基于策略和无嫉妒的房屋分配机制

如果代理2选择替代报告，策略证明性和嫉妒自由性意味着我们在情况1b中得到了profirele及其相应的ass排列，对此我们已经建立了acontradiction.1 a b c2 b c a3 c b aa b c1 1 0 02 0 1-3 0 1-表10：命题4.1的profired IC证明为了证明这个命题，我们需要对som e图进行初步的修改。设=(，，)是二部有向图。中的一组代理和一组对象是节点。对于每一个agent-object对，我们增加了agent与Object之间在mostone有向边上可能存在的限制。也就是说，如果(，)∈，那么(，)，G中的圈是一个有向边序列，(，)，(，)，....（,）这样的t hat=+1,1≤≤(-1)和=。设C是所有圈的集合。图上的一个图是一个函数:→r+，这样进入一个节点的总图必须等于离开该节点的图。从形式上看，p(，)∈(，)=p(，)∈(，)。我们现在已经准备好证明p Rosition.fix一个preference profile和l et=()。设为等分随机赋值矩阵。我们有，=，wallead和。让=-。请注意，这是一个零和矩阵，即每行和每列的和都为零的矩阵。此外，由于0≤、≤1、-1≤、≤-1。我们现在以以下方式构造一个图：对于每个∈and∈，如果>0，则从对象节点到代理节点添加一条有向边。相反，如果<0，那么我们从一个节点到另一个节点添加一个有向边。形式al ly,if,>0,th en（,）如果，<0,那么(，)∈.让我们将一个函数:→R+定义为：对于所有的∈and/，如果(，)∈，thenlet（,）=，.如果(，)∈，则设(，)=-,。该函数清楚地表示了图上的一个有效的cunow。根据流分解定理（Ahuja et al.，1988)，任何这样的一个ciNow都可以分解成一个围绕有向圈的ciNow和。即对所有(，)∈，(，)=x{∈C(，)∈}()，其中:C→R+。我们现在可以定义该函数。对于所有的，∈and，(，，)=p{∈C(，)∈and(，)∈}()(，)∈-p{∈C(，)∈and(，)∈}()(，)∈0另外，首先注意，wh enever(，)∈A对于某些∈and，我们有0≤(，)≤.因为()≥0，(，，)∈C，(，，)≥0，(，)∈.加法al-ly,（,）=x{∈C(，)∈and（,）∈}()≤x{∈C(，)∈}()=(，)≤.另一方面，当(，)∈，(，)=-Hx{∈C(，)∈and(，)∈}()i≥-Hx{∈C(，)∈}()i=-(，)≥-1结合上述两种情况的不等式，我们得到(，，)∈[-1,]。我们对所有人都感到欣慰(，）如此，且如此，(，()=X{∈C(，)∈}()=X∈\\{}X{∈C(，)∈and(，)∈}()=X∈\\{}(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)（,）类似地，对于所有（,）,使得（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,因此，我们证明了由传递函数诱导的机制是可行的，并且必须满足以下性质。为了方便起见，设=()是与profile相关联的任意赋值。1没有转移:(，，)=0,letule∈R和letule∈.为了矛盾，假定存在着∈R和∈(，，)≠0.考虑一个偏好profile=()∈vature=For∈.然而，通过definitionx∈，=x∈+x∈X≈(，，)=1+·(-1)·(，，)≈1，这就证明了随机分配的可行性。2平衡转移:p∈(，\'，)=0对于任意一对偏好，\'∈R.我们用矛盾的方法证明了这一点。假设存在一个pai r的偏好，\'∈r suchthatp∈(，\'，)≠0。

考虑一个首选项=(，-)，这样=和=\'代表≠。agent的总分配由x∈，=x∈+x∈X≠（,，)=1+x∈X≠（,\'，)=1+(-1)·x∈(，\'，)≠1给出，这与3反对称:(，\'，)=-(\'，，)对于任意p个偏好，\'∈R和+∈.我们再次以矛盾的方式进行。假设，\'∈R和∈(，\'，)≠-(\'，，)。让我们再次反对p引用profielle=(，-)，这样的t hat=和=\'代表≠。如果我们求和在所有方面被分配对象的概率y x∈，=x∈+x∈X≠（,，）=1+x≠（,，）+X≠X≠(，，）=1+x≠（,\'，)+x≠x∈\\{，}(，，)+x≈(，，)=1+x≠(，\'，)+x≠x∈\\{，}(\'，\'，)+x≠(\'，，)，因为它证明了在相同的偏好（性质(1))x∈，=1+x≠(，\'，)+x≠(\'，，)≠1之间有n o个转移，这导致了一个矛盾的4有界范围:(，\'，)∈[-(-1)，(-1)]对于任一，\'∈R和±∈.