均值-方差与期望效用：Borch悖论

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摘要翻译：
大多数经济学和统计学中的理性决策模型是由冯·诺依曼和摩根斯坦、萨维奇等人公理的期望效用理论(EU)。然而，在金融经济学和数学金融学中，情况就不是这样了，在这些领域，投资决策通常基于Markowitz在20世纪50年代引入的均值-方差(MV)方法。在MV框架下，每一个可用的投资机会（“资产”）或投资组合只在两个维度上表示，即从该投资中预期的财务回报的事前均值和标准差$(\\mu，\\sigma)$。实用工具的拥护者认为，一般来说，MV方法在逻辑上是不一致的。最著名的是，挪威保险理论家Borch提出了一个证明，表明二维MV无差异曲线不能代表理性投资者的偏好（他声称MV无差异曲线“不存在”）。这就是众所周知的博奇悖论，并产生了一个重要的，但通常鲜为人知的哲学文献，将MV与欧盟联系起来。我们考察了对这一文献的主要早期贡献，集中在博奇的逻辑和它被搁置的论点上。
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英文标题：
《Mean-Variance and Expected Utility: The Borch Paradox》
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作者：
David Johnstone, Dennis Lindley
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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英文摘要：
  The model of rational decision-making in most of economics and statistics is expected utility theory (EU) axiomatised by von Neumann and Morgenstern, Savage and others. This is less the case, however, in financial economics and mathematical finance, where investment decisions are commonly based on the methods of mean-variance (MV) introduced in the 1950s by Markowitz. Under the MV framework, each available investment opportunity (\"asset\") or portfolio is represented in just two dimensions by the ex ante mean and standard deviation $(\\mu,\\sigma)$ of the financial return anticipated from that investment. Utility adherents consider that in general MV methods are logically incoherent. Most famously, Norwegian insurance theorist Borch presented a proof suggesting that two-dimensional MV indifference curves cannot represent the preferences of a rational investor (he claimed that MV indifference curves \"do not exist\"). This is known as Borch\'s paradox and gave rise to an important but generally little-known philosophical literature relating MV to EU. We examine the main early contributions to this literature, focussing on Borch\'s logic and the arguments by which it has been set aside.
