中的策略证明性与t ransfer函数的类比性质是等价的。引理4.5。

如果传递函数满足以下两个特性，则机制是策略证明的。发送方不变性：如果\'=h，，..，i和\'\'是这样的(\'\'，)=(\'，)=there≤，那么，vere∈R，(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)。类似地，如果(\'\'，)=(\'，)=the(，\'，)=(，\'，).2。交换单调性：对于所有的，\'∈R和\'\'ε(\')与\'but\'\'，我们有(\'，，)≥(\'，，)。最后，下面的两个引理表明，任何无嫉妒机制的传递函数都必须是“SEL”。换句话说，对于任何代理，与任何其他代理交换的对象总量都与代理的首选项兼容。引理4.6表明，如果两个代理人对他们的顶级对象有相同的偏好，那么他们不交换这些对象中的任何一个。同样，引理4.7表明，任何代理人从任何其他代理人那里收到的总转移随机支配零转移。6这种等价性在大型经济体中得到了应用（例如，参见Che和Kojima(2010)；Jackson和Kremer(2007)；L iu和Pycia(2016)；Noda(2018))。设=h，，.我是一个任意的偏好关系，并且使(\'，)=(，)=there≤.如果没有嫉妒，那么(，\'，)=0。类似地，如果\'suchthat(\'，)=(，)=that(\'，)=that(，\'，)=0。引理4。7.设=h，，.我是一个任意的偏好关系。如果是无嫉妒的，则对于所有\'∈R，对于a ll∈[]，p=1(，\'，)≥0。上述四个引理暗示策略证明和无嫉妒依赖于转移函数中的“单调性”概念。事实上，我们可以证明这两个概念是紧密联系在一起的。下面的定理证明了一个对交换机制是策略证明的当且仅当它是无嫉妒的。定理4.8。在两两交换机制的cla ss中，策略证明等价于嫉妒自由证明。我们证明了如果一对明智的交换机制是策略证明的，那么它是无嫉妒的。假设，对于矛盾，这是策略证明，但不是没有嫉妒。因此，存在一些∈R、≠\'∈，和一些∈[]，使得agent为她的顶物得到的所有o阳离子的总和严格地小于agent‘得到的wh。在不丧失一般性的情况下，设=h，，....,我。由于agent嫉妒\'We have，x=1\'，>x=1，然而，由于是策略证明的，在偏好上，如果agent选择偏离并将其p引用报告为\'=\'，则不会获得任何好处。让\'=(\'=\',-）是当代理错误地报告她的偏好时得到的偏好结果。则我们有VEP=1,≥P=1\',。代回到上面的不等式中，我们有x=1′，>x=1′，用它们的传递函数n来代替分配，通过命题4.2中的“无转移”性质，我们得到x=1(\',，)+x∈\\{，“}x=1(\',，)+x∈\\{，”}x=1(\',，)+x∈\\{，“}x=1(\',，)=0,，”，因此我们得到x=1(\',，)=0,“，”}x=1(\',，)>x=1(\',，)>x=1(\',，)+x∈\\{，“}x=1(\',，).”\'，，)>0=x=1(，，)但是当我们设置=、\'=\'和\'\'=时，这与公式4.4相矛盾，因此如果是策略证明，那么它也一定是嫉妒自由的。我们现在证明了嫉妒自由的im包含发送方不变性和交换方一致性，因此i包含策略证明性。我们用矛盾来证明。假设这是无羡慕的，但传递函数不是s端er不变的。那么，存在\'，\'∈R，使得(\'，)=(\'\'，)，there≤，或者(\'，)=(\'\'，)，there≥，并且存在一个偏好，使得(，\'，(\'，))≠(，\'，(\'，))。假设‘是这样的(\'，)=(\'\'，)，the argument≤(the argument，另一种情况是对称的）。L et\'=h，，....,我。

