从预测误差中学习：预测组合的一种新方法

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摘要翻译：
预报员经常使用常见的信息，因此会犯常见的错误。我们提出了一种新的方法，因子图形模型(FGM)来预测组合，将特殊的预测误差与常见的预测误差分开。FGM充分利用了预测误差的因子结构和特征误差的精度矩阵的稀疏性。我们证明了FGM估计的预测组合权值与均方预测误差的一致性，并通过大量仿真验证了结果的正确性。在宏观经济序列预测中的实证应用表明，在不考虑预测误差因素结构的情况下，使用FGM的预测组合优于使用等权重和图形模型的组合预测。
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英文标题：
《Learning from Forecast Errors: A New Approach to Forecast Combinations》
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作者：
Tae-Hwy Lee and Ekaterina Seregina
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最新提交年份：
2021
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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英文摘要：
  Forecasters often use common information and hence make common mistakes. We propose a new approach, Factor Graphical Model (FGM), to forecast combinations that separates idiosyncratic forecast errors from the common errors. FGM exploits the factor structure of forecast errors and the sparsity of the precision matrix of the idiosyncratic errors. We prove the consistency of forecast combination weights and mean squared forecast error estimated using FGM, supporting the results with extensive simulations. Empirical applications to forecasting macroeconomic series shows that forecast combination using FGM outperforms combined forecasts using equal weights and graphical models without incorporating factor structure of forecast errors.
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PDF下载：
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2022-4-16 11:26:59 上传

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关键词：预测误差 新方法 econometrics Combinations Applications

