均值-方差与期望效用：Borch悖论

为了避免任何可能的不一致性，在根据均值和变量进行分析之前，必须对所有x进行x≤a的更强条件。为了看到，与传统的速记相反（例如，Lengwiler，2004年，第96页），排除μ≥a的资产是必要的，考虑一个两点分布，其产生的财富要么为x=x，要么为x=x，概率为p=0.5。期望的二次效用是[(2ax-x)+(2ax-x)]/2，因此，等效用(x，x)的等值线是以(a，a)为中心的同心圆，如图3所示。另外，当p=0.5时，约束条件是fig。3.可能存在的payo s x和x的必要约束。μ<a要求我们只考虑实心对角线(x+x)/2=a左边的（x,x）对。问题是，这个约束并没有消除由其中一个等高线上的两个实心截面突出显示的（x,x）对。然而，显然，如此指示的资产不在等高线上。在两个暗高亮的部分中，任何理性的决策者都倾向于最右边的(x，x)对，因为在这两种情况下，向右移动意味着x和x都增加。为了避免这种不一致性的来源，必须将分析限制在左下角象限的资产对，在那里X、X都不大于A。令人不安的是，在“原则”推导过程6中没有出现对X的这种约束。r eason f或this是，本分析所基于的公理太不重要（它们涉及μ和σ，但没有直接涉及x)，并且不能揭示图3中突出显示的资产(x，x)对之间的关系。然而，图3所示的例子清楚地表明，在方便地处理分布矩(σ，μ)时，必须排除所有这些资产。这个例子应该被看作是Borch悖论的另一个版本。Borch依靠他的反例一般地谴责MV分析，但Baron承认的更合理的结论是，MV分析可以模仿EU在二次效用下的附加应用，只要资产类别在这些资产的分布性质被简化为它们的参数(σ，μ)之前受到一定的限制。这是假设QU下的一致性所必需的限制，并在均值和方差项s中对期望二次效用的数学重述中，重新发现了二次效用函数的一个长期已知的缺陷，而不是10 D.JOHNSTONE和D.LINDLEYany Viraw。可以说，在二次效用下（通过MV或EUmethods）的任何分析中排除潜在“高”Payo s的资产的必要性特别令人烦恼，因为决策者可能在那时对分析感到最感兴趣。这是QU的问题，而不是QU的MV表达式。7.2正态分布Payo-SIF收益率分布的类别被限制在密度为f[(x-k)/b]/b的标度-位置族，给定f，但变量k和b，决策者的期望效用将只依赖于k和b，通常依赖于σ和μ。这将导致在(σ，μ)-平面上的内燃曲线。一个流行的特例是只考虑属于正态分布类的资产，f[(x-μ)/σ]/σ。例如，如果我们通过考虑常数绝对风险厌恶函数类进一步专门化，u(x)=1-exp[-κx]，f或某个κ>0，那么期望度很容易被评估为1-exp[-κμ+κσ/2]。（9）根据imm的结论，在(σ，μ)平面上的双曲线中的EU是直线，μ-κσ/2=常数（这里常数越高，EU越高）。在(σ，μ)平面上，这些相同的曲线呈抛物线，都以σ=0为轴，并且随着σ的增加而增加。

它们不包含由Buridanor或二次效用假设导出的圆形Indi-interfected Erence曲线所揭示的内在矛盾。重要的是要理解，我们已经到达了一个与基于Buridan的圆明显矛盾的抛物型Indi-interfected Erence曲线的例子。这些二元论族的二元论曲线都具有二元论的起点。为了得到Buridan（圆形）曲线，我们假设在二次效用下隐含的东西，即可出售资产（“混合”或“纯”）仅由(σ，μ)表示。同样，为了得到逆常风险厌恶（抛物线型）内源性曲线，我们做了一个相反的、限制性更强的假设，即所有可能的资产都具有正态分布。在严格正态分布假设下推导内源性曲线与Buridan公理不符合。这类分布在概率混合下是不封闭的，因为正规的概率混合通常不是正规的。因此，任意地将可容许的资产类别限定为正态分布是弄巧成拙的，因为无论混合资产是否自然产生，它们总是可以通过随机化来构造的。