考虑一个首选项=(，-)，使得对于al l≠=和=\'。因为，≥0，我们有+x≠（,,）≥0+(-1)(，\'，)≥0='A(，\'，)≥-1(-1)交换与‘的角色，我们得到(\'，，)≥-1(-1)。因此，利用上述反对称性质，我们得到了（,‘,）=-(\',,）≤(-1).E.来自Secti关于4.2引理E.1的证明。假设=h，，....,我。如果是策略证明，那么对于所有的\'，\'\'∈R和∈[]，p=1(，\'\'，)≥p=1(\'，\'\'，).证明。我们证明了对位。假定存在\'，\'\'∈R和某个∈[]，这样p=1(，\'，)<p=1(\'，\'，)。考虑这样一个问题，即=对于某些事物来说是存在的，而=\'\'对于al l≠。让‘成为优先选项，其中li代理es并报告\'=\'而所有其他代理继续报告\'\'如in。Let=()和\'=(\')。我们知道，x=1，=+x≠x=1(，，)=+x≠x=1(，\'，)=+(-1)·x=1(，\'，)<+(-1)·x=1(\'，\'，)=+x≠x=1(\'，，)=x=1\'，因此不是策略证明的。引理E.2。Mechanici sm是策略证明的当且仅当传递函数满足以下两个性质1。发送方不变性：如果\'=h，，..，i和\'\'是这样的(\'\'，)=(\'，)=there≤，那么，vere∈R，(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)。类似地，如果(\'\'，)=(\'，)=the(，\'，)=(，\'，).2。交换单调性：对于所有的，\'∈R和\'\'ε(\')和\'but\'\'，对于一些，∈，我们有(\'，，)≥(\'，，).证明。从引理2.1和defections中得出传递函数的交换不变性和发送方不变性蕴涵了策略证明性，对于引理的必要性部分，我们认为策略证明性蕴涵了发送方不变性。设\'=h，，...,i,\'\'be su ch th at(\'，)=(\'\'，)，the the at(\'，)=(\'\'，)，the the the at(\'，)，the the the the at(\'，)，the the the the at(\')，the the the the anyany∈R.在一个preference profection,where=\'对于某些agent来说，和=对于所有的h agent来说，the the the at(\'，)=(\'\'，)，the the the the at(\'，)，the the the the at(\'，)，the the the the at(\'，)，the the theLet=（）和(\',-)=(\',-）。我们有，-1x=1,=-1x=1(\',-)，=yen-1+(-1)-1x=1(\',，)=-1+(-1)-1x=1(\'\',，)(1)和x=1，=x=1(\',，)=+(-1)x=1(\',，)=+(-1)x=1(\',，)(2)方程（1）和（2）我告诉你(\'，，)=(\'，，)。由于Satis证明了反对称性，我们得到了我们所希望的结果(，\'，)=(，\'，)。其次，如果传递函数不是交换单调的，那么这里的t存在\'∈R，我们可以假定它为\'=H，，....

，i，\'\'∑(\')使得\'+1但是+1\'\'对于某个∈[]和∈R，使得(\'，，)<(\'，，)。在preferenceProfile中，其中=\'对于某个agent，=对于所有其他agent∈\\{}，如果agent选择偏离并报告\'=\'\'，我们有=+(-1)(\',，)<+(-1)(\'\',，)=(\'，-)，这意味着m机制不是交换单调的，因此不是策略证明的。引理E.3。设=h，，.我是一个任意的偏好关系，并且使(\'，)=(，)=there≤.如果没有嫉妒，那么(，\'，)=0。类似地，如果\'suchthat(\'，)=(，)=that，(，\'，)=that，(，\'，)=0。证明。设=h，，...,I和‘是这样的(，)=(\'，)。考虑apreference profirele where=for某些代理，=\'for所有其他代理∈\\{}。为了使agent不嫉妒任何其他agent∈\\{}，必须对agent的top-1和top对象进行相同的分配，因为(，)=(，)≤，.即，-1x=1,=-1x=1,其中，通过命题4.2的no转移性质，(\'，\'，)=0表示，(\'，\'，)=0表示，-1x=1(，\'，)=0类似地，我们得到，x=1(，\'，)=1(，\'，)=1(，\'，)=1(，\'，)=1(，\'，)。\'，)=0=§(，\'，)=0引理i的第二个p艺术的参数与上面的引理对称。