长期投资中的稳健投资组合与弱激励

对于任意∈(0,1）,边际效用比的收敛性（2.2）得到了一些超大的M的存在性，使得(3.5)(1-)xp-1≤U(x)≤(1+)xp-1,对于x≥m。直到更大的M,我们可以假定泛型效用U对于x≥m是可微的。当p∈(0,1）,对于x≥m,在（m,x）上积分（3.5）给出估计ini）。当p<0时，对x≥m的(x，∞)进行积分(3.5)，并在假设2.2iii)c中使用U(∞)=0得到ii）中的估计。对于U的规律性变化，i)givelim supx↑∞U(cx)U(x)≤lim supx↑∞(1+)(cx)p/p+a(1-)xp/p+b=1+1-cp,对于任意c>0,得到lim supx→∞U(cx)/U(x)≤cp。类似地得到了lim INFX→∞u(cx)/u(x)≥cp.因此，U是有规律地变化的。在p<0的情况下，用相同的直线得到了U的正则变化。由于U是可微的，并且在非常大的财富水平上是严格凹的（如假设2.2i))，当一些非常小的y>0时，y∈(0,y)时，次微分-V(y)是单值的，并且等于(U)-1(y)。SetI(y):=-V(y)=(U)-1(y)，对y∈(0，y)。引理3.4假定（2.2）成立。则:(3.6)Limy↓0I(y)Y1–P=1。证明。集合x=I(y)，它趋向于y↓0。然后，(3.6)从mi(y)yp-1=i(U(x))(U(x))p-1=x(U(x))p-1=xp-1u(x)p-1→1中得出，作为y↓0，其中收敛性由于（2.2）而保持不变。现在让我们验证定理3.1的先决条件。引理3.5让假设2.2成立。则dom(V)=[0,∞).证明。对于p<0的情形，我们证明了该陈述；对于0<p<1和p=0的证明是相似的。当U随limx↑∞U(x)=0而增大时，对于任意x,y>0,U(x)-xy≤0。因此，对于任意y>0，则V(y)≤0。为了得到V的一个下界，回想一下（3.4）中的第二个不等式，它给出了x≥m时U的一个下界。对于相同的m，(2.3)意味着存在cm<0，使得对于x<m，U(x)≥cmxp-1。因此，当y较小时，V(y)从下面被(1+)xp/p的凸对偶限定，该凸对偶为-(1+)1-pp-1pypp-1；当y较大时，V(y)从下面被cmxp-1的凸对偶限定，该凸对偶为-p-1 p-1 2((p-1）CM)-p-1 2yp-1 p-1 2。当y∈(0,∞）时，凸对偶函数大于负对偶函数。因此，当dom(V)=(0,∞)时，y∈(0,∞)的V(y)>-∞。引理3.6泛型效用U的凸对偶V证明了对偶渐近弹性条件。长期投资中的稳健投资组合和弱激励13证明。当-V(y)=I(y)对于超小y时，该语句等价于tolim supy↓0yi(y)V(y)<∞。对于任何>0，(3.6)对于非常小的y，(1-)yp-1≤I(y)≤(1+)yp-1，例如对于某些y，y≤y。对(y，y)上的不等式进行积分得到V(y)≥(1-)～V(y)+d，对于y≤y和某些d。然后，lim supy↓0yi(y)V(y)<∞从这个V(y)的下界和I(y)的上界得到。引理3.7证明了值函数uT，～UTIN(2.4)和vT，～VTIN(3.1)。如果p<0,（3.6）得到I(y)≤(1+)yp-1。对这个不等式(y，y)进行积分得到V(y)≤(1+)～V(y)+～d，y≤y，对于一些～d。当~V(y)<0且V(y)递减时，该上界意味着V(y)从(0，∞)上一致有界，使得对于任意y>0的vT(y)<∞。另一方面，由~U(x)≤0和（3.4）中的firerst不等式可知U(x)从上面一致有界，因此对于任何T>0的uT<∞。当0≤p<1时，与p<0的情况相同的参数给出V(y)≤(1+)～V(y)+～D，y≤y，对于某个～D。当V(y)递减时，对于y≥y，V(y)从上也有界。将V(y)的这个上界与假设2.3结合，给出了对于任意T>0和y>0的vT(y)<∞。因此，由于对偶关系ut≤infy>0(vT(y)+y)，uTis也是正确的。前面的三个引理验证了定理3.1中的所有假设，因此其中的陈述成立。

对于等弹性问题UT，我们回顾（Guasoni and Robertson,2012,引理5）中的对偶结果，该结果将在下文中经常使用。引理3.8设X，Y是ft可测的随机变量，使得X，Y>0且e[XY]≤1。然后，对于任意06=p<1,pe[Xp]≤pe[Yq]1-p,对于q=pp-1,等式成立当且仅当e[XY]=1,xp-1=αY对于某些α>0.最后，我们注意到假设2.1中的limT→∞st=∞对于随机贴现因子蕴涵如下的长期性质:(3.7)limT→∞supy∈ye[YT]=0.确实，完全安全投资是可容许的，因此对于任意Y∈Y,sy收益率S≥ste[YT]的上鞅性质从假设2.1.4得到断言（3.7）。p6=0主结果的证明当响应的等弹性效用是幂型(p6=0)或对数型(p=0)时，需要不同的参数来证明主结果。首先考虑p6=0的情况。从引理3.3中回想一下，泛型实用工具U在infountity处有规律地变化。结果，确定因子之比的收敛性（2.6）来自于各效用之比的收敛性：引理4.1让假设2.1-2.3成立。则（2.6）成立，条件是(4.1)limT→∞e[u(XTT)]e[u(～XTT)]=1.14 PAOLO GUASONI，JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xingproof。为了简化表示法，定义aT=u-1(E[u(XTT)])和bt=u-1(E[u(～XTT)])，并注意aT，bt≥0和aT≥bt，观察limT→∞aT=limT→∞bt=∞。的确，对于p∈(0，1)，limT→∞e[u(XTT)]≥limT→∞e[u(ST)]=∞是由limx↑∞u(x)=∞（参见（3.3）中的不等式）和假设2.1得到的。