从效用理论的观点来看，这个问题可以归结为以下几点。如果参数为(σ，μ)和(σ，μ)的正常资产已获得效用u=V(σ，μ)和u=V(σ，μ)，则任何概率m ixture（用α去算）都有期望效用uα=αu+(1-α)u。这些计算对于期望效用理论来说是基本的，不能用一组只适用于正态分布的直接曲线来捕捉或显示。非范数概率混合(σα，μα)的p参数是已知的，但没有意义，因为它们不能被替换为（9）或正态分布期望效用的任何其他测度。7.2.1 Chipman-Baron对正态性的辩护揭示了Borch的悖论在QU中的作用而不是在MV本身中的作用，Baron(1977)继续在只有正态分布的共同假定下使MV曲线的使用合理化。这一进一步的贡献，阐述了Chipman[(1973)，179-181]主要基于以下假设：资产都是高度可分的，从而允许投资者在传统的线性加权投资组合中持有arb itrary正权重（例如，投资者可以在10美元的投资组合中购买价值3.121美元的资产A和价值6.879美元的资产B）。线性加权投资组合有两个有用的性质。首先，众所周知，联合正态分布类在线性组合下是封闭的。其次，对于Chipman-Baron论元来说，从Jensen不等式可以得出，对于任意增加的严格凹（风险厌恶）效用函数u(x)，任意两种资产A和B的α-混合的期望效用小于相同两种资产的相应α-加权投资组合的期望效用，α∈(0,1）。因此，即使对于那些不能单独用(σ)来表示的冒险实用程序，μ)，th er e总是一个传统的a和B加权投资组合，支配着a和B的任何概率混合，因此概率混合可以被任何理性风险厌恶的期望效用最大化者忽略，当然前提是有可能将可用的纯资产组合成任意加权的投资组合。均值-方差和期望效用11通过排除所有概率混合资产，Chipman和Baron绕过了法线混合不是正态的问题，从而使得在值得考虑的assetclass只包括联合正态分布的假设下工作是可行的。

当然，这就留下了如何在这种正态分布的资产（纯资产和加权投资组合）之间做出选择的问题。在这个问题上，Baron强调了两点。首先，假设所有资产都是正常的，使得决策者基本上具有任何递增效用函数来绘制(σ，μ)内源性曲线。例如，一个具有指数效用的决策者具有抛物线型(σ，μ)内源性曲线。其次，绘制一组任意的凸(σ，μ)内源性曲线，并假定它们来自于某种合理的风险规避效用函数，这是错误的。对于这种观点，正如Borch悖论中所发生的那样，一组基于直觉而得出的、看起来似乎相当可信的结论，而不是从潜在的效用u(x)中得出的结论，通常在至少某种可发现的资产之间体现出更好的结论，显然是不合理的。这第二点最初是由Chipman[(1973)，第168和169页]引起的，但并不广为人知。尤其是在教室和文本书本环境中，绘制任何“看起来明智”的通常是凸(σ，μ)的曲线是司空见惯的，好像投资者可以自由选择她喜欢的任何曲线。这种基本的误解强调了为什么时间可以花在重新审视博奇时代关于MV与欧盟的分析文献上。Chipman[(1973)，page169]描述了从这些曲线中恢复期望效用函数的方法，从而显示了这一文献的深度。具体证明了当只在正态分布之间进行选择时，效用函数u(x)mus t在u(x)≤aexp(bx)，a，b>0的条件下以-∞<x<∞为界，从而保证期望的效用积分收敛。在给定u(x)的增长约束条件下，存在一个内在函数V(σ，μ)=E[u(x)],在V(σ，μ)满足双元方程σVσ=Vμ.7.2.2混合资产在实践中Baron[(1977),第1692页]和Liu[(2004),第233页]讨论了双元资产混合发生的概率，无论是显式还是隐式。例如，现金流失的概率分布可能取决于一个随机事件，如诉讼的结束、竞争对手的反应或监管或政治转变。没有明确混合独立股票的股票市场。事实上，巴伦的论点表明，如果对这些有任何理性的需求，它们可能是很少的。