引理E.4。设=h，，.我是一个任意的偏好关系。如果是无嫉妒的，则对于所有\'∈R，对于一个ll∈[]，p=1(，\'，)≥0。证明。考虑这样一个偏好，即=for so me agent和=\'for all agent∈\\{}。通过无嫉妒，代理为她的顶级对象接收的分配至少与任何其他代理接收的分配相同。也就是说，x=1,≥x=1,=≈+(-1)·x=1(，\'，)≥+x=1(\',，)+(-2)·x=1(\',\'，)=x=1(，\'，)≥0，其中最后一个不等式来自于无转移和反对称性质。从对交换机制的认识可以看出，机制是中性的，当且仅当函数是中性的，即它具有性质(1)，我们现在继续说明接收器不变性性质（2）是必要的。假设我们有=h，，..，i和“and”使得(\'，)=(\'\'，)≤，但是(，\'，)≠(，\'，)。在不丧失一般性的情况下，设(，\'，)<(，\'，)。固定一个代理人。现在考虑一个p参考profielle=(，-)，其中=和=\'，the≠。L et:→是这样的排列(\'\')=\'。注意sin ce(\',）=(\'\',）there≤，we ave()=there≤.让\'=()是在使用中重新标记对象的首选。请注意，在AND和‘中，我们将有(，)=(\',）there≤.因为satis是中立性，(，\'，)=(()，(\')，(\')，())=(\'，\'，)，这与假设(，\'，)>(，\'，)=(，\'，)意味着(\'，\'，)>(，\'，)。现在，从这里开始，假设代理选择将她的偏好坚定地报告为‘。设\'=(\',-）为resul。由于该机制是策略证明，p-1=1,=p-1=1\',。当agent报告其真实偏好时，其被分配ob ject的概率y是，=+X≠（,,）=+(-1)·(,‘,）上面的第二个相等式来自于我们的profirele的构造，其中=\'thal≠。Ifagent报告\'we have\'，=+x≠(\',，)=+(-1)·(\',‘,)>+(-1)·(，\'，)=，这导致了一个矛盾。

接收者不变性性质的第二部分的证明对称地遵循定理4.10的基情形的证明，对于基情形，设=3和={，,}。由于是中性的，我们将设=H,i。R中有六个首选项。我们在表11中列出了这些首选项和带有eachof t hem的传递函数。通过接收器不变性，我们知道对于ob ject和dulf\'，\'\'∈R(\'，)=(\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)let=(，\'，)是当(\'，)=时的传递。通过同样的适当的ty，我们还得到了对于对象和我们的“,”，\'\'∈R(\',）=(\'\'，)=((，\'，)=(，\'，)=)是当(\'，)=.通过对象的发送方不变性性质，如果(\'，)=(\'，)=1或(\'，)=(\'，)=3，then(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)的传输。让=（,‘,）当(\',）=for：{1,3}。当(\',）=(\'\',）=2.sincep∈(，\'，）=，我们有vex∈(，这意味着当(\'，)=(\'，)=(\'，)=(\'，)=2，(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)=(，\'，)，(，\'，)=(，\'，)，H,，I H,，I H,，I H,，I H,，I H,，I H,，I H,，I H,，I H,，I H,，I H,，I H表11:=3h的传递函数4.14命题的证明让我们来证明简单的方向。如果存在一个函数，它是(，\'，)=((，)，(\'，))，那么对于任意两个首选项来说，它是(\'，)=(\'，)=，我们有(，\'，)=((，)，)=(，\'，)。对于另一个方向，设*是一个任意的p引用关系，设*=h，，....我不失一般性。我们定义一个函数:[]×[]→[-1,1]如下(，)=(*,，)，其中是一个任意的偏好，使得(，)=.注意，这个函数是很好地定义的，因为对于任何具有(\',)=的其他偏好关系来说，我们有(*,，)=(*,\'，)。现在考虑任何t wo首选项和\'andan ob ject∈.Suppo se(，)=P.设为一个置换，使得…=()，而definne~=(\')。根据我们的认识，我们有(~，0)=(\',）。由于这个函数是中性的，所以我们有(，\'，)=(*,~，\\，\\)=(\\，(~，\\，\\))=((，)，(\'，\\))I对定理4.16的证明，我们观察到引理4.9，定理4。10、命题4.14和定理4.15一起暗示了向量∈R的存在性，使得(，\'，)=[(，)]-[(\'，)]。向量上的附加约束来自于性质（4）命题4.2和机制的策略证明。如果没有对向量进行排序，很容易发现一个违反该机制的策略证明性的代码。需要[0，(-1)]与[0]的约束来确保(，\'，)∈[-(-1)，(-1)]。我们现在证明具有上述支持条件的向量是保证机制是中立的、策略证明的和无嫉妒的。首先，为了证明该机制是一个可行的随机分配机制，我们观察到，在任何一个p中，我们有:=+p≠([(，)]-[(，)])。但是由于对于任何，，我们有[]-[]∈[-1(-1)，(-1)]，这意味着th在，∈[0,1]。