鉴于(4.1)，我们还得到了velimt→∞e[u(～xtt)]=∞。当u-1(∞)=∞时，此条件为limT→∞AT=limT→∞BT=∞。当p<0时，论证是类似的，不同之处在于tu(∞)=0，从这里两个期望效用都收敛到零，因此确定性也变成了确定性。现在，用矛盾来证明（2.6）。假定对于任何>0的情形，存在一个序列{Tn}n≥0,其中limn→∞Tn=∞,使得atn/btn≥1+.对于p∈(0,1）,U在infountity中的正则变分蕴涵atlim inftn→∞U(aTn)U(bTn)≥lim inftn→∞U(1+)bTn)U(bTn)=(1+)p>1。对于p<0,不等式U(bTn)<0和U在infountity中的正则变分蕴涵atlim suptn→∞U(aTn)U(bTn)≤lim suptn→∞U((1+)bTn)U(bTn)=(1+)p<1,上述两个不等式与（4.1）相矛盾。因此，为了证明定理2.4，它仍然需要表明如下：命题4.2让假设2.1-2.3成立。然后(4.2)limT→∞e[u(XTT)]e[u(～XTT)]=1。为了比较T→∞时的效用e[u(XTT)]和e[u(～XTT)],将它们与最大等弹性效用e[(～XTT)p/p]进行比较。因此，对于0<p<1和p<0，我们分别证明了命题4.2，因为在每种情况下，低财富水平的贡献需要不同的处理。命题4.2对0<p<1的证明。我们将重点放在等弹性投资组合的长期表现~XTT上。引理4.3让假设2.1-2.3成立。则:limt→∞e[u(～xtt)]e[(～xtt)p/p]=1。证明。为了简化表示法，在整个证明中省略了~xttis中的上标T。通过(3.3)，EhU(～xt)I{～xt<m}ie[～xpt/p]+bp(～xt≥m)e[～xpt/p]+(1-)Eh(～xt)pI{～xt≥m}ie[～xpt]≤e[U(～xt)]e[～xpt/p]≤EhU(～xt)I{～xt<m}ie[～xpt/p]+ap(～xt≥m)e[～xpt/p]+(1+)Eh(～xt)pI{～xt≥m}4.3）长期投资中的稳健投资组合和弱激励15注意U(～xt)从下面是一致有界的，因为这是对一般效用U，CF的假设。假设2.2iii)-a)。根据假设2.1，当limT→∞e[~xpt/p]≥limT→∞e[(ST)p/p]=∞时，这意味着(4.3)两边的两个条件在T→∞时收敛到零。现在，关注第三项。通过(4.4)dptdp=~xpte[~xpt]定义一个辅助概率测度PTon ft，其中的期望根据引理3.7而定义。

回想一下第3节，～yt～ytt=～xp-1t，此外，1=e[～ytt～xt]≥e[～yttxt]，因此，对于任何可容许的财富过程x，(4.5)0≥eh～yt～ytt(xt-～xt)i=eh～xp-1t(xt-～xt)i=eh～xp-1t(xt-～xt)i=xt-1。对于任何N>0，这个不等式产生(4.6)limT→∞pt(～xt≥N)=1。实际上，选择xt=STin(4.5)，它遵循1≥ept[st/～xt]≥epthst/～xti{st≥L，～xt≤N}NPT(st≥L，～xt≤N),对于任何正的L和N。结合假设2.1，得到了Slim supT→∞PT(～xt≤N)≤lim supT→∞PT(st≥L,～xt≤N)+lim supT→∞PT(st<L)≤N/L，由于L是任意性的，因此符合（4.6）。现在回到(4.3)上下界的第三项Eh(～xt)pI{～xt≥m}ie[～xpt]=PT(～xt≥m)→1,作为T→∞,其中收敛性如下（4.6）。因此，上述在（4.3）两侧的估计结果为:1-≤lim infT→∞e[u(～xt)]e[～xpt]≤lim supT→∞e[u(～xt)]e[～xpt]≤1+，这证明了该断言是任意选择的。命题4.2的证明（因此是主要结果）如下：（3.3）中的下界是[u(～xtt)I{～xtt≥m}]≥(1-)e[(～xtt)p/p I{～xtt≥m}]+b(～xtt≥m)，当T→∞时收敛到∞,因为limT→∞e[(～xtt)p/p]≥limT→∞e[(ST)p/p]=∞来自假设2.1。因此，假定Uis从下有界，limT→∞e[u(～xtt)]=∞。另一方面，泛型效用U的XTT的最优性为E[U(～XTT)]≤E[U(XTT)]，因此Liminft→∞E[U(XTT)]e[U(～XTT)]≥1.16 PAOLO GUASONI，JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing因此，命题4.2表明Limsupt→∞E[U(XTT)]e[U(～XTT)]≤1。鉴于引理4.3，我们需要证明Limsupt→∞E[U(XTT)]e[(～XTT)p/p]≤1。为了建立这个不等式，我们从以下辅助结果开始：引理4.4假定假设2.1-2.3成立，且设p∈(0,1）。则:1=limT→∞e[(YTT)q]1-pe[(～YTT)q]1-p=limT→∞yt～yt。证明。为了简化表示法，我们在整个证明中省略了XT、～XT、YT和～YT中的上标T。对于（3.5）中的m,XY的鞅性质为1=e[XTYT]=yte^U(XT)XTI{XT≥m}+e[xtyti{XT<m}]≤1+ytehxp-1txti{XT≥m}i+e[xtyti{XT<m}]。（4.7）这里，当XT≥m时，第二个恒等式使用了规则序条件U(XT)=ytyt，不等式是（3.5）中第二个不等式的结果。当T→∞时，(4.7)右边的第二项由于（3.7）而消失。就术语而言，注意：对于任意y∈Y，E[xtyt]≤1，因此，引理3.8得出(4.8)pe[XpT]≤pe[yqt]1-p,对于q=pp-1。