然而，有趣的是，在一些博彩市场上，有一种商业上成功的产品叫做“神秘赌注”，即买方同意分配商定金额的随机赌注（例如，在一场随机比赛中，在一匹随机的马上押10美元）。对现实世界股市投资的完全主观主义观点将表明，许多“理性投资”等同于进行“神秘赌注”，因为在投资者的控制或观察之外，有太多的因素决定了她所选择的投资的支付如何分配。根据这种观点，股票市场上的每一个离散资产（公司股票）实际上都是一个m ixtureof分布，投资者对该股票的支付量有一个主观的评估，这相当于潜在的“基础股票”的主观混合分布。BORCH和随机支配欧盟的公理并不坚持决策者应该更多地选择，而不是更少地选择。为了使人类行为的这一基本假设成为现实，效用函数u(x)必须是payoxx的单调递增函数。一旦这个假定是由u(x)构成的，就有可能根据效用理论的理由或仅仅是普通的感觉来论证，即Payo的分布严格地支配着其他的分布。

首先，如果一个分布f(x)完全在另一个分布f(x)的右边，那么任何投资者更喜欢f(x)而不是更喜欢f(x)。不太明显的是，对于所有x*来说，只要任何给定结果x≥x*的累积概率在f(x)下比在f(x)下更高，严格偏好的顺序也是相同的。具体而言，当F(x*)-F(x*)≥0时，对于所有x*,其中F(x)是与概率密度F(x)相对应的累积分布函数，则fis弱于fs。这个条件是继Hadar和Russell(1969)之后所知的firrs阶随机占优性(FSD),其结论是对于所有严格递增的u(x),分布F(x)的期望效用超过分布F(x)的期望效用。Hadarand Russell(1969)还证明了如果决策者的类别仅限于风险为12的D.JOHNSTONE和D.LINDLEYaverse u(x)的决策者，那么对于所有a>-∞（潜在的Payo s为-∞≤x≤∞),fis弱于fif,并且只有RA-∞[F(x)-F(x)]dx≥0。Hadar和R.ussell(1969)以及Hanoch和Levy(1969)独立地发现了随机优势的条件，而不是约束资产分布的类别f(x)，而是约束决策者的类别。根据绝对风险厌恶度r(x)=-u\'\'(x)/u\'(x)的Pratt-Arrow测度将决策决策者分类，该测度是u(x)的常数和正线性变换，因此唯一地刻画了决策决策者[即任意两个具有相同偏好的决策决策者具有相同的r(x)]。FSD是任何决策者的两倍可得效用(-∞<r(x)<∞)的隐式优势准则，而SSD是任何风险厌恶决策者的决策准则(0<r(x)<∞)的隐式优势准则。Meyer(1977)提供了Hadar和Russell(1969)和Hanoch和Levy(1969)证明的简明和概括。SeeLevy(2006)是对随机优势理论的全面综合，作为不确定性下决策的框架。Levy[(2012),第3章]表明，在正态分布下，SSD等价于MV准则，并可作为推导SSD的公理基础。Fishburn(1980)向只利用其矩按随机优势排序资产的古老理论迈出了重要的一步。例如，他证明了(i)资产A对资产B的二阶随机占优意味着资产A对资产B的二阶随机占优意味着资产B对资产B的二阶随机占优意味着资产A对资产B的二阶随机占优意味着资产B对资产B的二阶随机占优意味着资产A对资产B的二阶随机占优意味着资产B对资产B的二阶随机占优意味着资产A对资产B的二阶随机占优意味着资产A对资产B的二阶随机占优意味着资产A对资产B的二阶随机占优意味着资产A对资产B的二阶随机占优意味着资产A对资产B的二阶随机占优意味着资产A对这些证明并没有导致一种通过时刻来证明所有资产的理论，因为时刻条件是必要的，但不是在它们各自的水平上实现原始统治的必要条件。Liu最近强调了这一点[(2004)，第231和232页]，他给出了一个一般性的证明，即不存在关于a和B的n个矩的特定的矩条件集，这些矩条件隐含着这两个资产之间的二阶或三阶优势关系。从本质上说，虽然确知矩条件具有一定的随机占优序，但当其相应的占优序得不到时，这些条件就会停止。Levy和Sarnat(1969)利用ofFSD原理反驳了Borch。他们解释说，博尔奇逻辑中的基本错误是tr吃了μ>μ和σ>σ的联合条件，就好像这些单独是两个资产(σ，μ)和(σ，μ)的su cient，被某人视为indi-erent并位于同一indi-erence曲线上。他们的反驳是，虽然在风险厌恶的情况下μ>μ和σ>σ是必要的，但这些条件不是必需的。