从预报错误中学习：预报组合的一种新方法Stae-Hwy Lee*和Ekaterina Seregina@42.021抽象预报员经常使用共同的信息，因此会犯共同的错误。我们提出了一种新的方法，因子图形模型(FGM)来预测组合，将特殊的预测误差和常见的误差分开。FGM利用了非重铸误差的因子结构和特质误差的精度矩阵的稀疏性。本文证明了FGM预测组合权重和预测误差估计的一致性，并通过大量仿真验证了结果的正确性。在宏观经济序列预测中的实证应用表明，在不考虑因素结构的前提下，采用FGM组合预测的效果优于采用等权重和图形模型的组合预测。关键词：高维度；近似因子模型；图形套索；逐点回归；精密矩阵；SparsityJEL类别:C13、C38、C55*加州大学河滨分校经济系。电邮:tae.lee@ucr.edu.é加州大学河滨分校经济系。电子邮件:ekaterina.seregina@email.ucr.edu.1引言寻找最佳预测组合一直是经济学中一个重要的研究问题。Clemen(1989)指出，组合预测是“实用的、经济的和有用的”。许多实证检验都证明了复合预测的价值。我们不再需要为这种方法辩护“。然而，正如Diebold和Shin(2019)所表明的那样，仍然存在一些悬而未决的问题。尽管基于理论基础进行了调整，但均衡加权预测出人意料地被证明是不可战胜的。许多寻求最佳预测组合的方法都使用等权值作为基准：例如，Diebold和Shin(2019)开发了“部分平等主义套索”。等权值的成功部分是因为预报员使用相同的公共信息进行预测，因此他们往往会犯常见的错误。例如，在欧洲央行对欧元区实际GDP增长专业预测者的调查中，预测者往往会共同低估或高估GDP增长。因此，我们规定预测误差包括共性成分和特殊性成分，使得预测误差由于共性成分而一起移动。本文给出了一个简单的分析预报误差的框架：我们从一般误差中分离出独特的误差，以提高组合预报的精度。最优预测组合权重的表达式可以追溯到Bates和Granger(1969)，它需要一个逆协方差（精度）矩阵的估计量。Graphicalmodels是直接估计精度矩阵的有力工具，避免了求取协方差矩阵的估计量进行反演的步骤。图形模型的突出例子包括图形套索（Friedman et al.(2008))和nodewise回归（Meinshausen and Béuhlmann(2006))。尽管在估计精度矩阵时采用了多种策略，但所有的图形模型都假定精度矩阵是稀疏的：精度矩阵的许多项为零，这是一致估计逆协方差的必要条件。我们的论文证明了这样的假设与专家倾向于犯共同错误的程式化事实相矛盾，因此预测误差通过共同因素一起移动。本文克服了因子结构下图解模型不能恢复精度矩阵熵的缺点，提出了一种新的因子结构下预测误差的精度矩阵估计方法。我们的算法采用因子图形模型。

我们先用因子模型估计预报误差的一个特性分量，然后用图形模型（图形套索或nodewiseregression）估计特性分量的精度矩阵。在已知因子和假定载荷为常数的情况下，有少数文献在特定的上下文中用图形模型估计特性分量的协方差矩阵。布朗利等人。（2018）估计高频数据的稀疏协方差矩阵，并构造实现的网络。巴里戈齐等人。（2018）开发了基于高斯图形模型的幂律偏相关网络。Koike(2020)利用加权图形套索方法，对高频数据中具有可观测因子的因子模型的特征成分的稀疏协方差矩阵进行了估计。首先，由于预测者倾向于共同低估或高估所感兴趣的预测序列这一程式化事实的共同成分，我们允许预测误差高度相关。其次，在近似因子模型的基础上，提出了一种高维精度矩阵估计方法，该方法结合了因子结构的优点和预测组合特征分量精度矩阵的稀疏性。利用因子图解模型，证明了预测组合权重与预测误差估计的一致性。第三，在大数据环境下对宏观经济序列进行预测的实证研究表明，将预测误差的因子结构引入到图形模型中，较等权重预测组合和有外因子的图形模型提高了组合预测的性能。论文的结构如下：第二节回顾了图形拉索法和节点回归法。第三节研究了预测组合的近似因子模型。第4节介绍了因素图形模型，并讨论了调谐参数的选择。第5节包含理论结果，第6节通过仿真验证这些结果。第七节研究宏观经济时间序列的实证应用。第8节总结，第9节收集定理的证明。为了方便读者，我们总结了全文所要使用的符号。设Spc表示所有p×p对称矩阵的集合。对于任何矩阵C，其第（i,j）个元素表示为Cij。给出一个向量u∈RD，一个参数a∈[1,∞)，设kukadenote`a-范数。