前面的不等式和p>0意味着，对于任意y∈y，lim infT→∞e[XpT]≤lim infT→∞e[XpT]≤lim infT→∞e[xqt]1-p。回到（4.7）,对于任意y∈y，(3.6),右边两项的估计结果(4.9)1+≤lim infT→∞yte[yqt]1-p。对于任意y∈y，(3.6)表明存在一个非常小的δ<y，(4.10)(1。）-)Yp-1≤I(y)≤(1+)Yp-1，对于y<δ.固定这样的δ；XY的鞅性质意味着(4.11)1=E[XTYT]=E→YTI(yTYT)I{yTYT≤δ}+E→YTXTI{yTYT>δ}，其中对于yTYT≤δ的第二恒等式是XT=I(yTYT)。继续估算右边的第二项。设V-是凸函数V的增左导数。那么，-V-(y)在y处支配该微分-V的所有其他元素，即，对于任意x∈-V(y)而言，-V-(y)≥x。此外，当-V-不增加时，存在Cδ，使得对于任意x∈-V(y)andy>δ的x≤Cδ。鉴于（3.2）,因此当ytyt>δ时，xt≤cδ。因此，(3.7)Givese\\ytxti{yTYT>δ}≤Cδe\\yti{yTYT>δ}→0,作为T→∞.长期投资中的稳健投资组合与弱激励17转向(4.11)右边的festrin项，它从(4.10)中的festrin不等式中得出如下：yti(yTYT)I{yTYT≤δ}≥(1-)e[yqti{yTYT≤δ}](yT)1/(1-p)=1-(yT)1/(1-p)e[YqT]-1-(yT)1/(1-p)e[YqT]-1-(yT)1/(1-p)e[yqti{yTYT>δ}δ}]。（4.12）这里，第二项随着视界的增长趋于零，因为(yT)1/(1-p)e[yqti{yTYT>δ}]=e[yT(yTYT)p-1i{yTYT>δ}]≤δp-1e[yT]→0，由于（3.7）。

这些估计与(4.11)和(4.12)一起意味着:1-≥lim supT→∞(yT)1/(1-p)e[YqT]。将两边提高到(1-p)的幂，并使用对二元问题～vtin(3.1)的最优性～y，我们得到1-1-p≥lim supT→∞yte[YqT]1-p≥lim supT→∞yte[YqT]1-p。与(4.9)一起，并回顾是任意选择的，下面是1=limT→∞yte[YqT]1-p=limT→∞yte[YqT]1-p。与～xpt]=～yT（参见引理3.8)，这产生了断言。我们现在准备完成命题4.2的证明，以及主要定理2.4，对于0<p<1的情形。对于0<p<1的命题4.2的证明。我们继续省略上标T。正如引理4.4前所讨论的，它可以证明(4.13)lim supT→∞E[u(XT)]E[~XpT/p]≤1。（3.3）中的第二个不等式[u(XT)]E[~XpT/p]=E[u(XT)I{XT<m}]E[~XpT/p]+E[u(XT)I{XT<m}]E[~XpT/p]≤eutu(XT)I{XT<m}u(XT)I{XT<m}E[~XpT/p]+a p(XT≥m)E[~XpT/p]+(1+)E[XpT]E[~XpT]。（4.14）正如我们在引理4.3的证明中所看到的，右边的两个项为T→∞。对于第三种，引理3.8蕴涵(1/p)E[XpT]≤(1/p)E[YqT]1-pso，lim supT→∞E[XpT]≤lim supT→∞E[YqT]1-p，对于q=p/(p-1)，因为p>0.18 PAOLO GUASONI，JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing；另一方面，E[～XpT]=E[～YqT]1-p（同样参见引理3.8）。因此，前面的估计与(4.14)implylim supT→∞e[u(XT)]e[～xpt/p]≤(1+)lim supT→∞e[YqT]1-pe[～YqT]1-p=1+，其中最后一个恒等式来自引理4.4。因此，断言（4.13）是错误的，因为它是任意选择的。4.2。命题4.2对p<0的证明。总体策略与case0<p<1相似。然而，低财富水平对总期望效用的贡献更为微妙，因为效用可能从低于零处无界，当T→∞时，价值函数uTand～Ut收敛到零，而不是完全收敛。因此，需要对U做额外的假设(2.3)，以确保低财富水平的贡献在长期内仍然可以忽略不计。我们从以下类似的卵泡4.3开始，引理4.5让假设2.1和2.2成立。则:limt→∞e[u(～xtt)]e[(～xtt)p/p]=1。证明。为了简化表示法，在整个证明中省略了~XTAND~YTIS中的上标T。鉴于(3.4)，我们有ehu(～xt)I{～xt<m}ie[～xpt/p]+(1-)eh～xpti{～xt≥m}ie[～xpt]≤e[u(～xt)]e[～xpt/p]≤ehu(～xt)I{～xt<m}ie[～xpt/p]+(1+)eh～xpti{～xt≥m}ie[～xpt]。（4.15）让我们分别估计上下界中的两个项。对于第二项，与引理4.3的证明类似，利用辅助测量，产量(4.16)limT→∞eh～xpti{～xt≥m}ie[～xpt]=1。与引理4.3的证明相比，在p<0的情况下，对该项在（4.15）的上下界的估计不同。这里，firerst-ordercondition～xp-1t=～yt～yt，以及～y～x的鞅性质意味着e[～xpt]=～yt。另一方面，由（2.3）可知，对于常数cm>0，pU(x)≤cmxp-1，这是因为0≥UT≥E[u(ST)]，limT→∞e[u(ST)]=0是由于limT→∞ST=∞和limx↑∞u(x)=0。同样的陈述也适用于等弹性效用～U的稳健投资组合和长期投资中的弱激励19，以及任意x<m。因此:E[U(～xt)I{～xt<m}]e[～xpt/p]=e[p U(～xt)I{～xt<m}]～yt≤cme[～xp-1ti{～xt<m}]～yt=cme[～ytti{～xt<m}]→0，作为T→∞。（4.17）因此，(4.15)中的上下界的有限项随着地平线而消失。与(4.15)和(4.16)一起得出:1-≤lim infT→∞e[u(～xt)]e[～xpt/p]≤lim supT→∞e[u(～xt)]e[～xpt/p]≤1+，因为ε是任意的。备注4.6。第6节的反例将使用（4.17）中相对于预期电力效用的低财富水平的贡献计算。