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关键词：期望效用 RCH Indifference Quantitative Mathematical

《统计科学》，2013年，第一卷。28,No.2,223-237DOI:10.1214/12-STS 408 C数理统计研究所，2013年均值-方差和预期Utili Ty：The Borch ParadoxDavid Johnstone和Dennis Lindley抽象。大多数经济学和统计学中的理性决策模型是由冯·诺依曼和摩根斯坦、萨维奇等人公理的期望效用理论(EU)。然而，在金融经济学和数学经济学中，情况就不是这样了，投资决策通常基于Markowitz在20世纪50年代提出的均值-方差(MV)方法。在MV框架下，每个可用的投资机会（“资产”）或投资组合只在两个维度上由该投资的预期投资收益的事前均值和标准差(μ，σ)表示。效用追随者认为，一般来说，MV方法在逻辑上是不一致的。最著名的是，挪威保险理论家Borch提出了一个证明，即二维MV Indi规定的Erence曲线不能呈现理性投资者的偏好（他声称MVindi规定的Erence曲线“不存在”）。这就是众所周知的博奇悖论，它产生了一个重要但通常鲜为人知的关于MV-EU的哲学头韵。我们考察了对这一文献的主要早期贡献，集中在Borch的逻辑和论证上。关键词和短语：均值-方差、预期效用、Borch悖论、概率混合、投资组合理论、CAPM。在预期u值准则的有效性和基于预期retur n和方差的投资组合分析的有效性之间没有必然的联系(Markowitz，1959年，第209页）。David Johnstone是National Australia Bank教授，悉尼大学商学院，悉尼大学，新南威尔士州，2006年，澳大利亚电子邮件:d.Johnstone@econ.usyd.edu.au。丹尼斯·林德利是统计学荣誉退休教授，“伍德斯托克”，奎兰，米纳海德，萨默塞特，塔24 5曲，UnitedKingdom。这是由数理统计研究所出版的原始文章的电子再版，2013年，第一卷。28,2,223-237号。这是从原版的分页和排版细节中重新打印出来的。引言本文回顾了不确定情况下商业决策（称之为“投资”）历史上一个鲜为人知但极具趣味性的章节。挪威保险理论家和经济学家卡尔·博尔奇（Karl Borch，1969)曾经发表过一篇很少被提及的论文，题目是《关于不确定性和内定的Erence曲线的注释》，他认为由Markowitz(1952，1959)发明和推广的投资均值-方差理论在逻辑上是荒谬的。在这个令人愉快的挑衅性的说明中，Borch(1969)pr oved,他声称，在均值-方差(μ，σ)或均值-标准差(μ，σ)平面上绘制indi-erence曲线是可能的。同样的证明至少出现在Borch(1973，1974)的另外两部著作中，他们得出结论，均值方差是一种有趣但不严肃的替代预期性的方法:2D·约翰斯顿和D·林德利。...我将继续在教学中使用均值-方差分析，但我要警告学生，这种分析绝不能被认真对待并在实践中应用(Borch(1974)，第430页）。Borch提出的证明（发音为“Bork”）被理论家称为“Borch悖论”。虽然在理论上引起了很大的兴趣，但源于博尔奇工作的学术讨论实际上对投资实践没有任何影响。相反，马科维茨后来获得诺贝尔经济学奖的均值-方差(MV)分析已经成为商业决策实践中最公认的决策框架，尤其包括资本预算（例如，是否建造一个新工厂）、投资管理（例如，是否增加石油股票在养老基金中的权重）和公司投资估值（例如，一个公司在股票市场上是否值当前价值）。