设b e是这样的索引中最小的一个(，\'，)≠(，\'，)。因此，我们对于所有的<，(，\'，)=(，\'，)。现在，考虑一个偏好profire，其中=\'对于某个代理，\'=\'对于另一个代理\'∈\\{}，=对于她的所有代理∈\\{，\'}。agent得到的对p个对象的to tal分配由x=1,=+x=1(\',\'\'，)+(-2)x=1(\',，)=+(-2)x=1(\',，)≠+(-2)x=1(\',，)=+x=1(\',\'，)+(-2)x=1(\'\',\')+(-2)x=1(\'\',，)=x=1\'给出，第二个和第四个等式来自Lemma4.6。因此，我们发现Agent or中的一个会嫉妒另一个，这是一个矛盾。其次，假设Agent or是无嫉妒的，但传递函数不是交换单调的。那么，存在\'∈R，我们毫不损失地假定它是\'=h，，..，i，\'\'ε(\')与\'+1but+1\'\'对于某个∈[]，并且∈R，使得(\'，，)<(\'，，)。根据发送者不变性，我们有p-1=1(\',，)=p-1=1(\'\',，)和p=+2(\',，)=p=+2(\'\',，).由于这些转移是平衡的（命题4.2的性质(2))，它必然是(\'，+1)>(\'\'，+1)。在没有损失的情况下，l et(，)<(，+1)，即+1（对于另一种情况，我们可以互换‘和\')的角色）。我们现在可以构造一个偏好~∈R，使得(~，+1)=和对于所有的∈[(，)]，(~，)=(，)。使用发送方不变性，我们有，(\',~，)=(\',，)<(\'\',，)=(\'\',~，)。同样的性质还意味着p-1=1(\',~，)=p-1=1(\'\',~，)和p=+2(\',~，)=p=+2(\'\',~，)=p=+2(\'\',~，)，这与命题4.2的（性质（2））的平衡性结合在一起，结果是(\',~，+1)>(\'\',~，+1)。最后，让我们构造一个偏好，使得(，+1)=和对于所有的∈[]，(，)=(\',)=.对于这种偏好，发送方不变性意味着(\'，+1)=(\'，~，+1)>(\'，~，+1)=(\'，，+1)。我们又有t hatp-1=1(\'，，)=p-1=1(\'，，)和p=+2(\'，，)=p=+2(\'，，，)。因此，(\',，)<(\'\',，)。但是，(\',，)=0来自Lemma4.6，这意味着(\'\',，)>0。因此，(\',，)<0。但是Lemma4.6将（,\'\'，)=0用于所有≤(-1)的情况。因此，我们getp=1(，\'\'，)<0，w hich与Lemma4相矛盾。7.4.3刻画策略证明和中立两两交换机制现在我们寻求刻画策略证明和中立两两交换机制的集合。下面的简单引理表明，中立型和策略证明型交换机制的传递函数满足两个附加性质，即中立型和接收不变性，这将有助于对这类机制进行刻画。这一证明直接来自于对机理和相应性质的解释。直观地说，如果这两个性质都不能被传递函数所充分利用，那么我们就可以构造一个相关的偏好证明来证明该机制不能被策略证明。我们将这个证明包括在附录F引理4.9中。如果机制是策略证明和中立的，那么转移乐趣ct离子满足特性1。中性：传递函数:R×R×→[0,1]是中性的，即(，\'，)=(()，(\')，()):→2。接收器不变性:If=h，，..，i和d\'和\'\'是这样的(\'，)=(\'，)then(，\'，)=(，\'，)。类似地，如果(\'，)=(\'\'，)≥，那么(\'，)=(，\'\'，).引理4.5和4.9表明，在我们寻找策略证明和中立机制的过程中，有足够的限制去传递满足中立、发送方和接收方不变性的函数。

我们现在展示了这些性质，事实上，这使得我们可以证明对转移函数的更强的限制。定理4.10。如果一个传递函数:R×R×→[-，]满足中立性、发送方不变性和方差接收方的性质，以及下列性质:x∈(，\'，)=对于任一个pair偏好，\'∈R，其中∈R是某个常数。那么对于任一个对象，和偏好，\'，\'∈R，我们有(\'，)=(\'，)=≈(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)，)，我们通过对上的归纳证明了这一主张。对于b ase情况，我们考虑=3，并包括附录G的证明。出乎意料的是，在gly中，证明基本情况还需要巧妙地使用接收方和发送方的方差性质，以及asp∈(，\'，)=±，\'∈R。对于归纳步骤，假设声明为-1≥3的tru e。我们需要证明索赔继续有效。让={，，..}。在不丧失一般性的情况下，设=h，，..i.对于任一，∈[]，我们认为R，={\'∈R(\',）=和(\',）=}是所有偏好的集合，其中对象的秩和分别是和。let,*=π,[],和*,=π,[],索赔4.11。