因此，为了将来的参考，我们在这里总结如下：对于满足(2.3)的任何M和U，limT→∞e[U(～xtt)I{～xtt<M}]e[(～xtt)p/p]=0。仔细检查（4.17）表明U不需要凹来保证上述收敛性。与0<p<1的情况类似，命题4.2的证明（因此我们的结果）现在如下进行。对于效用U，XTT的最优性是:[U(～XTT)]≤e[U(XTT)]<0，因此对于任何T>0，则[U(XTT)]e[U(～XTT)]≤1。因此，命题4.2表明lim infT→∞e[U(XTT)]e[U(～XTT)]≥1。由于引理4.5，它可以得到结论infT→∞e[U(XTT)]e[(～XTT)p/p]≥1，这将在续集中建立。下面的辅助结果是引理4.4的类似结果：引理4.7假设假设2.1和2.2对p<0成立。然后，即使假设(2.3):1=limT→∞e[(YTT)q]1-pe[(～YTT)q]1-p=limT→∞yt～yt.证明。为了简化表示法，我们在整个证明中再次省略了XT、～XT、YT和～YT中的上标T。回到（4.11）,利用20 PAOLO GUASONI,JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing方程(4.10)中的第二不等式，1≤(1+)e[Yqti{Ytyt≤δ}](yT)1/(1-p)+e[YqT](yT)1/(1-p)+e[Ytxti{Ytyt>δ}，(4.18)其中q=p/(p-1)。现在，重复（4.11）之后的论点，在右边的第二项随着T→∞而消失。那么，将（4.18）的两侧提高到(1-p)-thpower,得到(4.19)1+1-p≤lim infT→∞yte[YqT]1-p≤lim infT→∞yte[～YqT]1-p，其中第二个不等式来自对偶问题～vtin(3.1)的最优性～y。另一方面，对于任何>0的修改，由（2.2）可知(4.20)limx↑∞u(x)(x+a)p-1=1。因此，对于任何>0,存在m,a>0,使得U(x)存在并且(4.21)(1-)(x+a)p-1≤U(x)≤(1+)(x+a)p-1,对于x≥m,a.XY的鞅性质，对于largeXT,ytyt=U(XT)的序条件ytyt=U(XT),以及(4.21)中的不等式依次产生1=e[XTYT]=e^xtyti{XT<m,a}-ayte^U(XT)I{XT≥m,a}+yte^U(XT)(XT+a)I{XT≥m,a}≥e^xtyti{XT<m,a}-ae^yti{XT≥m,a}+(1-)yte^(XT+a)pI{XT≥m,a}。到（3.7）,当T→∞时，右边的两项为零。因此，1-≥lim supT→∞yte[(xt+a)pI{xt≥m,a}]≥lim supT→∞yte[(xt+a)p]-lim supT→∞yte[(xt+a)pI{xt<m,a}]。（4.22）让我们估计下面右边的第二项。为此，p<0和xt≥0意味着tyte[(xt+a)pI{xt<m,a}]≤apyte[i{xt<m,a}]≤apyteytytδmi{xt<m,a}=apδme[yti{xt<m,a}]→0，作为T→∞,(4.23)，其中最后一步再次是（3.7）的结果。这里，δ是一个正常数，ytyt≥δmon{xt<m,a}。这种附子存在的原因如下。注意xt∈-V(yTYT)，并且在长期投资中，每个因素x都会影响投资组合和弱激励21-V(y)支配-V+(y)，其中V+(y)是V在y处的右导数。当y接近零时，V(y)是严格凸的，-V+是严格递减的。与-V+(0)=∞一起，这意味着存在δm>0，使得-v+(y)≥m，afory<δm，反过来ytyt≥δmon{xt<m,a}。鉴于（4.23）,随着视界的增长，(4.22)右边的第二项消失，因此1-≥lim supT→∞yte[(xt+a)p]。现在注意，对于任意y∈y，Eh(xt+a)ytae[yt]+1i≤1，因此引理3.8表示(4.24)pe[(xt+a)p]≤pe[yqt]1-p(Ae[yt]+1)-p，对于q=pp-1。考虑到limT→∞e[yt]=0和p<0，前面的两个不等式意味着(4.25)1-≥lim supT→∞yte[(xt+a)p]≥lim supT→∞yte[(xt+a)p]≥lim supT=0。t→∞yte[yqt]1-p，对于任意y∈y，尤其对于ytand～yt成立。将这个不等式与(4.19)结合起来，并回顾任意选择的不等式，它得到1=limT→∞yte[YqT]1-p=limT→∞yte[～YqT]1-p。与E[～YqT]1-p=E[～xpt]=～yt（参见引理3.8)，这产生了断言。我们现在准备完成命题4.2的证明，以及在p<0的情况下定理2.4的证明。对于p<0的命题4.2的证明。正如引理4.7前所讨论的，它证明了(4.26)lim infT→∞e[u(XT)]e[～xpt/p]≥1。Fix a>0。