这些常见的应用都隐含地建立在MV，并明确地建立在所谓的“资本资产定价模型”(CAPM)上，它是从Markowitz提出的MV基础中衍生出来的。尽管MV投资组合理论和CAPM的应用是常见的，而且实际上是行业标准（见证任何现代经济学教科书），这一决定的支持者仍然意识到，在不确定的情况下决策分析的被证明的哲学基础仍然是预期效用理论(EU)的公理和定理，由Von Neumann和Morgenstern(1953)和Savage(1954)形式化。效用理论，或者更具体地说，满足冯·纽曼·摩根斯坦或类似公理的主观期望效用的马西化，仍然是经济学和统计决策分析中理性的标志（例如，DeGroot(1970)；Bernardo和Smith(1994)；Pratt，Rai\'s a和Schlaifer(1995)；Lengwiler(2004)；Eeckhoudt，Gollier和Schlesinger(2005))。作为对这一知识遗产的尊重，Markowitz(1991)在1990年的诺贝尔演讲中专门对他的投资组合选择的MV方法与基于Eu-th Eory的mod el进行了实证比较。权威认知也走了另一条路。在其第二版中，新古典主义决策理论的标准参考文献之一，Pratt，Rai the A and Schlaifer(1995)包含了对MV investmentframework的优雅阐述，尽管没有与该书的其他欧盟部分进行明确的联系。Markowitz(2006)和Rubinstein(2006a)在完成这一循环时，指出了意大利语的一篇早期论文，即所有主观概率性理论家中最受尊敬的作者de Finetti(1940)，认为该论文在MV框架下表达了一个决策模型。另外两个集中于德芬埃蒂对马科维茨鲜为人知的公共关系预测的论述是Barone(2008)和Pressacco和Seraoffireni(2007)。我们的主要目的是考察围绕博尔奇悖论的历史文献。为了帮助那些不熟悉这一应用统计文献分支的读者，我们在两个相互竞争的概念框架下重新描述了投资决策的基本要素，即预期性和均值-方差。然后，我们考虑如何在公理化的基础上，在博尔奇等批评家的面前，并通过与欧盟理论的一般比较，对MV进行研究。最后，为了更好地理解MV方法的实际吸引力，以及为什么融资理论如此容易地采用MV语言而不是EU，我们介绍了资本资产定价模型(CAPM)，并观察了当决策用MV比EU更好地描述时，这样一个具有理论洞察力的模型是如何自动产生的。期望效用理论中的决策是在所有可用的“彩票”、“资产”、“投资”（这些术语是同义词）的一些（通常是严格的）子集和它们所有可行的加权投资组合之间的选择。每一个这样的不确定前景都归结为一个可能的Payo值域上的概率分布。决策可以归结为在收益率的可能的p个概率分布之间进行选择。冯·诺伊曼和摩根斯坦（1953）提出了如何在已知的概率分布之间进行选择的公理理论。简言之，他们巧妙地证明了，如果决策在服从某些特定的一致性或合理性基本公理的意义上是合乎逻辑的，那么决策者就必须采取行动，就好像她的目标是最大化期望效用E[u(x)]=rxf(x)u(x),其中u(x)是表示从某种财富或Payo x中获得的效用的实值函数，而f(x)是x的概率密度函数。使E[u(x)]最大化的决策规则与一些看似实用有趣的规则结合起来，如伯努利的u(x)=log(x)，通常被认为是公理化的。

更正确地说，欧盟决策规则的超直觉方差和预期效用的吸引力在于，它不只是另一个看似合理但却是任意目标的函数，而是一个从大量关于什么构成理性人类偏好的更基本的假设中推导出来的定理。预期效用有几个基本公理:(i)完备性。所有彩票A和B都可以相对于另一个进行beranked,A B,A B orA.B,其中.A.B表示indi和erence。(ii)及物性。如果A对B和B对C，那么A对C。(iii)连续性。若A→B→C，则存在概率α∈[0,1]，使得B→αA+(1-α)C，这意味着th atB是一个复式彩票，复式彩票A与概率α和C与概率(1-α)对应的复式彩票，即复式彩票A与概率α对应，复式彩票C与概率α对应，复式彩票C与概率α对应，复式彩票C与概率α对应，复式彩票C与概率α对应，复式彩票C与概率α对应。㈣独立性。彩票A和B之间的关系是指复合彩票αA+(1-α)C和复合彩票αB+(1-α)C之间的关系。类似地，当α>0时，A b蕴涵αA+(1-α)Cαb+(1-α)C。(v)优势。设Cbe为复合彩票αA+(1-α)B，设Cbe为复合彩票αA+(1-α)B。如果A B，那么C Cif并且仅当α>α。关于这些公理的进一步解释以及它们如何导致冯·诺伊曼和摩根斯坦欧盟决定规则的证明，见Pennacchi(2008)，第4-11页。