对于所有的1≤≤，ther\'，\'\'∈R，*，ther\'，(\',）=(\'\'，)='A(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)证明。通过对R,*的认识，我们有(\'，)=(\'\'，)=对于任意两个偏好\'，\'\'∈R,*。因此，通过接收器不变性，我们必须有(，\'，)=(，\'，)。让[-1]={，..，}表示除[-1]之外的-1个对象的集合，让R[-1]表示对[-1]的所有严格首选项的集合。我们现在可以定义一个辅助函数n′:R[-1]×R[-1]×[-1]→[--1,-1]，如下\'(，\'，)=(~，~\'，)，\'∈R[-1]，[-1]，~′是通过附加到偏好关系的begi n ning而得到的，~′是通过在‘中的thposition插入而得到的。现在，根据接收者的不变性和中立性，(~，~\'，)对于任何su ch偏好都是相等的，因此我们保持p∈[-1]\'(，\'，)=-(~，~\'，)=\'forall,\'∈R[-1]。进一步如果=h，。对所有2≤≤，i和“与”满足(\'，)=(\'，)，则我们有\'(，\'，)=(~，~\'，)=(~，~\'，)=(~，~\'，)=\'(，\'，)，其中第二等式是从函数的接收器不变性而来的。因此，constructedfunction\'也满足接收器不变性。我们可以类似地验证函数的中立性和发送方不变性。因此，我们可以用归纳法假设来完成这一主张的证明。我们可以在object上使用对称参数来证明下一个声明。声明4.12。对于所有的1≤≤，thal\'，\'\'∈R*，，(\'，)=(\'，)=§(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)，)为了补充t Heorm的证明，我们现在需要证明对于任何\'∈R，\'\'，\')R是真的，其中≠和≠。权利要求4.13。对于所有的\'∈R，，\'\'∈R，使得≠and≠，并且，(\'，)=(\'，)=§(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)证明。Fix≠and≠,\'∈R，，\'\'∈R，使得(\'，)=(\'\'，)对于某一点来说。注意，通过对集合R,和R,的修正，可知≠和≠。我们在这个对象上有两种情况：情况1:≠1让~\'∈R*和~\'∈R*是一种稀有的偏好，比如1。(~\'，)=(\'，)=(~\'\'，)=(~\'\'，)=(\'\'，)2。(～\'，)=和(～\'\'，)=3。(～\'，)=(～\'\'，)the{-1,}注意，由于≠-1，通过设置(～\'，-1)=(\'\'，)=和(～\'，-1)=(\'，)=来保证我们能够筛选这样的首选项。现在，通过声明4.12，我们必须有(，\'，)=(，~\'，)和(，\'，)=(，~\'，)。

但是由于satis定义了接收者不变性性质y，我们必须有(，~\'，)=(，~\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)。情况2:=-1就像在上面的情况一样，我们的目标是构造首选项~\'和~\'\'，然后证明这些t wo传输必须与~\'和~\'\'的性质相等。让~\'∈R，*和~\'∈R，*是这样的arbit rary首选项1.(\'，)=(~\'，)=(\'\'，)=(~\'\'，)2。(～\'，)=和(～\'\'，)=3。(~\',）=(~\'\',）}{1,2}同样，我们可以保证找到这样的首选项。由于≥4，我们有-1≠因此我们可以设置(～\'，)=(\'\'，)=和(～\'\'，)=(\'，)=。现在，根据权利要求4.11，(，\'，)=(，~\'，)和(，\'，)=(，~\'，)。由于SATIS具有接收器不变性，因此我们必须根据需要h ave(，～\'，)=(，～\'\'，)=§(，\'，)=(，\'，)。这就是索赔的证据。定理4.10作为权利要求4.11、4的直接序列如下。12和4.13。我们现在证明定理4.10意味着对于任何中立和策略证明的配对交换机制，传递函数允许一个简单的线性表示。下面的简单命题表明，定理4.10已经暗示了传递函数允许一种更简单的形式，即任何物体在两个主体之间的传递只依赖于该物体在它们相应的偏好顺序中的秩。