回想一下limx↑∞u(x)/(x+a)p-1=1乘（4.20）。如（3.4）所示，(4.27)(1-)(x+a)p/p≥U(x)≥(1+)(x+a)p/p，对于x≥m,a。因此，E[U(XT)]e[～xpt/p]=e[U(XT)I{XT<m,a}]e[～xpt/p]+e[U(XT)I{XT≥m,a}]e[～xpt/p]≥(1-)e[(XT+a)pI{XT≥m,a}]e[～xpt/p]=(1-)e[(XT+a)pI{XT≥m,a}a)pI{XT<m,a}]e[～xpt]，其中不等式来自（4.27）中的fiffrst不等式，乘以两边的p<0。我们已经在(4.23)中看到，Yte[(XT+a)pI{XT<m,a}]=0.22PAOLO GUASONI，JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO XINGAs E[～xpt]=～yt，limT→∞yt/～yt=1通过引理4.7,它遵循着limT→∞e[(XT+a)pI{XT<m,a}]e[～xpt]=0,并且依次为(4.28)lim infT→∞e[u(XT)]e[～xpt/p]≥(1-)lim infT→∞e[(XT+a)p]e[～xpt]，现在取Y为(4.24)成为Y。然后，当limT→∞E[YT]=0和E[～xpt]=E[～YqT]1-p，通过引理3.8的另一个应用，从(4.28)和引理4.7得出lim infT→∞E[u(XT)]E[～xpt/p]≥(1-)lim infT→∞E[(XT+a)p]E[～xpt]≥(1-)lim infT→∞E[YqT]1-pe[～YqT]1-p=1-.由于是任意的，这证明了（4.26）和命题4.2。5.对于p=0的主要结果的证明如果p=0，则等弹性效用～u是对数的，并且--与幂casep 6=0相比--需要不同的参数来建立主要结果。在这种情况下，边际效用比率的收敛性（2.2）意味着：引理5.1假设（2.2）成立。那么，对于任何>0，存在一个最大值，使得(1-)(a-b)≤logu-1(a)u-1(b)≤(1+)(a-b)，对于a≥b≥m.证明。对于任意的∈(0,1）,引理3.3项i中相同的论证得到m的存在性，使得(5.1)(1-)log x+b≤U(x)≤(1+)log x+a，对于x≥m和常数a，b。下界为limx↑∞u(x)=∞。设y=U(x)；则x↑∞为y↑∞。结合边际效用比（2.2）的收敛性，得到(u-1)(y)u-1(y)=xu(x)→1,即y↑∞。因此，当y≥m时，1-≤(log u-1(y))≤1+，必要时将m放大后，在区间（b,a）上对a≥b≥m积分得出结论。从长期来看，对于相应的最优投资组合和它的等弹性对应组合，一般的期望效用是不同的：引理5.2让假设2.1-2.3成立。ThenlimT→∞e[u(XTT)]=limT→∞e[u(～XTT)]=∞证明。再次，在整个证明中省略了XT、～XT和～ytis的上标T。当E[U(XT)]≥E[U(～XT)]通过XT的最优性时，第二个收敛被隐含。为了证明第二个收敛性，请注意(5.1)中的下界收益率(5.2)limT→∞e[u(～xt)I{～xt≥m}]≥(1-)e[log(～xt)I{～xt≥m}]+b p(～xt≥m)=∞。长期投资中的稳健投资组合和弱激励23这里，最后一个收敛性成立，因为对数效用的最优性~xt意味着limT→∞e[log(～xt)]≥limT→∞e[log(ST)]=∞乘limT→∞ST=∞。现在，转向低财富水平{～xt<m}的贡献。为此，假设（2.3）保证对于allx<m，U(x)≥cmx-1的CMSuce的存在。然后，E[u(～xt)I{～xt<m}]≥cme[(～xt)-1I{～xt<m}]。回想一下第3节，～x-1t=～yt～ytand～yt1。鉴于(3.7)，右手边的项因此在T→∞时收敛到零，因此lim infT→∞[u(～xt)I{～xt<m}]≥0。与（5.2）相结合，这个con将实现断言中的第二个收敛（反过来也是第二个收敛）。设置at=e[u(XTT)]和bt=e[u(～XTT)]。正如我们在上面所看到的，当T→∞时，在≥bt，两个效用都趋于满足。根据引理5.1，相应确定性当量之比的收敛量EU-1(aT)/U-1(bT)→1与效用在长期内消失的At-BtoF之差是相等的。这与幂次情形P6=0相反，在幂次情形中，确定因子比的收敛性与引理4.1中AT/BTOF利用率比的收敛性是等价的。因此，在p=0的情况下需要不同的估计。

另外，主要结果的证明是建立在以下长期渐近的基础上的，其技术证明推迟到5.1节。命题5.3设p=0，假设2.1-2.3成立。那么:i)p-limt→∞～xtt=∞；ii)p-limt→∞xtt=∞；iii)p-limt→∞xtt/～xtt=1。这里，p-limt→∞表示P概率收敛。有了命题5.3，我们现在可以完成P=0情况下的主要结果的证明:P=0的定理2.4的证明。在整个证明中再次省略了XT、～XT和～ytis的上标T。如前所述，由于引理5.1和5.2,它suf festo proverimit→∞e[U(XT)-U(～XT)]=0。当e[U(XT)]≥e[U(～XT)]时，我们只需证明(5.3)lim supT→∞e[U(XT)-U(～XT)]≤0。对于任何>0的情况，边际效用比的收敛性（2.2）意味着存在一个suf festary m，使得x(x)≤1+。结果:U(x)-U(～x)=zx～xyyu(y)dy≤(1+)(log x-log～x)，对于x≥～x≥m。恒等式～yt1来自于1=e[～XT/～XT]=e[～XT～yt]=～yt，其中e[～XT～yt]=1用于获得第三个恒等式。24 PAOLO GUASONI、JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing选择x=XTand～x=extin前面的不等式导致toeh U(XT)-U(～XT)i{～XT≥m，XT≥m}i≤eh～XT)i{XT≥～XT≥m}i≤(1+)e logxt～xti{XT≥～XT≥m}，(5.4)其中不等式成立，因为当XT<～XT时U(XT)<U(～XT)。