给出一个矩阵u∈Sp，设λmax(u)λ(u)≥λ(u)≥..≥λmin(U)λp(U)是U的特征值，给定矩阵U∈Rp×p，参数a,b∈[1,∞)，设Ua,bmaxkyka=1kuykb，表示导出的矩阵算子范数。特例为:umax1≤j≤pppi=1ui，j为`/`-算子范数；算子范数(`-矩阵范数）umax(UU)等于u的最大奇异值。最后，kuk∞maxi,jui,j表示元素极大值。2预测误差的图形模型本节回顾了一类寻找精度矩阵估计量的模型，称为图形模型。在图形模型中，每个顶点代表一个随机变量，图形可视化整个随机变量集的联合分布。稀疏图的边数相对较少。假设我们对一元序列yt，t=1有p个竞争预测。...,T.设ET=(e1t,...,ept)→N(0,∑)为预测误差的p×1向量。假设它们遵循高斯分布。精度矩阵∑-1∑θ包含有关变量之间部分协方差的信息。例如，如果θij是精度矩阵的第ij个元素，为零，那么变量i和j在给定其他变量的情况下是条件独立的。

给定样本{et}tt=1,设S=(1/t)ptt=1(et)(et)表示这些协方差矩阵，它可以作为W的一个选择。我们可以写下高斯对数似然（直到常数）l(θ)=log det(θ)-迹(wθ)。当w=S时，最大似然估计量θisbθ=s-1。在高维情况下，需要对精度矩阵进行正则化，这意味着某些边为零。在下面的小节中，我们讨论两种最广泛使用的估计稀疏高维精度矩阵的技术。2.1在精度矩阵估计中引入稀疏性的方法是在最大似然中添加penalty，并使用精度矩阵和回归矩阵之间的联系来最大化以下加权惩罚对数似然（Jankov a和van de Geer(2018)):bθλ=arg minθ=θ迹(wθ)-log det(θ)+λxi6=jbdiibdjjθij，(2.1)上的正反对称矩阵，其中λ≥0是惩罚参数。下标λinbθλ意味着（2.1）中优化问题的解将取决于调谐参数的选择。关于后者的更多细节在4.1小节中提供，该小节描述了在实践中如何选择收缩强度。为了简化表示法，我们将省略subscript。Friedman等人提出的解决（2.1）中优化问题的最流行和最快的算法之一称为图形套索(GLASSO)，它是由Friedman等人提出的。（2008年）。对W、S和θ进行以下划分:W=W{z}(p-1)×(p-1)W{z}(p-1)×1WW,S=S{z}(p-1)×(p-1)S{z}(p-1)×1SS,θ=θ{z}(p-1)×(p-1)θ{z}(p-1)×1θθ。（2.2）设β-θ/θ。GLASSO的思想是将W=S+λi设于（2.1）中，并将（2.1）的梯度与分块逆公式相结合，得到如下`-正则化二次规划bβ=arg minβ∈Rp-1nβWβ-βS+λKβKo,(2.3)。(2008)，(2.3)可以看作是LASSO回归，其中LASSO估计是Wand S内积的函数。因此，(2.1)等价于pcouped LASSO问题。一旦我们得到Bβ，我们就可以用分块逆公式估计条目θ。算法1中总结了GLASSO过程。算法1图形套索（Friedman et al.(2008))1:初始化W=S+λi。W的对角线保持不变。2:j=1重复。..,p,1,....,p....直到收敛:o将W分为第1部分：除第j行和第j列以外的所有部分；第2部分：第j行和第j列。o使用循环坐标下降法求解得分方程:Wβ-s+λ·符号(β)=0。这给出了(p-1)×1向量解bβ.oUpdateBw=wbβ.3:在第1循环中（对于i=1,...,p）求解bθ=w-bβbw,bθ=-bθbβ。如Friedman等人所示。(2008)，算法1产生的估计量被保证为正解。此外，Jankov\'a和van de Geer(2018)证明了算法1在一定的稀疏条件下保证收敛并产生精度矩阵的一致估计量。2.2逐步回归方程（2.1）中的精度矩阵估计稀疏性的另一种方法是通过线性回归一次一列地求解bθ,当我们对每个变量j=1重复这个过程时，用它们的样本对应矩S代替总体矩。.我们将用{et}tt=1通过p线性回归逐列估计bθ的元素。Meinshausenand Béuhlmann(2006)使用这种方法（我们将称之为MB)，将稀疏性纳入精度矩阵的估计。他们不是把p个耦合的套索问题作为inGLASSO来运行，而是用p个独立的套索回归，每个变量（节点）作为响应，其他变量作为预测器来估计bθ。这种方法被称为“Nodewise”回归，下面根据van de Geer等人回顾了itis。（2014年）和卡洛特等人