在经济学和统计学的许多教科书中都有类似的论述。参见，例如，Ingersoll(1987)，第30-44页，Huang andLitzenberger(1988)，第1-11页，Levy(2012)，第25-30页。首先，通过假定原始偏好关系(I)-(v),证明了彩票A是彩票B的当且仅当彩票A的预期效用超过彩票B的预期效用，预期效用E[u(x)]是衡量不确定投资的有效指标。经济学中通常的假设是决策者是风险厌恶的。这意味着th在ey上对m有正的但递减的边际效用，因此u(x)是递增的和凹的。一个风险厌恶的决策者不会接受任何预期m on ey值为零（或更少）的乐透。因此，从实际情况来看，公平的赌注是不可接受的。在接受一个赌赢或输一些已确定的金额c之前，风险厌恶的代理人要求获胜的概率超过0.5的额外费用。这种溢价的数额取决于u(x)的局部凹度，或者取决于货币的边际效用在财富x±c区域内递减的速度，其中x是她的起始财富。从技术上讲，局部绝对风险厌恶的Pratt-Arrown度量-u\'\'(x)/u\'(x)捕捉了u的凹度或财富x.3时边际效用下降的速度。均值-方差理论下面是对MV的快速总结，主要归功于toLiu(2004)。在t期间，一项投资的每iod回报率被定义为(pt+d)/pt-1,wh er e ptist时间t资产价格，d是t期间从该资产中提取的收入（股息）。他的认识是有利的，即回报指标总是积极的。想象一组可用的投资或“资产”。这些可以组合成任意加权的投资组合（例如，投资者可能形成一个资产a和资产B的2：1加权投资组合，其中三分之二的钱投资在a上，三分之一投资在B上）。可用资产及其线性加权的投资组合形成了投资机会集。每一种可能的资产或投资组合都在平均收益μ和方差σ之间进行折衷。每个suchMV对在Markowitz之后进行缩减，并对其参数(σ，μ)进行筛选。机会nityset是一个可行(σ，μ)对的区域。图1中的子弹状阴影区域以其特征形状描述了该区域。投资者通常厌恶风险，因此更喜欢平均收益更高、“风险”（标准偏差）更低的投资组合。因此，机会集被减少到那些厚厚的黑色资产组合，即所谓的“电子前沿”。

每个资产投资组合在其东南方占主导地位，因为这些资产和投资组合都有较低的μ和较高的σ。例如，asset(σ，μ)-pair hposition控制了HatchedRegion中的所有资产和投资组合。1.MV(σ，μ)分析的图形表示。4 D.JOHNSTONE和D.Lindley为了在所有的投资组合中做出选择，投资者形成了一系列MV-indi-erence曲线。这些曲线被理解为由某个indi-erence函数V(σ，μ)所定义的等值曲线。每一个这样的曲线都是(σ，μ)点的轨迹s，其中V(σ，μ)保持不变。图1中用虚线表示了一个典型的无差异曲线族。这些曲线是向下凸绘制的，其基础是，对于仅由其MV参数(σ，μ)所知的资产，风险厌恶的投资者对风险σ1的进一步增加要求微微更大的补偿（相关证明见Meyer(1987)）。由于规避风险的投资者更喜欢σ而不是规则的，所以更高（更西北风）的内向型ERENCE曲线对投资者来说具有更大的预期效用。在确定了风险投资的边界和内源性风险投资的V(σ，μ)之后，风险资产中唯一的MV-最优投资位于决策者自己的V(σ，μ)和外源性风险投资边界之间的切点T。Borch\'s PARADOXBorch(1969)第2页和第3页，提出了一个基于两点分布资产的证明，它揭示了（他声称）在均值-方差(μ，σ)或均值-标准差(μ，σ)p车道上不可能有德拉文迪埃伦斯曲线。博尔奇在1973年和1974年重复了同样的证明，并公开表示他对发展投资组合优化方法的理论家没有更广泛地承认这一点感到沮丧：我曾在几个场合（1969）和（1974）试图警告不要对均值-方差分析的不加批判地使用。这是pr ob ab ly太过期待的警告应该有muche和ECT（Borch(1978)，第181页）。Borch悖论如下。首先，确定具有参数(μ，σ)和(μ，σ)的两个资产（Payo？分布）仅根据这些参数就被视为Indi？erent（即ofequal主观价值）。现在设想两个假设资产被构造为两点分布。资产1 produ ces payo？y，概率为pa；payo？x，概率为(1-p)。资产2产生概率为probab的payo y，概率为(1-p)的payo x。