现在，观察0≤e logxt～xti{xt>～xt≥m}≤e logxt～xti{xt>～xt}=e logxt～xtü1，而且，对于所有T>0，最后一个不等式由于~xt的数值性质成立，即对于任何可容许的x（参见(4.5)p=0)来说，e[xt/～xt]≤1。结果，de Lavallee-Poussin的判别准则（Shiryaev,1996,引理3）暗示族对数xt～xtü1在T中是一致可积的。连同提议5.3iii)，该结果为(5.5)limT→∞e logxt～xti{xt>～xt≥m}=0。鉴于（5.4）,下面是Lim supT→∞eh U(XT)-U(～XT)i{～XT≥m，XT≥m}i≤0。在接下来的两段中，我们将显示lim supT→∞eHu(XT)I{XT≤m orext≤m}I≤0,(5.6)lim infT→∞eHu(～XT)I{XT≤m或～XT≤m}I≥0。（5.7）将这三个不等式结合起来，得到（5.3）,然后在p=0的情况下完成定理2.4的证明。为了成立（5.6）,注意命题5.3 ii）giveslim supT→∞eàU(XT)I{XT≤m}≤U(m)lim supT→∞p(XT≤m)=0。长期投资中的稳健投资组合与弱激励25另一方面，[U(XT)I{XT>m,～XT≤m}]≤(1+)e[log(XT)I{XT>m,～XT≤m}]+a P(～XT≤m)≤(1+)e logxt～xti{XT>～XT}+(1+)e[log(～XT)I{x≥m,～XT≤m}]+a P(～XT≤m)≤(1+)e logxt～XT>～XT}+((1+)log m+a)P(～XT≤m)=(1+)e logxt～XTü1+((1+)log m+a)P(～XT≤m)。现在，命题5.3iii）和在（5.5）的导数中建立的一致可积性表明，当T→∞时，右边的第1项收敛于零。同样，由命题5.3i)，第二项也随着视界的增长而趋于零，符合（5.6）。为了证明(5.7)，请注意命题5.3ii所示的lim infT→∞e[U(～xt)i{～xt>m,xt≤m}]≥U(m)limT→∞p(～xt>m,xt≤m)=0。因此，(5.8)lim infT→∞e[U(～xt)I{～xt≤m}]≥0。为此，(2.3)给出了cm_1的存在性，使得U(x)≥cmx-1对于x≤m来说，当x≤m时，U(x)≥cmx-1t=～yt～yt=yt=1和(3.7)时，[U(～xt)I{～xt≤m}]≥cme[(～xt)-1I{～xt≤m}]=cme[～yti{～xt≤m}]→0,作为T→∞。因此（5.8）和（5.7）在这两种情况下都被证明，完成了定理2.4的证明。5.1.命题5.3的证明。本节通过建立辅助命题5.3对定理2.4在p=0中的证明进行了总结。在以下所有证明中，省略了～XT、XT、YT和～ytis中的上标T，以方便表示。我们从引理4.4的类似式开始：引理5.4设p=0，并假定假设2.1-2.3成立。ThenlimT→∞yt～yt=1,其中yt=1如我们以前所见（参见。

脚注15）.证明。这个证明遵循引理4.4中的论点，其中许多估计在p=0时被简化。的确，一方面，与（4.7）中相同的估计结果是1≤1+yte xtxti{xt≥m}+e[xtyti{xt<m}]≤1+yt+e[xtyti{xt<m}]。这里，项e[xtyti{xt<m}]由于(3.7)而作为T→∞消失，因此(5.9)1+≤lim infT→∞yt.26 PAOLO GUASONI、JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xining另一方面，导致（4.11）的相同论点也是结果1=e~yti(yTYT)I{yTYT≤δ}+e~yttx=e~yti{yTYT≤δ}Ti{yTYT>δ}，其中右侧的第二项随着T→∞消失，其原因与（4.11）后相同。关于第一项，(3.6)对于p=0表明，对于任何y<δ和一些非常小的δ，I(y)≥(1-)y-1。因此:E→yti(yTYT)I{yTYT≤δ}≥(1-)P(yTYT≤δ)YT=1-yt-1-ytp(yTYT>δ)。这里第二项也趋于零，因为eytp(yTYT>δ)=e ytytyti{yTYT>δ}≤δ-1 e[YT]→0，由于（3.7）。结合上述估计，我们得到(5.10)1-≥lim supT→∞yt。因此，由于ε是任意的，所以该断言接着结合（5.9）和（5.10）。利用前面的结果，我们现在可以验证命题5.3的两项。引理5.5设p=0，假设2.1-2.3成立。然后:p-limt→∞～xtt=∞和p-limt→∞xtt=∞。证明。回忆对数最优投资组合的数值性质(4.5)~x:E[xt/~xt]≤1对于任何T和任何可容许的回报x。断言的figurrst部分又逐字逐句地跟随在（4.6）的推导中，其中PTis取代了BYP。对于断言的第二部分，对于任意N>0，存在y≤yn的ati(y)>N。这里，yNis选择suf非常小，因此-V(y)是单值的，对于y≤yn用I(y)表示。对于选择的N,P(xt≤N)≤P(xt≤N,ytyt≤yN)+P(ytyt>yN),右边的第二项随着T→∞而消失，由于(3.7)，limT→∞yt/～yt=1,且～yt=1（参见引理5.4）。figurrst项确实是零，因为在{yTYT≤yN}上xt=I(yTYT)>N。因此，断言的第二部分如下。要完成命题5.3的证明，还需要验证第三项）。为此，建立了一些辅助结果：引理5.6假定假设2.1-2.3对p=0成立。则:p-limt→∞xttytt=1。证明。对于任何>0，边际效用比（2.2）的收敛性意味着M的存在性，使得U(x)在M之上是可微的，并且对于x≥M,xU(x)≥1-/2。