我们将证明包括在附录H.命题4.14中。对于任何FUNCUL：R×R×→[-,],存在一个功能：[]×[]→[-,]使得对于所有\'∈R和π，我们有(，\'，)=((，)，(\'，))当且仅当是中性的，并且对于任何对象来说，\'，\'∈R，(\'，)=(\'，)=§(，\'，)=(，\'，)，)命题4.14表明对于任何中性的和策略证明的配对交换机制的传递函数允许一个有趣的ct离子的表示:[]×[]→[-，]。下面的t heorem表明，任何这样的函数，当与平衡转移性质和不转移性质结合时，实际上一定是线性函数。我们注意到，BalancedTransference性质意味着对于任何一个条件，我们有（,())=0，而NOTransference性质意味着我们有（,）=0，[]。定理4.15。任一函数:[]×[]→R满足(，)=0,且对所有排列来说，[]→[]的dp=1(，())=0当且仅当存在一个向量[]=0且(，)=[]-[]，其中[]是证明的坐标。让我们证明一下简单的方向。假设λ∈R S.T。(，)=[]-[]。首先，对于任意[]，(，)=[]-[]=0。其次，对于任何置换，X=1(，())=X=1[]-[()]=X=1[]-X=1[]-X=1[()]=0，因为这是一个置换，因此是[]上的一个B项。对于权利要求的另一个方向，我们将向量∈R定义为，[]=(，)π∈[]，设为任何置换，且设为除指数上的交换外，它与任何置换相同。也就是说，\'是这样的，()=\'()对于所有的来说是∈[]\\{，}，()=\'()和()=\'()对于某些来说是∈[]。由于所有置换的函数都是p=1(，())=0，所以我们有:x=1(，())=x=1(，\'())即x∈[]\\{，}(，())+(，())+(，())=x∈[]\\{，}(，\'())+(，\'())+(，\'()))即。(，())+(，())=(，())+(，()))因此，对于任意，∈[]，如果我们考虑一个特殊的置换，如t hat()=和()=，上述等式简化为(，)+(，)=(，)+(，)，但s因(，)=0，这个yiel ds(，)=(，)-(，)=[]-[]如所需。最后，结合定理4.8，引理4。

9、定理4.10、命题4.14和定理4.15，我们得到了我们的主要刻画结果。定理4.16。一个成对交换机制是策略证明的、无嫉妒的和中性的，仅当存在一个向量[]>=[+1]的[0，(-1)],[]=0,这样的向量是[]>=[+1],[]=0,而[]=[(，)]]-[(\'，)]=[(，)]-[(\'，)],其中[]是证明S ketch的坐标。引理4.9到定理4.15一起暗示了任何中立的、策略证明的、无嫉妒的两两交换交换机制的传递函数必须承认一个简单的线性表示。对向量的附加限制来自于该机制可行的必要条件。我们在附录中给出了该定理的形式证明。我们用定理4.16中表示的its作为社交向量来表示策略证明、无嫉妒和中立的p空气交换机制。4.4在两两交换机制中，e-ciency是设计房屋分配机制时的一个重要考虑因素。Lemma4.7sh认为任何无嫉妒的成对交换机制至少与均分机制一样，因此我们的特征证明了一大类策略证明和无嫉妒的机制，这些机制都（弱）支配均分机制。形式上，一个机制弱支配另一个机制，如果对于每个profoile∈R和任何agent来说，≥\'，其中=()和\'=\'()。如果在addit中至少有一个偏好存在严格的支配，那么我们说（严格地）做minates。设Fdenote一系列机制。我们说，如果没有其他机制\'∈F占优势，则一个机制∈F在F中是Pareto-e-cient。从定理4.16可以看出，如果关联向量中[1]>0，则t机制（严格地）占优势。我们把nextis视为线性机构家族中最具代表性的机构集合的一个问题。下面给出了Pareto-e-cientl线性机构集的一个刻划。Wedefer证明了附录J的foll欠定理。定理4.17。设F是策略证明的、无嫉妒的、中立的成对交换机制的类。一个机制是F中的Pareto-e-cient当且仅当向量满足[1]=(-1)。5结论在他的工作中，我们着重研究了住房分配问题的策略证明和无嫉妒的随机同化机制。