Borch自己的例子证明了这一点，在这个例子中，满足两个条件的两种特定资产显然不是直接的。Levy和S arnat(1969)接着揭示了Borch例子中的两种资产中的一种是FSD而不是另一种。同样，这一点是清楚的，因为一个资产以probability p产生x或y，而另一个资产以相同的概率产生x或y，这意味着例如，y>y，那么资产1的cu mulative distr ibution弱于资产2的右侧。因此，Levy和Sarnat对Borch的解药是采用MV的改进应用，在此步骤中，通过移除在FSD下占主导地位的所有资产（因此不在任何具有incr易听性的决策者的Cient集合中），可允许的资产类别立即被减少。这两个阶段的程序是由Hanoch和Levy(1969)，后来由Levy(1974)和Levy和Sarnat(1972)，第315-318页。从任何角度来看，这都不是反对消防局的理由。用裁判的话来说，这是“规范上可取的，描述上准确的”。资本资产定价模型在MV语言中对欧盟子集的重述立即导致夏普(1964)、林特纳（1965）和莫辛（1966）制定了资本资产定价模型(CAPM)。在这一部分中，我们给出了CAPM的一个简单的推导，并解释了如果没有MV，它可能不会被发现的东西。m方块中有n个风险资产，资产j的价格是Pj(j=1,2,..,n）。投资者把她的钱分散在风险资产和无风险债券之间。因此，她的投资组合权重在无风险资产中为WRF，在市场中为WM=1-WRFF。她在市场上的投资（风险资产）是按其各自的利润比例均匀地分布在所有n个风险资产上的。她从无风险资产和风险资产的市场组合中获得回报。根据规定，Market投资组合的收益率为rM=PJPJRJ/PJPJ，其中rj是资产收益率J.mean-variance和预期效用13，假设RRFI小于预期收益率μ(rM)和μ(rj)，这是吸引风险厌恶投资者的必然情况。为了提高投资的预期收益，投资者可能会用投资于无风险资产的部分资金购买更多的资产j。她的新投资组合权重是Market投资组合的权重wMin，证券j中的权重δ和无风险资产中的权重WRF-δ。该投资组合的预期收益为wmμ(rM)+δμ(rj)+(Wrf-δ)Rrf，其方差为wmσ(rM)+δσ(rj)+2wmδcov(rj，rM)，因此，预期收益的边际增长为δμ(rj)-δRrf。同样，投资组合方差的边际增长为δσ(rj)+2WMδcov(rj，rM)，对于较小的δ接近2WMδcov(rj，rM)。因此，每个额外单位的预期收益（均值）的边际替代率，或以增加风险（方差）表示的价格，是μ(rj)-rrf2wMcov(rj，rM)。（10）投资者增加预期收益的第二种方式是出售无风险资产的权重δ，并在市场投资组合中增加权重δ。通过与上面相同的论点，（11）在理性市场（“无套利定律”）中，不可能有两种不同的单位价格来达到相同的结果，因此设定(10)=(11)，得出通常被称为均值-方差CAPM的方程(rj)=rrf+CoV(rj,rM)σ(rM)[μ(rM)-rrf]。（12）用资产价格重写这个方程，而不是用回报来重写这个方程，让资产的回报j用它的初始价格pi和它的预期价格或价值Vjby rj=vj/pj-1。因此，应注意，μ(ri)=μ(Vi)/pi-1，cov(ri,rM)=cov(Vj,VM)/PJPM，σ(rM)=σ(VM)/PM。