对于这样的m，(5.11)P(xtyt≤1-)≤P(xtyt≤1-，xt≥m)+P(xt<m)。根据引理5.5，右边的第二项随着T→∞而消失。为了估计这一项，回想一下yt=U(XT)/yton{XT≥m}。因此，在长期投资中，forT≥t*,P(xtyt≤1-，XT≥m)=P XTU(XT)≤yT(1-)，XT≥m≤P(1-/2≤yT(1-))，稳健投资组合和弱激励27，其中不等式成立，因为在{XT≥m}上XTU(XT)≥1-/2。根据引理5.4,上述估计为limT→∞p(xtyt≤1-,xt≥m)=0。回到（5.11）,给出limT→∞p(xtyt≤1-）=0。沿着这条线，得到了limT→∞p(XTYT≥1+)=0的结果，完成了证明。推论5.7设p=0，假设假设2.1-2.3成立。则:limt→∞e[xttytt-1]=0。证明。通过在以前的引理Ande[XTTYTT]=1中建立的概率收敛，这是从Scheffe引理(Williams，1991，5.5.10)中得到的。设置rt=xtt/～xtt。下面的估计是证明命题5.3iii)的关键。引理5.8设p=0，假设假设2.1-2.3成立。那么:limt→∞e1-xttyttrt rt-1=0。证明。回想一下规则级条件～yt～yt=～x-1t。

当1=e[～yt～xt]≥e[～ytxt]时，它遵循[～x-1t(xt-～xt)]≤0。类似地，1=e[YTXT]≥e[YT～XT]产量[YT(～xt-xt)]≤0。将前面两个不等式加起来，并使用确认rT=xtt/～xtt=(5.12)0≥e[(～x-1t-yt)(xt-～XT)]=e1-xtytrt(Rt-1)。当xtyt≤rT≤1或1≤rT≤xtyt时，观察到(1-xtyt/rT)(Rt-1)≤0。因此，e“1-xtytrt(Rt-1)-#≤e1-xtytrt(1-rT)I{xtyt≤rT≤1或1≤rT≤xtyt}。当E[((1-xtyt/rT)(rt-1))+]≤E[((1-xtyt/rT)(rt-1))-]乘（5.12）时，它如下:1-xtytrt rt-1≤2e1-xtytrt(1-rT)I{xtyt≤rT≤1或1≤rT≤xtyt}。（5.13）现在，估计右侧的期望。在集合{XTYT≤rT≤1}上，我们有(1-XTYT/rT)(1-rT)≤(1-XTYT)，所以1-xtytrt(1-rT)I{XTYT≤rT≤1}≤eut(1-XTYT)I{XTYT≤1}≤e[(1-XTYT)I{XTYT≤1}]+e[(1-XTYT)I{1-<XTYT≤1}]≤P(XTYT≤1-)+，对于任何>0.28PAOLO GUASONI，JOHANNES MUHLE-KARBE，和HAO Xing引理5.6表明右边的fyrrs项消失为T→∞。正如所选择的那样，此产率为(5.14)limT→∞e1-xtytrt(1-rT)I{XTYT≤rT≤1}=0。在{1≤rT≤XTYT}时，我们有XTYT/rT+rT≥2和(1-XTYT/rT)(1-rT)≤XTYT。因此:e1-xtytrt(1-rT)I{1≤rT≤XTYT}=e1-xtytrt(1-rT)I{1≤rT≤XTYT,XTYT≤1+}+e1-xtytrt(1-rT)I{1≤rT≤XTYT,XTYT≤XTYT t>1+}≤euto(1-XTYT)I{1≤rT≤XTYT,XTYT≤1+}+euto(xtyt-1)I{XTYT>1+}≤+e[xtyt-1]。根据推论5.7,右手边的第二项收敛于0,我们得到(5.15)limT→∞e1-xtytrt(1-rT)I{1≤rT≤xtyt}=0。(5.13)、(5.14)和（5.15）一起得到断言。我们现在准备完成命题5.3iii的证明。命题5.3iii的证明）。引理5.8意味着p-limt→∞(1-xtyt/rT)(1-rT)=0。与引理5.6结合，得到断言p-limt→∞rT=1。6.反例分析在本节中，我们对2.3节中的反例进行了详细的分析。回想一下，U(x)=xp/p，p<0表示非常大的x，U(x)=xput/p，put<p-1，表示x≤1。在下文中，我们将证明，如果(2.15)是给定的，那么(6.1)limT→∞e[U(～XT)]e[～U(～XT)]=∞和lim supT→∞e[U(XT)]e[～U(～XT)]≤1，因此(6.2)limT→∞e[U(～XT)]e[U(XT)]=∞是给定的(2.14)（参见引理3.1）。实际上，设置at=u-1(E[u(～XT)])和bt=u-1(E[u(XT)])。如果lim supT→∞e[u(～xt)]远离零有界，则lim supT→∞在<∞处。而当T→∞时，U(∞)=0和limT→∞ST=∞屈服于0≥e[U(XT)]≥e[U(ST)]→0，因此limT→∞bt=∞。因此，limT→∞at/bt=0成立。当稳健投资组合和弱激励长期投资29limT→∞e[u(～xt)]=0时，则limT→∞at=∞。当存在δ>0时，即Liminft→∞aT/bT≥δ，则Limsupt→∞U(aT)U(bT)≤Limsupt→∞U(δbT)U(bT)=δp<∞,因为U≤0与（6.2）相矛盾。为了证明(6.1)中的收敛性，本文给出了(6.3)limT→∞e[～xp→ti{～xt≤1}]e[～xpt]=∞。在Black-Scholes模型中，电力效用～U(x)=xp/p的最优风险权重为～π=1-pσ.从单位初始资本开始的相关财富过程为~xt=exp r+1-2p2(1-p)∑σt+1-pσσwt。简单的计算显示(6.4)~xputte[~xpt]=exp(pè-p)rT+pè(1-2p+pè)2(1-p)+qèσt e pè1-pèσwt，其中q=p/(p-1)。求出一个新的概率测度q~viadq~dpft=e~p~1–p~σwt，则w~T=wt–p~1–p~σT是[0,T]上的q~-布朗运动。因此，EP E p:/1-pTMσwt i{～xt≤1}=q:/1-pTMσwt≤-r+1+2p2(1-p)∑σt=q:/1-p∑σσt≤-rT-1-2p+2(1-p)∑σt=q:/1-p∑σσt√t≤-r√tTM1-2p+2p:/2(1-p)∑σσt，注意到-r:/1-2p+2p:/2(1-p)∑σ>-r+2(1-p)∑σ>r+2(1-p)∑σ>0，其中不等式从p:/<p-1开始，第二个不等式成立dueto/σ>2(1-p)r in（2.15）。