根据常识或一些非常基本的公理，如萨维奇提出的“肯定的事情”原则（博尔奇引用了阿莱的“优先选择”概念），这两种资产是Indiantioned Irent（当且仅当y=y(p>0)时）。现在，我们认为常数x,p,y和ytake值x=σμ-σσσ-σ，(1)p=(μ-μ)(μ-μ)+(σ-σ)(σ-σ)，(2)y=μ+σ(σ-σ)(μ-μ)，(3)y=μ+σ(σ-σ)(μ-Ω)。（4）Borch没有提到这些方程来自哪里或它们的假设，除了很容易验证这两种资产的均值和方差参数的隐含值是r尤其是(μ，σ)和(μ，σ)，从而匹配资产1和资产2（这确实很容易验证）。Borch证明中的结论认为，由于这两种资产只有在y=y时才能相等，因此内在条件(3)=(4)是μ+σ(σ-σ)(μ-μ)=μ+σ(σ-σ)(μ-μ)，这意味着(μ-μ)+(σ-σ)=0，因此内在条件要求μ=和σ=σ。根据Borch对这一结果的解释，两个任意的均值-方差对之间的任何假定的内在联系都是不可能的，当然除非它们是相同的。因此，均值-方差的Erence曲线仅仅是点而不是曲线，或者用Borch[(1969),第3页]自己的话来说，“在E-S平面上不可能Drawindi的Erence曲线”（E an d S表示均值和标准差）。为了回答因它们不能解释而引起的任何怀疑，Borch提出的四个方程并没有人为地去定义他的证明的常数x、p、Y、yin。

相反，可以通过编写主题和两个Borch两点资产的标准偏差的标准方程，即x、p、y、y，然后分别求解这四个方程，得到所有四个常数的通用表达式，即指定的均值和标准偏差。因此，上面编号为（1）-（4）的四个Borch方程不是产生特定均值-方差参数(μ，σ)和(μ，σ)的Merelysu-cient条件。相反，它们必然来自这些特定的参数值，作为两组可能的解决方案之一。第二组解决方案是均值-方差和预期的UTILI ty5，Borch没有说明，但本可以用于相同的ECT如下:x=σμ+σμσ+σ，p=(μ-μ)(μ-μ)+(σ+σ)，y=μ+σ(σ+σ)(μ-μ)，y=μ+σ(σ+σ)(μ-μ)，y=μ+σ(σ+σ)(μ-μ)，y=μ+σ(σ+σ)(μ-μ).4.1我们对BorchBorch的解释是他的parad ox说均值-方差曲线不存在。这是toostrong，将在下面的章节中看到。对Borch的证明的最简单的解释如下：解释1：假设一个决策人坚持认为他在任何两个具有均值-方差特征(μ，σ)和(μ，σ)的资产之间存在，其中(μ，σ)6=(μ，σ)。有可能构造出两点资产，这些两点资产具有这些特性，但没有人能在它们之间合理地构造出来[这些特性可以通过Borch\'sequations(1)-(4)，或者同样好地通过上述第二个可能的解集构造出来]。这种可能性并不意味着存在一个不可处理的资产，其参数(μ，σ)和(μ，σ)（对某人来说）是合理的。相反，它表明决策者不可能在具有这些参数的所有可想象的资产对之间存在。解释2：如果我们将考虑仅限于Borch构造的两点资产的特定子类，则不存在一对具有(μ，σ)6=(μ，σ)的资产，任何人都可以合理地在两者之间存在。当(μ，σ)6=(μ，σ)时，两种资产（具有x和p的共同点）必然在y6=y中相互影响，这本身就意味着它们不能相互影响。4.2数字说明这里我们用数字举例说明相互影响1。想象实验对象感觉他在任何两种参数(μ，σ)=(10，225)和(μ，σ)=(20，625)之间相互影响。这种主观影响通常会要求均值越大的安全性有越大的方差，但根据Borch的证明，实用性并不是必须的。现在考虑两张可比较的彩票，彩票A和彩票B。彩票的概率p=0.5为25，概率p=0.5为-5，概率pr ob能力为(1-p)。类似地，票B以概率p=0.5支付45英镑，以概率(1-p)支付-5英镑。这两种彩票的主题方差参数分别为(10，225)和(20，625)。然而，与任何认为这两个参数中的两种资产是相同的想法相反，票B显然是更好的，因为它与票A有相同的获胜概率，如果它输了，也有相同的支付，但当它赢了S时支付45英镑，而不是25英镑。博尔奇认为这种明显的矛盾证明，决策人在逻辑上不能仅仅通过参考两种投资的手段和变体而在两种投资之间相互关联。Baron对Borchborch悖论的反驳为那些注意基础并对均值-方差历史感兴趣的经济理论家所熟知，但在其他地方很大程度上是未知的，在Standard and Fangnancial经济学文本中也没有提到，甚至在处理均值-方差模型和预期功利主义理论之间联系的高度复杂的著作中也没有提到，如Ingersoll(1987)、Cochrane(2001)、Barucci(2003)、Lengwiler(2004)和Pennacchi(2008)。Rubinstein的非常彻底的历史注释书目(2006b)中也没有提到Borch。