CAPM资产价格PJ可以理解为：(i)给定投资者具有二次效用的一致价格，或者(ii)所有投资者具有二次效用且对不确定的未来资产价值Vj具有相同的pr ob ab能力的市场均衡价格。CAPM资产价格PJ可以理解为：（一）具有二次效用的市场均衡价格，而pr ob ab能力的市场均衡价格可以理解为：（一）具有二次效用的市场均衡价格，而pr ob ab能力的市场均衡价格可以理解为：（一）具有二次效用的市场均衡价格，而pr ob ab能力的市场均衡价格可以理解为：（一）具有二次效用的市场均衡价格，而pr ob ab能力的市场均衡价格可以理解为：（一）具有二次效用的市场均衡价格。基于Chipman-Baron论点的更广泛的可能性是，只需要考虑正态分布的资产，在这种情况下，投资者不需要二次效用。CAPM方程的吸引力在于，除了逐一观察资产之外，每个风险资产的价值都是根据它对最优加权投资组合的贡献来估值的。在采用这种整体而不是零碎的方法时，CAPM揭示了使每种资产对决策者的最佳投资组合有价值或有价值的因素，最有趣的是βJ。特别具有启发性的是，投资于给定资产的风险不是由其方差来衡量的，而是由其与所有其他风险资产的协方差来衡量的。资产本身可能具有很高的风险，但仍然具有很高的吸引力。此外，即使是负预期回报的资产，如果它的回报与市场负相关，也可能有很高的价格。Borch(1979)当然非常了解CAPM，他将其描述为具有类似于E=MC的状态。他对ECAPM持批评态度，因为它站在MV的立场上，因此与广义的MV决策一样，它对同类的“无感觉”持开放态度。Borch(1979)预见到最近被广泛接受的情况，指出CAPM在实际市场价格数据中表现不佳。Levy(2012)最近回顾了CAPM的历史和现状，重点是ithas是如何作为一个非常重要的金融实践工具而生存下来的，同时它的经验和描述有效性却受到了广泛的贬低。对CAPM的一个更有同情心的观点(Meyer(1987)，第426页）是，通过选择性地重申以矩(σ，μ)为单位的预期二次效用，金融理论家发现了资产价格之间的一致性关系，这种关系在欧盟的更高层面上并不明显。令人放心的是，受MV和CAPMhinges关于无套利或“无荷兰书”规则的启发，许多“新的规则”。这个想法在德·费内蒂的著作中出现得更早。事实上，发现德·费内蒂设想了一个“主观主义资本资产定价模型”并不奇怪。原则上，de Finetti风格的CAPMM将把所有投资者的效用函数和主观14 D.JOHNSTONE和D.Lindley概率分布与一组理论上（可能是可观察到的）均衡资产价格联系起来，并将在哲学层面上对决策分析和决策分析起到很大作用。结论：在投资分析和经营决策实践中，均值-方差理论是最具说服力的理论。考虑到Markowitz的mo del是期望效用理论的一种缩减形式，这一点是值得注意的。就其本身而言，在冯·诺伊曼和摩根斯坦(1953)、萨维奇（1954）和其他d ecision理论家所建立的优雅结构中，效用理论很难为普通实践者所拥有。尽管它的知识传统和理论在许多领域中被接受，包括在某种程度上是Oxiclican economics。从20世纪50年代Markowitz引入了一种被视为决策的非主观概率的新理论开始，在经济学领域就有一项重要的知识任务，以了解均值-方差方法如何与预期效用相协调。关于这一主题的文献非常广泛，调查它的现状及其与现代渔业实践的联系的任务远远超出了我们在本文中所尝试的范围。