我们定义了一个非常弱的e-ciency概念，称为自由竞争e-ciency，sh认为在策略证明机制的类别中，嫉妒自由与这种弱形式的e-ciency是不相容的。其次，我们考虑了一类广泛的机制，称为对交换机制，给出了这类机制的ic刻画公理，并证明了在这类机制中策略证明与嫉妒自由是等价的。在两两交换机制中，代理平均分配所有的对象，每个代理交换各自的份额，其中交换量由一个传递函数决定，该函数只依赖于代理在交换中的偏好。我们刻画了这类机制中的所有策略证明、无嫉妒机制和n个中性机制的集合，并表明这些机制具有简单的线性表示。给定激励、公平和中性之间的关系，刻画策略证明和无嫉妒机制中的中性前沿是一个重要的问题。事实上，通过限制传递函数只依赖于参与交换的参与者的偏好，我们所描述的机制并不能使我们达到这一前沿，然而，我们将我们的工作作为回答这个问题的一个初步步骤。

在未来的工作中，我们计划研究更一般的传递函数，并确定策略证明和无嫉妒机制的结构，以允许s u-Ch功能离子。参考Abdulkadiro-lu，ReferencesAbdulkadiro-lu，ReferencesAbdulkadiro-lu，阿蒂拉和泰芬·桑梅斯，“Rando m系列独裁和内部分配问题中随机终端所有权的核心”，1998年，66(3)，689-701。还有，“学校选择：一种机制设计方法，“美国经济评论，20 03,93(3)，729-747.阿胡贾，拉温德拉·K，托马斯·s·马格尼蒂，和詹姆斯·B·奥林，网络泄密，剑桥，质量：管理部门的阿尔弗雷德·P·斯隆舒尔，马·萨萨丘塞茨，1988.博戈莫尔纳亚，安娜和恩正许、“对象的概率分配：以系列规则为特征，“生态理论杂志，2012年，147(5)，2072-2082。赫韦·穆林，“r andom指派问题的新解法”，经济理论杂志，2001年，100(2)，295-328.布迪什，埃里克，“combin的赋值问题：平等收入下的近似竞争均衡，“政治经济学杂志，2011年，119(6)，1061-1103.钱伯斯，克里斯托弗·P，概率分配模型中的一致性〉，《数学经济学杂志》，2004年，40(8)，953-962.切，Yeon-Koo和Fuhito Kojima,“概率序列随机优先机制的渐近e quivality，”Econometrica,2010年，78(5)，1625-1672年陈，颜和Tayfun S"onmez，“改善校园住房的安全性：一项实验研究，“美国经济评论，2002年，92(5)，1669-1686.福利，邓肯·K，“资源分配和公共部门。”耶鲁经济学论文集，1967年。盖尔，大卫，“大学课程作业和最佳彩票”，1987.哈里斯，帕特里克和威廉·潘，“转让g个物体的优先权规则的混合规则”，手稿，2019.桥本，忠石，平田大辅、奥努尔·凯斯滕，栗野森光、和M Utkuünver，“概率序列机制的两个公理”，Theo retical Economics,2014年，9(1)，253-277.HEO,郑恩，“扩展序列cor在丰富偏好域上响应nce，”国际游戏理论杂志，2014年，43(2)，439-454。，“多单元需求的概率指派问题；数理经济学的Journa l,201 4,54，40-47。和厄茨古尔·伊尔马兹，《扩展系列通信的特征》,《数理经济学杂志》,2015年，59、102-110.海兰，Aanund和Richard Zeckhauser，《个人对职位的公平分配》，政治经济杂志，1979年，87(2)，293-314.杰克逊，马修·奥和伊兰·克雷默，“大型经济体中的嫉妒自由和即时通讯”，经济设计评论，2007,11（3）,185-198.Kesten,Onur,“为什么popu lar机制在随机环境中缺乏策略性？”，《经济理论杂志》，2009,144（5）,2209-2226.Liu,Ying min and Marek Pycia,“大市场中的有序性、公平性和激励”,“大市场中的公平性和激励”（2016年8月1日）,2016.Martini,Giorgio,“策略证明公平分配是浪费的”Games a nd Econ omic行为“,2016,98,172-179.Mennle,Timo和Sven Seuken,”一种描述和放松单一匹配机制策略性的公理方法“,载于《第十次ACI的进程》M会议ON Econo mics和计算”2014,pp.