Baron(1977)的一篇类似重要但现在很少提到的论文也对这一遗漏进行了修正。Baron rebu ts Borch的两步悖论。首先提出了仅基于均值和方差这两个参数的d ecision生成意味着一个潜在的二次效用函数的命题。Hanoch and Levy[(1970),第182页]和Sarnat[(1974),第687页]提出了这一论点，他们注意到，二次（二阶多项式）效用是数学效用函数的唯一形式，对于它，期望效用仅化为Payo分布的两个矩的函数。具体而言，对于风险厌恶的二次效用Yu(x)=2ax-x，期望效用为e[u(x)]=2aμ-(μ+σ)。类似地，参见Liu(2004)，第233页的推导。MV必然意味着二次效用的推定追溯到Markowitz[(1959)，第288页]和Mossin(1973)，第26和27页。Hanochand Levy[(1970),第182页]认为“拒绝二次效用意味着拒绝任何基于期望效用准则的分析”，他间接地说，在应用MV时坚持EU的唯一无条件方法是采用D·约翰斯顿和D·林德利的二次效用。Johnstone和Lindley(2011)havemore最近给出了一个基本证明，揭示了在没有任何进一步前提的情况下，MV必然存在二次效用。Baron得出了Borch提出的主观价值函数只能产生于一个二次效用函数的结论，他的第二步是表明Borch反例中的资产对中的一个(μ，σ)和(μ，σ)必须涉及一个潜在的Payo，在这个领域中，二次效用随货币而减少。这种方法很容易直观地理解。这两种Borch资产是相同的，除了y6=yand,因此，在某人心目中，具有较低y的资产（例如，如果y<y，则资产1）只能与具有较高y的资产一样好，如果y处于货币具有负效用的领域，从而允许y，y，具有相同的效用u(yi)。Baron论证的净e ect可以概括为:(i)Borch悖论只证明f或任何两个方差对(μ，σ)和(μ，σ)，理性决策者不能在所有具有特定参数的资产对之间进行决策。事实上，正如Borch所揭示的那样，有一些容易被发现的资产具有这些特征，而这些特征显然是不存在的。(ii)如果决策者具有二次效用，则EU可以单独写成m ean和方差的函数，因此(σ，μ)不存在。很有必要，然而，限制所考虑的资产类别，以排除在效用随金钱递减的区域中具有一个（或多个）潜在支付能力的任何资产。对于某些x的负边际效用是q的效用的一个众所周知的限制，如果不能对可接纳的资产类别进行适当的限制，即使在EU下也必然会产生非理性或不一致的决定。(iii)如果在四次效用随货币减少的领域中可能存在Payo值的资产（即Payo值的最后一次增加带来效用的减少）被先验地排除在考虑之外，就好像它们不存在一样，那么Borch提出的反例类别（并在上面用数字说明）就不再存在了。这里应该讨论另一个有点被遗忘的定义。Levy和Sarnat[(1972)，第387和388页]证明了一个MV资产对(μ，σ)比另一个资产对(μ，σ)具有更高的效用，且当且仅当(μ-μ)-(σ-σ)>0。这是一个比通常对支配地位的认识更强的条件（即μ≥μ、σ<σ或μ>μ、σ≤σ)，因此更“e”，因为它将可能的投资类别减少到较小的数目。

Buridan的公理和均值-变量我们现在总结了我们自己对广义均值-方差分析的反证，非常符合Borch的精神，然后通过考虑允许两种决策方式之间的p人工协调的可接受资产类别的可能的理论和实际限制，站在Baron一边。遵循Markowitz最初对均值-变量框架的阐述的规则，我们的分析是以标准差σ而不是方差σ来展开的。6.1决策公理根据(σ，μ)假设存在一个价值函数g(σ，μ)，它捕捉了(σ，μ)-资产的优点或优点，即越大的g意味着越大的价值。两个资产(σ，μ)和(σ，μ)之间的关系是指g(σ，μ)=g(σ，μ)。连续单调性公理，价值函数g(σ，μ)是连续的，每σ严格按μ递增，s每μ按σ递减。这些性质贯穿于(σ，μ)半平面，σ≥0。