刘（2004）对文献进行了历史上全面而有益的综述，我们集中讨论了关于均值-方差和期望效用的历史争论，特别是曾经突出的均值-方差的还原悖论，即Borch悖论。Borch针对均值-方差提出的这一逻辑上的反论点遭到了反驳，Baron(1977)对此进行了最充分的阐述。Despiteits隐藏的弱点，博尔奇的论文，以及它所开创的文学，具有永恒的哲学兴趣。对于预期效用是“太规范”而不实用，还是均值-方差太“实用”而不受尊重，意见分歧很大。实用主义者的观点是由诺贝尔经济学奖得主詹姆斯·托宾[(1969)，第14页]提出的，他认为商业从业者不会被“他应该参考他的效用和他的主观概率，然后最大化”的指示所逗乐。然而，与托宾的嘲弄相反，有密集的理论和实证研究，当前的研究专门致力于实际投资组合选择，通过优化某些预期效用函数，直接和通过它们通过更高时刻的表达（例如，MacLean，Ziemba和Li(2005)；Cremers，Kritzman和Page(2005)；Sharpe(2007)；Adler和Kritzman(2007)；Hagstromer等人(2008))。MV versu的欧盟文献的开创性贡献者之间的和解注释由Meyer(1987)构建，第426页。他认为MV提供了一种重写期望效用子类的方法，这种方法不仅简化了风险和收益的概念，而且揭示了风险和单个资产之间的关系以及它们在加权投资组合中的组合。这就产生了“电子商务前沿”的新语言，并最终形成了“资本资产定价模型”。更根本的是，它揭示了一个非常有趣的有时违反直觉的规则。在许多情况下，这些结果可以回到EU理论中，并加以推广，以适应可能的效用函数。例如，在Johnstone(2012)中应用的日志实用工具CAPM。这个资产定价方程可以从任何E[log(x)]最大化投资组合优化器的firerst原理中得到。如果不是马科维茨和均值-方差CAPM的发明引发的，这些方程式可能就已经被发现了。实际上，资产定价的学术研究受到了马科维茨和博奇时代和60年代兴起的理论的启发。11。在完成对Borch悖论的调查后，作者从Aase(2004)的一本引人入胜的传记中了解到Borch在精算科学中保留的更多地位。这本传记的下面一段话反映了我们从文献中获得的关于博尔奇和他的知识分子对均值-方差辩论的大部分印象：有一个关于博尔奇对“均值-方差”分析的立场的故事。经济学家知道这个故事，但精算师可能不知道：他在《经济研究评论》(1969)上发表了一篇论文，“关于不确定性和埃伦斯曲线的注释”，博尔奇的朋友马丁·费尔德斯坦（Martin Feldstein）在同一问题上发表了另一篇关于投资组合选择的均值-变量分析的局限性的论文(Feldstein，1969)。在同一问题上，詹姆斯·托宾发表了一篇评论，“对博尔奇和费尔德斯坦的评论”(Tobin(1969))。今天，博奇和费尔德斯坦的剧本似乎很到位，在当时，这是一个令人震惊的消息。尤其是耶鲁大学的詹姆斯·托宾教授，后来是经济学中的诺贝尔经济学奖得主--方差和预期效用15ATE，当时在经济学中考虑了纳入均值-方差分析的伟大计划。这里甚至为国家一级的一个研究所准备好了。然而，在Borch和Feldstein的Spapers出版后，托宾的项目似乎被放弃了。

在这一集涉及两位主要经济学家之后，博尔奇受到了经济学家界的广泛关注，并获得了一个令人恐惧的对手的声誉，也许是一个不公正的声誉。承认作者感谢杰伊·卡丹和匿名裁判的有益评论。Referencesaase，K.K.(2004)。卡尔·H·博奇的生平和事业。精算科学百科全书。卷。1（J.L.Teugelsand B.Sundt,eds.）191-195。威利，纽约。Adler,T.和Kritzman,M.（2007）。均值-方差对全尺度优化：样本内和样本外。资产管理杂志7 302-311。巴伦，博士出版社（1977）。关于均值-方差分析的效用理论基础。J.Finance 32 168 3-1697.Barone,L.（2008）。布鲁诺·德·费内蒂和《the Critical Line》最后一段的案例。保险数学。经济。42359-377。MR2392094Barucci，E(2003)。金融市场理论：均衡、均衡与均衡。