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因为是策略证明的，所以必须是(1)1,+(1)1,+(1)1,=(0)1,+(0)1,+(0)1,=1=§(1)1,=0 for：{4,5,）。..}现在，既然也是无嫉妒的，那么为了使主体1、2和3不互相嫉妒，我们必须有:(1)2,+(1)2,+(1)2,=(1)3,+(1)3,+(1)3,=(1)1,+(1)1,+(1)1,=1=§(1)2,=(1)3,=0来表示：{4,5,。..}当我们从（1）到（2）仅代理2改变其报告时，从（2）到（3）只改变代理3的报告时，我们可以应用相同的论据。在每一个i态中，它总是=0,for∈{1,2,3}和∈{4,5,...}。Lemmaa.1意味着>3的赋值probl em可以归结为三个Agent上的问题。由于满足了定理的前提，我们可以通过限制在f的范围内，对=3建立一个新的机制。形式上，让\'=(\',\'，\')∈Rbe是对约化prob中的三个主体的优先选择，让=(，，\\{1,2,3}）∈F是对主体的优先选择，使得每个主体∈{1,2,3}具有与对象的优先选择关系，并且根据后面跟着H,，...我。在随机赋值=()中，Lemmaa.1意味着，=0对于∈{1,2,3}和∈{4,5,...}。因此，我们可以将\'=(\')定义为\'=[]∈{1,2,3}，这是一个有效的随机赋值。但是，由于是无内容离子、无嫉妒和策略证明的，因此也满足了所有这三个性质，从而与Lemma3.2相矛盾。给出了定理3.1的证明。定理3.3let={1,2,3}和={,,}的证明。由于矛盾，假设该机制在某个位置将一个对象完全分配给一个代理。让我们毫不含糊地说，这是一个代理，她在这个职业上的偏好是。一定是完全分配给Agent1的o bject是她的首选，即object，否则她会嫉妒其他两个Agents中的任何一个，这两个Agents将得到一个非零的概率of被分配到object。此外，在这个程序中，代理2和代理3不能将对象作为他们的首选，因为任何结果赋值都将违反嫉妒自由。在此，我们需要考虑两种基于Agent2和3最喜欢的对象的情况：情况1：Agent2和3喜欢相同的对象，或者，作为它们的首选。由于两个Agent2和3都喜欢相同的对象，所以它们都有对象作为它们的最大首选，否则任何结果分配都不会对Agent2或3没有嫉妒。我们考虑两个代理都有偏好的子情况。我们称之为preferenceprofirele，prefirelole。案例1a:代理2和代理3更喜欢。从prefireloe开始，我们考虑了一系列八个将导致我们矛盾的prefireces。profigures及其相应的ass点火分别见表5和表6。1 a b c2 b c a3 b c a(a)profigure a 1 a c b2 b c a 3 b c a b c a c c c c a c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c cb2 c b a3 b c a（h）profirefirele HTable 5：在情况(1a)profirele a（（））中，我们从o开始w ith（）1,=1。由于嫉妒自由意味着对等的平等对待，所以对代理2和3的唯一可能的分配是()2,=()2,=()3,=()3,=.Profile B(()):接下来，假设代理1报告了代理2和3与Profile A中相同的主要偏好（）（）。为了使代理1不通过错误地报告她在Profile B和A之间的偏好而获益，我们必须有()1,=1。同样，通过对等号的平等处理，()2,=()2,=()3,=()3,=.Profile C(()):如果代理1选择t o而不是报告()()，那么Profile B和C之间的策略证明意味着()1,=()1,=0。设（）1,=,where∈[0,1]。代码D（（））：代理1现在报告()()，而代理2和代理3像以前一样报告sam e首选项。