因此:limT→∞ep p}1-p}σwt i～xt≤1=limT→∞q:/1-p}σw}t√t≤-r√t://1-2p+2 p}2（1-p）σσt=1.（6.5）对于（6.4）右侧的指数因子，请注意p}（1-2p+p}）2（1-p）+q>030 PAOLO GUASONI、JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing，因为当p}<p}1时，p}（1-2p+p}）在p}中严格递减，所以p}（1-2p+p}）在p}中是严格递减的。如果(2.15)是给定的，则得出(6.6)(p*-p)r+p*(1-2p+p*)2(1-p)+qμσ=(p*-p)r+p*+1-p2(1-p)μσ>0，因此(6.4)右边的指数项发散为T→∞。因此，(6.3)是在考虑（6.5）后得到的。现在考虑（6.1）中的第二个收敛性。我们来证明(6.7)limT→∞e[U(XT)I{XT≤m}]e[～xp/p]=0。当市场完全时，存在一个公共的随机折扣因子yandyt，～yt>0，使得U(XT)=ytytand～xp-1t=～ytyt。因此，xt=iyt～yt～xp-1t，其中I=(U)-1。取值u*(T,x):=uIyt～ytxp-1。忆及U(x)=XP*/P*表示小x。因此，对于小x，u*(T,x)=p*yt～ytp*p*-1xp-1p*-1p*。另一方面，对于任何T≥Tdue toLemma 4.7,存在1/2≤yt/～yt≤2。因此，当U被U*替换时，(2.3)就会被修改，即对于T>T，lim infx↓0 U*(T,x)xp-1=lim infx↓0 p*yt～yt p*p*-1xp-1p*-1=0，其中第二个收敛性保持不变，因为p*<p-1<0。然后从备注4.6得出结论:limT→∞e[U(XT)I{XT<M}]e[～xpt/p]=limT→∞ehu→(T，～XT)I{～XT≤(U(M)～yt/yt)1/(p-1)}ie[～xpt/p]=0,对于任何M>0的情况，(6.8)。另一方面，a>0。对于任何>0都存在Ma，例如，1-≤U(x)/(a+x)p-1≤1+(x≥Ma)。然后(4.27)，其中的第二个不等式得到(6.9)e[u(XT)]e[~xpt/p]≤e[u(XT)I{XT<ma,}]e[~xpt/p]+(1+)e[(a+XT)pI{XT≥ma,}e[~xpt]，其中右边的项由于(6.8)T→∞而消失。对于上述项，使用(4.22)limT→∞yt/～yt=1和～yt=e[～xpt]，得到lim supT→∞eut(a+XT)pI{XT≥m}e[～xpt]≤1-。综上所述，(6.9)收益率lim supT→∞e[u(XT)]e[～xpt/p]≤1+1-右侧的两项估计值符合（6.1）中任意选择的第二收敛性。长期投资中的稳健投资组合和弱激励31参考。V.Acharya、K.John和R.K.Sundaram。关于重置executivestock选项的最优性。J.金融c。《经济学人》,57（1）：65-101,2000.Amihud和B.Lev。降低风险作为企业合并的管理动机。《经济学人》,12（2）：605-617,1981.M.Bichuch和S.Sturm。凸激励方案下的投资组合优化。金融学报，2012。出现。T。R.Bielecki和S.R.Pliska。风险敏感的动态资产管理。阿普尔。Math.Optim,39（3）：337-360,1999.T.R.Bielecki和S.R.Pliska。具有交易成本的风险敏感资产管理。金融学，第4（1）：1-33页。博尔顿和M.德瓦特里庞。契约理论。麻省理工学院出版社，剑桥，2005年。Bouchard、N.Touzi和A.Zeghal。效用最大化问题的对偶形式：非光滑效用的情形。安。阿普尔。《概览》，14(2):678-717，2004.a.Cadenillas,J.Cvitani c,F.Zapatero。通过努力和波动性的选择来杠杆决策和经理薪酬。J.金融c。《经济学人》，73(1):71-92，2004.a.Cadenillas,J.Cvitani c,F.Zapatero。最优风险分担与努力和项目选择。J.经济。理论，133(1):403-440，2007.木匠。期权报酬是否增加了管理层的风险偏好？J.财务，55(5):2311-2331，2000年。卡尔和D.马丹。衍生证券的最优定位。定量。财务，1(1):19-37,2001.M。A.陈。经理期权重新定价，激励和保留。J.Finance,59（3）：1167-1200,2004。C.考克斯和C.F.黄。一个连续时间投资组合收费公路定理。J.Econom.Dynam。对照，16(3-4):491-507,1992。Cuoco和R.Kaniel。存在委托投资组合管理的均衡价格。J.金融c。《经济学人》，101(2):264-296，2011.Cvitani\'c和J.Zhang。连续时间模型中的契约理论。斯普林格，海德堡，2013年。A.DeFusco,R.R.Johnson和T.S.