斯普林格，伦敦。1958149Bernardo,J.-M.和Smith，A.F.M.(1994)。贝叶斯理论。威利，奇切斯特。MR1274699Borch，K.(1969)。关于不确定度和间接误差的注记。伊科诺姆牧师。种马。36 1-4.Borch,K.（1973）。用矩表示的期望效用。欧米茄：国际管理科学杂志1 331-343.博尔奇，K.(1974)。均值-标准差分析的理论基础：评述。《美国经济评论》64428-430。博尔奇（1978）。投资组合理论是为风险爱好者准备的。银行与金融杂志2 179-181。博尔奇（1979）。资本市场均衡。经济。莱特。2 175-179。MR0539182Chipman，J.S.(1973)。投资组合的均值和方差排序。伊科诺姆牧师。种马。40 167-190.Cochrane,J.（2001）。资产定价。普林斯顿大学出版社，普林斯顿。克里默斯，J.H.，Kritzman,M.和Page,S.(2005)。最佳对冲基金配置。投资组合管理杂志31 70-81.de Finetti,B.(1940)。Il problema dei“pieni”乔恩。Ist.ital。阿图阿里11 1-88。Luca Baronein的英文转换，投资管理杂志4(2006)19-43。Degroot,M.H.(1970)。最优统计决策。McGraw-Hill,New York.Mr0356303Eeckhoudt,L.Gollier,C.和Schlesinger,H.（2005）.风险下的经济与金融决策。普林斯顿大学。普林斯顿出版社，Feldstein，M.S.(1969)。流动性偏好理论中的均值-方差分析与投资组合选择。Econom牧师。种马。36 5-12.Fishburn，P.C.(1980)。随机优势分布和动量分布。数学。欧珀。Res.5 94-100.Mr0561157 Hadar,J.和Russell,W.R.（1969）。安排不确定前景的规则。《美国经济评论》59 25-34。Hagstromer,B.,Anderson,R.G.,Binner,J.M.,Elger,T.和Nilsson,B.（2008）。均值-方差与全尺度优化：英国的广泛证据。TheManchester School 76（补编）134-156。Hanoch,G.和Levy,H.（1969）。涉及风险的选择的e-ciency分析。伊科诺姆牧师。种马。36 335-346.Hanoch,G.和Levy,H.（1970）。二次效用和三次效用的投资组合选择。《商业杂志》43 181-189。和Litzenberger，R.H.(1988)。金融经济学基础。North-Holland,New York.Mr0996240Ingersoll，J.E.(1987)。金融决策理论。Roman and Little Firefeld Publishers Inc.，Savage，M.Johnstone，D.J.(2012)。概率预测的对数最优经济评价。J.罗伊。统计员。SOC.爵士。A 175661-689。MR2948369Johnstone，D.J.和Lindley，D.V.(2011)。均值-方差蕴涵二次效用的基本证明。理论和决定70 149-155。MR2753395Lengwiler，Y.(2004)。金融经济学的微观基础：一般均衡资产定价导论。普林斯顿大学出版社，普林斯顿。利维（1974）。均值-标准发展分析的理论基础：评述。《美国经济评论》64434-442，H.Levy(2006)。随机支配：不确定性下的投资决策，第2版。风险和不确定性研究12。斯普林格，纽约。MR2239375Levy，H.(2012)。

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