任意agent在所有对象上的to tal分配由x∈，=x∈+x∈X≠([(，）]-[(，）])=1+x≠(x∈[(，[(，)]]-x∈[(，)])=1类似地，所有agents上的总分配o f a o bject∈=x∈，=x∈+x∈X≠([(，)]-[(，)])=1+x∈((-1)·[(，)]-x≠[(，)]=1+(-1)·x∈[(，)]-x∈X≠[(，)]==1+(-1)·x∈[(，)]-x∈X≠[(，)]=1+(-1)·x∈[(，)]-(-1)·x∈[(，)]=1.因此，e赋值是双重随机的，因而m机制是可行的。由于函数是中性的，所以机械性是中性的。最后，我们证明了该机制也是策略证明和嫉妒自由的。考虑两个代理人\'∈.和任何偏好。设在没有损失的情况下将y推广为=h，....,我。对于任意[]，让我们考虑agent和agent偏好的顶部对象所获得的总分配。我们有如下条件:x≤，=+x∈\\{}x≤([]-[(，)])=+x∈\\{，\'}x≤([]-[(，)])+x≤([]-[(\'，)])然而，对于任何一个agent\'，p≤[]≥p≤[(\'，)]向量是排序的，因此我们有≥+x∈\\{，\'}x≤([])](\'，)]-[(，)])+x≤([(\'，)]-[])=x≤\'，并且该机制是没有嫉妒的。为了显示策略证明性，考虑一个profile=(，-)和another profile=(\'，-)，其中agent错误地报告了h er偏好。设=()和\'=(\')表示由m机制得到的对应的grandom赋值。又由于向量是排序的，所以对于任何一个，我们有p≤[]≥p≤[(\'，)]，因此我们有≥+x∈{}x≤([(\'，)]]-[(，)])=x≤\'，因此对任何一个agent来说，说真话是一种主要的策略，其机制是策略证明的。定理4.17的J证明RST证明上述条件是su-cient，以保证F类内的pareto-e-cient.假设存在一个向量，其中存在机制占优势的向量[0,(-1)]，我们认为任何这样的向量必须是sati sfy[]≤[]，[]].的确，SInce[1]≤(-1)=[1]，当r=1时，这一主张是真的。对于任何>1，请考虑代理1的首选项=h，，...,i,而所有其他代理在它们的偏好中都有对象，即(，)=，the。设1,1和1,1分别表示代理1在机制中为对象接收的分配。我们有，1，1=+x≠([1]-[])=+(-1)([1]-[])≤1，1+(-1)([]-[])我们的屁股占主导地位意味着1，1≥1，1，因此我们有[]≥[]，±[](3)另一方面，我们也可以显示t hat[]≥[]，±[]。因为[]=0，所以这个istr对于=是真的。对于任何<，请考虑代理1具有首选项=h，，.当所有的代理人都在他们所偏好的位置上有对象时，即。(，)=，(·)≠。设1和1分别表示agent 1在机制中接收到的Object分配。我们有，1，=+x≠([]-[])=+(-1)([]-[])≤1，+(-1)([]-[])我们占主导地位的ass umption意味着1，≤1，因此我们有[]≤[]，(4)不等式（3）和（4）一起意味着[]=[]，(+])[]，(+)是一个矛盾，因为我们有u，u，[]]，我们接下来证明[1]=(-1)对于在以下族中的pareto-e cency是必需的机制F。我们证明了该陈述的对位性。假定[1]<(-1).设∈[0,(-1)]为[1]=(-1)和[]=[]对于[]\\1}。对于profoyle∈R，设=()和=()。在不失一般性的情况下，设=h，....,我。

对于任一点[]，让我们考虑agent对其顶部o点的总分配。x≤，=+x∈\\{}x≤([]-[(，)])注意，如果（,）=1对一个agent来说，所以me≤，th enp≤([]-[(，)])=p≤([]-[(，)])。另一方面，如果（,）对任意agent来说≠1且全部≤，则p≤([]-([(，)])<p≤([]-[(，)])。因此，x≤，≤+x∈\\{}x≤([]-[(，)])=x≤，进一步，上述不等式在任何条件下都是严格的，当存在一个agent具有（,1)≠（,1）和=1时，该不等式是严格的，主宰。