（2019）.设ejbe为第j个回归子的T×1观测值向量，其馀协变量归为T×p矩阵E-J。对于每个j=1，。我们运行以下拉索回归:bγj=arg minγ∈rp-1kej-e-jγk/t+2λjkγk,(2.4)其中bγj={bγj,k；j=1,...,p,k6=j}是估计回归coe的(p-1)×1向量，该向量将用于构造精度矩阵bθ的估计。bc=1-Bγ1,2···-Bγ1,p-Bγ2,11···-Bγ2,P.........-Bγp,1-Bγp,2···1。（2.5）对于j=1，。..,p,definneτj=kej-e-jbγjk/t+λjkbγjk(2.6)和writeBt=diag(τ,...,τp)。（2.7）近似逆为ASBθλJ=Bt-2bc。（2.8）与GLASSO相似，下标λjinbθλj，意味着估计的θ将取决于调谐参数的回声：更多的细节将在4.1小节中提供，它讨论了如何在实践中选择收缩强度。省略下标以简化符号。算法2.算法2.Meinshausen和Béuhlmann(2006)(MB)1:j=1重复。..,p:oEstimateBγjusing（2.4）对于给定的λj.o选择λjusing一个合适的信息标准（有关可能的选项，请参见4.1节）。2：CalculatebC and Bt.3:returnBθ=Bt-2Bc。使用MB方法时要记住的一个警告是（2.8）中的估计量不是自伴随的。卡洛特等人。（2019）表明（见他们的引理A.1)在(2.8)中的Bθ是正的概率很高，然而，在捕集物样本中Bθ不是正的概率仍然可能发生。在这种情况下，我们使用Fan等人的矩阵对称化过程。（2018年），然后像卡洛特等人一样使用清洁。（2017）和Hautsch等人（2012）。3预测误差的近似因子模型Chan等人考虑了预测的近似因子模型。（1999）。他们将单个时间序列的一组事前预报建模为动态因子模型，发现当所有预报都具有相同的信息集（直到滞后时间）时，组合预报比单个预报更好。这一结果强调了预测组合的优点，即使单个预测不是基于直接信息，因此不会扩大任何一个预测者所使用的信息集。在本文中，我们感兴趣的是在预测均方误差方面获得最佳样本外性能的预测组合。我们声称，预报员使用相同的公共信息进行预测，因此他们往往犯常见的错误。图1说明了这一说法：它显示了欧洲央行对专业预测者的调查所产生的1999年第三季度至2019第三季度欧元区实际GDP增长的季度预测。正如Diebold and Shin(2019)所述，预测是在最新可得结果之前一年征求的：例如，2007Q1调查要求受访者预测2006Q3至2007Q3的GDP增长。如图1所示，预测者倾向于共同低估或夸大GDP增长，这意味着他们的预测误差包括共性和特殊性。因此，我们可以通过因子分解来模拟预测误差一起移动的趋势。回想一下，我们有一个单变量序列yt,t=1的p个竞争预测。.T和ET=(e1t,...,ept)→N(0,∑)是预测误差的p×1向量。假定预报误差的产生过程遵循一个q因子模型：et{z}p×1=B ft{z}q×1+εt,t=1,。.T(3.1)其中，ft=(f1t,...,fqt)是p模型预测误差的公因子，B是因子负荷的p×q矩阵，ε是不能用这些因子解释的特殊成分。