连续性意味着当σ或μ略有变化时，价值不会发生突然变化。严格单调性Re决定了μ或σ的任何变化，无论其大小，都是正的或负的。有限性要求σ中的任何增量都可以由μ中的su_cientlylarge gionnite增量设置。这种amerit函数的存在意味着传递性，这意味着如果X优先于Y，而Y优先于Z，那么X优先于Z（当偏好被indi？erence代替时也是如此）。Buridan公理。如果一个决策者在两个资产i=1和i=2之间，那么他也必须在其中任何一个资产与概率均值-方差和期望效用之间。2.公理决策分析，用(σ，μ)表示。混合资产以概率α产生（与Payo相同）i=1，以概率(1-α)产生（与Payo相同）i=2，其中α取任意值α∈[0,1]。因此，根据g(σ，μ)的优点，g(σ，μ)=g(σ，μ)蕴涵g(σ，μ)=g(σ，μ)=g(σ，μ)=g(σα，μα)，其中σα和μα表示纯资产的α-混合物（对于任何概率α)的主题和标准偏差。注意，Buridan公理是EU中独立性公理的必然推论。现在的问题是，仅根据(σ，μ)构造的决策分析能否与这两个公理共存。考虑一个σ=0的资产，在理论上被称为“无风险”资产，用政府债券近似。让该资产返回μ，如图2中的A点所示，坐标为(0，μ)。现在取任意的σ>0和点(σ，μ)表示所有的σ>0。这些代表风险资产，其中坐标为(σ，μ)的资产B不如资产A（其“价值”低于），因为它有μ=μ，但σ更大。当μ从μ增加时，σ=σ上的资产在m上增加，因此，在某个点C，当coordin ates(σ，μ)时，较高的回报μ=μ正好补偿了相关的风险σ，使得决策者在C和A之间存在。CMF公理保证了μ的存在。假设决策者在资产A在(σ=0,μ)和资产C在(σ，μ)之间存在，布里丹公理规定，这种存在扩展到A和C的随机混合，其中A是以机会α选择的。任意对(σ)的suchanα-混合资产的Payo x，μ)和(σ，μ)的期望是μ=E(x)=αμ+(1-α)μ(5)和E(x)=α(μ+σ)+(1-α)(μ+σ)=αμ+(1-α)(μ+σ)(σ=0)。由于var(x)=E(x)-E(x)，简单代数给出σ=var(x)=ασ+(1-α)σ+α(1-α)σ+α(Ω-μ)(6)=(1-α)σ+α(1-α)σ+α(σ-α)(σ-μ)(σ=0)的方法与Baron(1977)的发现相同，第1685页。请注意，方程（5）和（6）一般适用于规定的α，并且不要求σ=0或独立的Payo s。方程（5）说，混合重集的平均值是μ和μ的加权平均值。

方程（6）说方差不具有这种性质；它的值不是简单的ασ+(1-α)σ，而是由一个额外的项α(1-α)(μ-μ)所对应，该项由两个下变量之间的差值决定。为了满足Buridan的要求，决策者必须在两个原始资产A和C与一组α-混合资产之间建立关系，这些资产的参数(σα，μα)由（5）和（6）给出，α取值在0和1之间。这些资产位于一条连接a和C的曲线上。这条曲线的方程（即Buridan公理所隐含的indi-erence曲线）是通过求解（5）和（6）来消除α，给出σ+[μ-(ρ+μ)]=ρ，(7)，其中ρ=[σ/(μ-μ)+(μ-μ)]。注意，基于Buridan的indi-erence曲线（7）在(σ，μ)平面上是一个圆的形式，中心在(0，μ+ρ)，半径为ρ(0,μ+ρ)（因此有记号）。从理论上讲，没有两个内向型Erence圆可以相交。虽然（7）rep是一个完整的圆，但进一步的考虑表明，只有这个圆的一部分构成了一条合理的内向型Erence曲线。(7)σ<0的部分可以忽略，因为负σ不存在。四分之一圆DE也可以忽略，因为在D和E8之间的（7）上的任何一点，D.JOHNSTONE和D.Lindley都比D好。在连续性公理下，它有更小的σ和更大的μ。这就只剩下四分之一圆AD，作为一条合理的indi-erence曲线，因为到目前为止，从Buridan公理中只得到了a，C之间的部分。因此，仍然要研究C和D之间的弧，其中σ<σ≤ρ.设σ*落在这个区间内，并考虑垂直方向σ=σ*上的所有资产(σ*,μ)。就像σ一样，CMF公理要求在这条线上有一个资产F，它具有su_cityly highμ以使决策者在F和无风险资产A之间建立联系。当应用于σ*时，与σ有关的逻辑，导致通过A和C得到一个联系循环，通过A和F得到一个联系循环，并与theline相交通过BC。