为了让这三个代理人不互相嫉妒，他们必须接受同样的可能性成为屁股的对象。因此，我们必须有()1，=()2，=()3，=。其次，方案C和D之间的策略证明性意味着在()1，=()1，=。所以我们有()1，=-。由于代理2和代理3具有ident ical首选项，他们必须收到idencitala b c1 1 0 02 0/2/23 0/2/2(a)亲Aa b c1 1 0 02 0/2/23 0/2/2(b)亲Ba b c1 1-0/2/2/2-/2/2/2/2-/2(c)亲Ca b c/3/3-3/6+/2/3/2+/2(d)亲a b c 1 1-0/2/2(e)亲a b c 1 0 1-2/2/2(f)亲a b c 3/3-/3-3/3-3(g)亲a b c/3/3-3(g)亲a b b c 1 1/3-2 03 0(h)亲a b c 1 1/3-2 03(h)亲a b c 1 1/3-2在情况(1b)分配中为八个优先级分配。因此，()2=()3=+。profilegle E（（））：假设现在，代理2在profilegle a中将她的报告改为（）（）。代理2将报告t ruthly,()2,=()2,=。嫉妒自由意味着()3,=()2,=。因此，()1,=0。设（）1,=,其中∈[0,1]。为了使代理1和代理2不嫉妒对方，他们必须得到相同的概率才能得到他们最不喜欢的对象。因此，()2,=.profirele F（（））：现在让我们考虑一个profire，其中代理1、2和3分别喜欢()()、()()和（）（）。请注意，通过重新标记o b jects和，可以从o E中获得o b jects。由于该机制满足中立性，所以wemust有()，=()，uture{1,2,3}。但是如果我们比较一下D和F的话，只有3号探员改变了她的报告。通过上不变性，()3,=()3,==+===。因此，表7给出了Profile C的结果分配。Profile G（（））：假设代理2 mi S-在Profile C中用（）（）报告她的偏好。下不变性impl（）2,=()2,=/3。代理3不嫉妒代理2,（）3,=/3。所以（）1,=/3。设（）1,=。注意：[，].1 c a b2 b c a a3 b c aa b c/3 0/3/3/2/6/3/2/6表7：profirele cprofirele H（（））：最后，假设代理1通过下不变性将她的报告改为profireg中的（）（），()1,=()1,=()1,=-。但是，如果我们将这个profile与profile B进行比较，只有lyagent2的首选项发生了变化。策略证明性意味着t hat()2,=()2,=0。此外，代理2和代理3之间的无妒忌意味着()3,=()2,=0=yen()1,=1。So()2,=0=yen-=0=yen=。这与G的可行性必要条件相矛盾。情况1B:代理2和代理3更喜欢。在这种情况下，u nique free分配，代理1接收的对象具有p可保性，如表8所示。由于该机制是中性的，重新标记对象并引导我们回到Profigure B及其相应的赋值。在案例1A中，策略证明性和嫉妒自由性介于A和B之间，反过来意味着机制必须将相同的任务分配给A。我们现在可以使用案例1A来得出一个矛盾。1 A B c2 c B a3 c B aa B c1 1 0 02 0/2/23 0/2/2表8：c ase的证明1B案例2：代理2和代理3更喜欢不同的对象作为他们的首选。有八个证明满足这个条件。我们在表9中显示了其中的四个，其中代理2最喜欢object，而代理3更喜欢object。剩下的四个是对称的，与代理2和代理3的首选项交换。这些优点的论点与我们下面考虑的四种情况类似。优点I（（））：注意优点I是一个无争用的首选优点。因为()1，=1，所以代理2和代理3不会互相嫉妒，()2，=()3，=1。因此，我们得到了一个与定理3.1相矛盾的无争用的方法。profiiles J和K的参数是si milar到profiile i.1 a b c2 b a c3 c a b(a)profiile i 1 a b c2 b a c3 c b a b b profiile J1 a b c2 b c a 3 c a b c c a d profiile LTable 9：在情况（2）profiile L（（））中的四个偏好profiile：profiile L的赋值如表10所示。