不可观测因子ft和载荷B通常用主成分分析(PCA)来估计，这是Bai(2003)研究的；Bai and Ng(2002)；康纳和Korajczyk(1988)；斯托克与沃森（2002）。严格因子结构假定特异预测误差项εt彼此不相关，而近似因子结构允许特异分量相关（Chamberlain和Rothschild(1983))，我们使用以下符号:E[εtεt]=∑ε,E[ftft]=∑f,E[etet]=∑=b∑Fb+∑ε,和E[εTFT]=0。设θ=∑-1、θε=∑-1ε和θF=∑-1FBE分别是预报误差、特殊分量和公共分量的精度矩阵。从（3.1）中恢复因子和负荷的目标函数是:minf，...，fT，bttxt=1(Et-bft)(Et-bft)(3.2)s.t。BB=Iq，(3.3)，其中（3.3）是对因子进行唯一识别所必需的假设。固定了b的值，我们就可以在b所跨越的空间中投射预测误差：ft=(BB)-1 bet=bet。当与（3.2）结合时，这产生了一个集中的目标函数b：maxbtrhb ttxt=1etetbi。（3.4）众所周知（参见Stock和Watson(2002)等人），从q-q-Egenvectors中估计出ttpt=1etitis的解（3.4）。给定估计残差{bεt=et-bbbft}tt=1和估计因子{bft}tt=1的样本，letb∑ε=(1/t)ptt=1bεtbεtandb∑f=(1/t)pt=1bftbftbt是协方差矩阵的样本对应物。...,T.预测组合如下所示:byct=wbyt(3.5)，其中w是权重的p×1向量。定义风险度量MSFE(w,∑)=w∑w。如inBates和Granger(1969)所示，最优预测组合使组合预测误差的方差最小:minwMSFE=minwehwetWi=minww∑w,s.t。wóp=1,（3.6）其中πp1是1的p×1向量。对（3.6）的解得到了最优预测组合权重的p×1向量:w=θlplpθlp。（3.7）如果真精度矩阵已知，则方程（3.7）保证产生最优预测组合。在现实中，人们必须估计θ。因此，估计误差会影响预测的样本外性能。正如Smith和Wallis(2009)所指出的，当考虑权重估计的不确定性时，不能保证“最优”预测组合会优于等权重预测，甚至改善单个预测。definitne a=pθp/p，而ba=pbθp/p。我们可以编写MSFE（bw,B∑)MSFE（w,∑)-1=a-1 a-1-1=a-a a,（3.8）和KBW-WK≤AK（Bθ-θ）PKP+a-BaKθPKPBAA。（3.9）因此，为了控制MSFE和组合权值中的估计不确定性，需要获得精度矩阵θ的一致估计量。在5.2小节和定理1和2.4中讨论了预测误差的因子图形模型。由于我们的兴趣在于构造预测组合的权重，我们的目标是估计预测误差的精度矩阵。然而，正如Koike(2020)所指出的，当公共因子存在于预测误差中时，精度矩阵不可能是稀疏的，因为所有预测误差对通过公共因子与其他预测误差部分相关。为了说明这一点，我们生成了后面(3.1)q=2和εtεN(0,∑ε)的预测误差，其中σε，ij=0.4i-j是∑ε的第i,j元素。因子向量ftis取自N(0,iq/10),预测误差j=1的因子负荷矩阵项。.。，p，bj，从n(0，iq/100)中提取。满载矩阵由B=(B，..，bp)给出。设bq表示主成分分析估计的offactor的数目。

我们设(T，p)=(1000,50）并绘制预测误差等总体偏相关的热图和直方图，它们是精度矩阵infigure2的项。我们现在检验在因子结构下估计部分相关性的图形模型的性能。图3显示了GLASSO估计的部分相关性，它没有考虑因素：由于图形模型的严格稀疏性，几乎所有的部分相关性都缩小到零，这使得图3中的直方图退化。这意味着经典图形模型（如GLASSO和算法1-2中的Nodewise回归）对θ的强稀疏性假设在因子结构下是不现实的。为了避免上述问题，我们不再对预报误差的精度θ强加稀疏性假设，而是要求特殊误差的精度矩阵θε具有稀疏性。后者是使用去除由因素引起的共同运动后的估计残差获得的（见Barigozzi等人（2018）；Brownlees等人（2018）；Koike(2020))。当然，在公共分量的条件下，假定ε斜率的许多剩余部分相关性可以忽略不计，因而θε是稀疏的。我们使用加权图形套索和节点回归作为收缩技术来估计残差的精度矩阵。当得到低阶分量的精度后，我们用Sherman-Morrison-Woodbury公式估计预报误差的精度:θ=θε-θεb[θf+bθεb]-1bθε。（4.1）为了得到BθF=B∑-1F，我们使用B∑F=TPTT=1BFTBFT。