只有当F通过ac位于原圆上时，这才是可能的。否则，有两个间接点，均为σ=σ，但间接点均为μ。在th e区间σ<σ*≤ρ，用th作为所有可能σ*的自变量，通过AC的无差别圆扩展到D，从而完成四分之一圆。接下来考虑任何具有σ>ρ的资产。决策者不能在这个区域的一个点和a之间，布里丹公理将在与a相同的内圆上有任何一个点，在重复上面的论点时，这里会有矛盾w，即曲线与常数σ<ρ的任何直线相交，例如通过B和C的直线。更具体地说，σ>ρ中的所有点都必须比a差。为了看到这一点，考虑点L，它具有与a差的平均值相同的平均值，因为它的标准差更高。现在假设有一个像G，这样的点，它的m ean很大，它比a好，尽管它的标准差和L相同，那么通过连续性，在L和G之间一定有一个点，它与a之间是直接的。但这又是不可能的，因为它会与现有的直接的Erence曲线产生矛盾。因此，所有与σ>ρ相似的点都必须劣于A，因而在曲线上比AD低（半径大）。最后，考虑相对于D的东北象限的资产，其中μ>μ+ρ，σ>ρ.更具体地说，考虑三个标记为H和K以及M的资产，它们将e定义为一个带有角HKMD的矩形。其中，H优于D，因为它具有更高的平均μ\'>μ+ρ，以及相同的标准D视差σ>ρ.同样，D比M，因为它有相同的平均值和更低的σ。因此，让sy mbolize“是首选的”，H D M。同样地，由同样的推理，H K M。然而，不幸的是，these首选项并没有完成矩形，因为它们并不意味着D和k之间的任何顺序。

然而，K和H在一条常均值线上，所以在H和K之间的这条线上一定有一个资产N，它与D直接相关，因而也与a直接相关，这样就与已经存在的内源性圆AD相矛盾。通过同样的论证，这一次假定K D（暂时忘记这个顺序已经被证明是不可能的），在M和K之间的常数σ线上一定有一个进一步的点P与D和a直接相关，这再次与现有的间接关系曲线Ad相矛盾。因此，不可能以符合布尔伊丹和CMF公理的方式解决矩形HKMD内的所有优先关系。避免这种不一致的唯一方法是从考虑的资产类别中排除所有资产，如K与μ>μ+ρ、σ>ρ.在e-ect中，这排除了RD inFigure1线以上的所有点μ>μ+ρ，因为资产D位于以μ+ρ为中心的任意半径的内点上。因此，其含义是，不可能在一个MV b asis上运行所有可能资产的kthe类，而这个kthe类与任何一致的MV决策框架看来都是必要的公理相一致。这是Borch(1969)的反例，但可以通过一条更一般的推理路线来达到。调和MV和EUFrameworks与Borch悖论相反，通过限制资产类别（如上文所述）或对决策模型施加限制其理论一般性和可能的实际相关性的其他限制，有可能制造出合理的(σ，μ)内源性Erence曲线。我们现在讨论了形成可行的内源性曲线的最常见的方法，其中我们指的是一个MV决策框架，它产生了与显式基于EU.7.1二次效用均值-方差分析相同的投资选择（给定分布集的相同排序），只要可用资产的回报被限制为适合这种特定效用函数均值-方差和期望效用9，那么可以在通常不可信的二次效用假设下工作。由于任何效用函数都具有任意的位置和尺度，因此只有一个参数可供选择，我们可以将任何风险厌恶的二次性写为u(x)=2ax-x，对于某些a>0，隐式u(0)=0和最大aat x=a。期望度为:eu=2aμ-(σ+μ)(8)=-σ-(Ω-a)+a，且内源性曲线为圆心为(0，a)的圆，其半径不同，取决于常见的Eu。由于这些圈是用期望效用得到的，所以它们自动满足buridan，二次效用(QU)在个人满足点之外表现出负边际价值。然而，一个协调一致的欧盟决定框架可能会假设QU假设，在u(x)在x中减少的领域中，所考虑的资产类别（分配）中没有哪一类存在可能的财富x。在图2中，最大可能二次u性的点x=a由R=(0,a）表示，在这种情况下a等于μ+ρ.没有可能的payo x exceedsa,wh er e x要么是确定的结果，要么是不确定的结果，当然意味着μ≤a。因此，通过对所有可容许的资产应用这种关于可能的支付条件S x的条件，分析只允许具有μ<a的资产，因此只允许位于图2中资产R（线RD）之下的资产。这是我们在对MV-的公理批判中发现可以接受的(σ，μ)半平面的区域。然而，重要的是要注意，不能排除任何μ≥a[如果d(EU)/dμ=2(A-μ)≤0]的资产，因为这个条件不足以排除所有一个或多个可能的财富支付量s x超过a的资产。