为了得到bθε，我们发展了两种方法：一是采用加权GLASSO算法1，其特征误差协方差矩阵的初始估计为ASB∑ε=TPTT=1BεTBεT，其中BεT=ET-BBBFT。第二种方法使用nodewiseregression并应用算法2 tobεt。一旦我们估计了bθfandbθε，我们就可以用（4.1）的asample模拟得到bθ。我们将所提出的过程称为因子图形套索和因子节点回归，并分别在算法3和算法4中进行总结。算法3因子图形套索（因子GLASSO)1:使用PCA估计因子bft和因子负载bB。得到B∑F=TPTT=1BFTBFT,BθF=B∑-1F,BεT=ET-BBBFT,B∑ε=TPTT=1BεTBεT。2：用加权图形套索in（2.1）估计稀疏的θε，其初始化为Wε=B∑ε+λi:Bθε,λ=arg minθε=θε迹(Wεθε)-log det(θε)+λXi6=JBDε，IIBDε，JJθε，ij。（4.2）求Bθε.3:用BθFFROM步骤1和步骤2中的Bθε用（4.1）中的Herman-Morrison-Woodbury公式的样本对应物来估计θ:Bθ=Bθε-BθεBb[Bθf+BBbθεBb]-1BBbθε。（4.3）算法4因子nodewise回归Meinshausen和Béuhlmann(2006)（因子MB)1:使用PCA估计因子bft和因子负载bB。得到b∑f=tpt=1bftbft,bθf=b∑-1f,和bεT=et-bbbft.2：使用节点回归估计稀疏的θε：letbεjbe是第j个回归子的观测量的T×1向量，而bji是收集剩余协变量的T×p矩阵。对bεt:bγε,j=arg minγεεrp-1bεj-bTM-jγε/t+2λjkγεk,（4.4）进行lassorgression(2.4)得到bθε.3:使用bθffrom步骤1和步骤2中的bθε，使用Herman-Morrison-Woodbury公式（4.1）中的样本对应物来估计θ:bθ=bθε-bθεbb[bθf+bbbθεbb]-1bbbθε。（4.5）注意，算法3和4涉及调整参数λ和λj，如何选择收缩强度coe-cients的过程将在4.1小节中更详细地描述，该小节描述了如何在实践中选择收缩强度，第5小节建立了保证(4.2)、(4.3)、(4.4)和（4.5）收敛的稀疏性要求。我们可以用bθ来估计预测组合权重bwbw=bθlplpbθlp，(4.6)，其中bθ是从算法3或算法4中获得的。

现在让我们重温本节开始时的激励例子：图4-6描绘了当使用算法3中的因子GLASSO计算精度矩阵时的热图和估计的部分相关性，其中bq∈{1,2,3}统计因子。热图和直方图非常类似于图2中的人口对应图，这表明，在算法3-4中使用经典图形模型和因子结构的组合，改进了经典图形模型的性能：我们的方法允许提取由因子模型捕获的预测误差中的常见移动建模的优点，以及使用许多相互竞争的预测模型的优点，这些预测模型产生了由图形模型捕获的高维精度矩阵。4.1 FGMAlgorithms 3-4的调整参数的选择分别需要调整参数λ（来自算法1）和λj（来自算法2）。我们现在评论了两个调谐参数的选择，为了激励GLASSO和GLASSO因子的调谐参数的选择，我们将讨论一些现有的选择，以激励我们在模拟和经验应用中选择λ(2.1)。通常，λ是从一个值fλ=(λmin，..，λmax)的网格中选择的，其中最小化了衡量产品优劣的分数。一些流行的例子包括多重交叉验证(CV)、正则化选择的稳定性方法(STARS，Liu et al.(2010))，以及扩展的贝叶斯信息准则(EBIC，Foygel和Drton(2010))。由于要估计一个稀疏的高维精度矩阵，需要选择一种在高维上一致的调谐参数的选择方法。Meinshausen和Béuhlmann(2010)认为CV在高维数据中表现不佳，它超越了（Liu et al.(2010))，而且它没有一致地选择模型。Zhu和Cribben(2018)指出，恒星不是计算上的。它在一定条件下是一致的，但在估计高斯图形模型时，它避免了过度选择的问题。与此相反，EBIC是ComputationAllye-Cient，被认为是为无向图选择调优参数的最先进技术。度量EBIC优度的分数可以写成:λEBIC=arg minλ∈Fλ{-2l(θε,λ)+log(T)df(θε,λ)+4df(θε,λ)log(p)η}，(4.7)其中η∈[0,1],θε,λ是对调谐参数λ∈Fλ估计的精度矩阵，其似然为l(θε,λ)=log det(θε,λ)-迹(Wεθε)。对于图形模型的估计，通常将自由度定义为估计精度矩阵中唯一非零元素的个数，df(θε,λ)=pi≤jiθε,λ,i,j6=0。Chen和Chen(2008)表明，当η=1时，只要维数p不随样本尺寸指数增长，EBIC是一致的。因此，在我们的模拟和经验练习中，我们在算法1和算法3中对GLASSO和因子GLASSO使用了η=1的EBIC。对于算法2和算法4，我们遵循Callot等人的方法。（2019）通过最小化广义信息准则(GIC)选择λjin(2.4)。设Bsj(λj)表示向量Bγε中的非零参数的估计个数，J:GIC(λj)=log bεj-b§-jγε/T+Bsj(λj)log(p)Tlog(log(T))。（4.8）正如Callot等人指出的。(2019)，GIC在p>T和p≤T时选择概率接近1的真模型，并引入了一些术语和符号。设A∈SP。将以下集合修改为J=1。..,p:dj(A){i:aij6=0,i6=j},dj(A)card(dj(A)),d(A)maxj=1,...,pdj(A)，(5.1)其中dj(A)是与顶点j相邻的边数（即顶点j的度）,d(A)度量最大顶点度。

definne S(A)spj=1dj(A)是总的对角稀疏性模式，而S(A)ppj=1dj(A)是图中包含的边的总数。注意，卡(S(A))≤S(A):当S(A)=p(p-1)/2时，这将给出一个全连通图。对于（4.4）中的节点回归，表示dj{k；γj,k6=0}是行γj的活动集，设djdj。5.1假设我们现在列出模型(3.1):(a.1)（尖峰协方差模型）的假设为p→∞,λ(∑)>λ(∑)+。.>λq(∑)λq+1(∑)≥..≥λp(∑)>0,其中对于j≤q,λj(∑)=O(p),而非尖峰特征值是有界的，对于j>q,λj(∑)=O(p)。我们进一步要求λ(∑)是一致有界的。(a.2)（普适因子）存在一个正解q×q矩阵B，使得p-1bb-b→0和λmin(b)-1=O(1)=p→∞。我们还给出了强混合条件。设f-∞和f∞分别表示由{（ft,εt):t≤0}和{（ft,εt):t≥t}生成的σ-代数。给出了混合coe-cientα(T)=supa∈f-∞,B∈f∞tpr A Pr b-pr ab.(5.2)(A.3)（强混合）存在R>0使得3 r-1+1.5 r-1+3 r-1>1,且C>0满足，对于所有T∈Z+，α(T)≤exp(-CTR)。假定(A.1)将特征值分为发散特征值和有界特征值。这一假设是由假设(A.2)中所述的具有普遍因素的因素模型所修正的。我们说，一个因素是普遍的，因为它在单个时间序列的非消失比例上具有不可忽略的e和ect。假设(a.1)-(a.2)对于估计高维因子模型至关重要：它们确保人口水平∑-中的主成分所跨越的空间接近因子负荷矩阵B的列所跨越的空间。假设(a.3)是一致估计因子和负荷所需的技术条件。设∑=∑λ，其中∑-是遵循等式（3.1）中描述的因子结构的收益的协方差矩阵。定义b∑，bλq，bàq，是∑，λ，γ的估计量。我们进一步给出了由B∑、BBBB=B'AqBλqBλq的前导经验特征值和相应的特征向量构成的Bλq=diag(λ,...,λq)和B∑q=(V,...,vq)。与Fan et al.(2018)类似，我们要求估计量的分量极大值有以下界:(b.1)b∑-∑max=OP(plog p/T)，(b.2)(bλq-λ)λ-1 max=OP(plog p/T)，(b.3)bàq-yenmax=OP(plog p/(T p))。为了确保q主分量与因子加载的列大致相同，需要假设(b.1)-(b.3)。估计值b∑，可以看作是满足(b.1)的任何“试点”估计值。对于亚高斯分布，样本协方差、特征向量和特征值满足(B.1)-(B.3)。此外，还对模型作了以下结构假设:(c.1)k∑kmax=O(1)和kbkmax=O(1)。5.2预测组合权重的收敛性和MSFE为了研究（4.6）和MSFE中组合权重的性质，我们需要建立算法3-4产生的精度矩阵的收敛性。设ωtplog p/t+1/√p。设s(θε)=OP(sT)对某数列sT∈(0，∞),d(θε)=OP(dT)对某数列dT∈(0，∞)。确定性序列具有dTwill控制Glasso因子的稀疏度θε。注意dt可以小于或等于st。我们区分这两个序列的原因是将它与因子MB的稀疏性条件并列，在这里我们将只使用dt，在本节开始时被定义为d的类似形式。设%1tb是一个正值随机变量序列，这样%–11tωtp-→0和%1tdtstp-→0，用λωt（其中λ是因子GLASSO在（4.2）中的调优参数）。Lee和Seregina(2020)表明，在(A.1)-(A.3)、(B.1)-(B.3)和(C.1)假设下，对于Glasso因子，Bθ-θ=OP(%1TDTST)。

此外，设%2tb是一个正数随机变量序列，使得%–12tωtp-→0和%2t′dp-→0，其中λjωt（其中λj是（4.4）中因子节点回归的调谐参数）。Seregina(2020)表明，在(A.1)(A.3)、(B.1)-(B.3)和(C.1)假设下，我们有Bθ-θ=OP(%2t~d)。比较由两个因子图形模型得到的精度矩阵的速率是很有趣的：如果dt=sT，速率是相似的，而如果dt<sT，则期望MB因子收敛得更快。事实上，在高维条件下，当p>T和ωT\'plog p/T时，因子MB达到了该问题的极小极大速率（速率表达式见Caiet al.(2016)）。在建立了精度矩阵的收敛速率后，我们研究了组合权重和MSFE的性质。定理1。假设(a.1)-(a.3)、(b.1)-(b.3)和(c.1)保持不变。(i)如果%1tdtstp-→0，算法3一致估计预测组合权重(4.6):kbw-wk=oP%1tdtst=oP(1).(ii)如果%2t′dp-→0，算法4一致估计预测组合权重(4.6):kbw-wk=oP%2t′d=oP(1)。定理2。假设(A.1)-(A.3)、(b.1)-(b.3)和(c.1)成立。(i)如果%1tdtstp-→0，算法3一致估计MSFE(w,∑):MSFE(bw,B∑)MSFE(w,∑)-1=oP(1)。(ii)如果%2t(dp-→0，算法4一致估计MSFE(w,∑):MSFE(bw,B∑)MSFE(w,∑)-1=oP(1)。定理1-2的证明可以在第9节中找到。注意，形式SFE和精度矩阵θ的收敛速度是相同的，并且都比定理1中的组合权重快。与算法1-2中的经典图形模型（Jankov\'a和van de Geer(2018)等人研究了它们的收敛性）不同，速率定理1-2依赖于θε的稀疏性而不是θ的稀疏性。这意味着，我们并没有保证预报误差Eto的许多部分相关性是可以忽略的，这在因子结构下是不现实的，而是施加了一个较温和的限制，要求一旦考虑了公共分量，预报误差Eto的许多部分相关性是可以忽略的。与由两个图形模型得到的精度矩阵θ的比较相似，如果dt<sTFactor MB期望对组合权重和MSFE收敛得更快。在我们的模拟中，因子图形模型的比率是可比的，而经验应用表明，在我们研究的大多数宏观经济序列中，GLASSO因子优于MB因子。这表明，对于宏观经济预测，使用加权惩罚对数似然和运行p个耦合LASSO问题，预测精度矩阵比用每个变量作为响应，其他变量作为预测的p个单独的LASSO回归更可取。6 Monte CarloWe将模拟结果分为两个小节。在第二小节中，我们研究了因子GLASSO和因子MB在估计精度矩阵和组合权重时的一致性。在第二小节中，我们用预测误差的均方值来评价基于算法3-4的因子图形模型的组合预测的样本外预测性能。比较了基于因子模型的预测组合与等权(EW)预测组合、Glasso预测组合和nodewise回归预测组合在算法1-2中的性能。与有关graphicalmodels的文献类似，所有练习使用100个蒙特卡罗模拟。6.1基于FGMM的预测组合权重的一致估计我们考虑稀疏高斯图形模型，该模型可能由精确矩阵θ完全指定。因此，随机样本分布为ET=(e1t，.，ept)'AN(0，∑)，其中对于t=1，θ=(∑)-1。.，T，j=1，....,p.Letbθ是精确矩阵估计量。