长期投资中的稳健投资组合与弱激励

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

摘要翻译：
当计划期限较长，安全资产无限增长时，对于高财富接近等弹性的投资者，等弹性投资组合几乎是最优的，而对于低财富不太厌恶风险。我们在一个一般的无套利、无摩擦、半鞅模型中证明了这一结果。因此，最优投资组合对由普通期权补偿方案引起的偏好扰动具有鲁棒性，并且当期权补偿方案的期限较长时，这种激励作用较弱。强有力的期权激励是可能的，但需要几个任意大的行权价格，并且不总是凸的。
---
英文标题：
《Robust Portfolios and Weak Incentives in Long-Run Investments》
---
作者：
Paolo Guasoni, Johannes Muhle-Karbe, Hao Xing
---
最新提交年份：
2014
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
英文摘要：
  When the planning horizon is long, and the safe asset grows indefinitely, isoelastic portfolios are nearly optimal for investors who are close to isoelastic for high wealth, and not too risk averse for low wealth. We prove this result in a general arbitrage-free, frictionless, semimartingale model. As a consequence, optimal portfolios are robust to the perturbations in preferences induced by common option compensation schemes, and such incentives are weaker when their horizon is longer. Robust option incentives are possible, but require several, arbitrarily large exercise prices, and are not always convex.
---
PDF下载：
--> English_Paper.pdf (540.79 KB)

2022-4-16 13:40:50 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：稳健投资 长期投资 投资组合 Perturbation Quantitative

长期投资中稳健的投资组合和微弱的激励措施Spaolo GUASONI,JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing摘要。当计划期限较长，安全资产增长较快时，对于高财富接近等弹性的投资者，等弹性投资组合几乎是最优的，而对于低财富不太厌恶风险。我们在一个广义无套利、无摩擦、半鞅模型中证明了这一结果。因此，最优投资组合对由普通期权补偿方案引起的偏好扰动具有鲁棒性，并且当期权补偿方案的期限较长时，这种激励作用较弱。强压激励是可能的，但需要几个任意大的行使价格，而且不总是凸的。投资者通过管理他们的投资组合和设计激励措施来追求长期目标，如股票和期权授予，以使经理的行为与他们的利益相一致。本文探讨了长期投资对投资组合选择和激励契约的影响，克服了文献中传统的分离，以及这种分离产生的一些令人困惑的结果。长期投资组合选择文献中的主要信息来自收费公路定理：当视界遥远时，最佳投资组合只依赖于高财富水平下的偏好，因此一般投资者应该像具有同样渐近风险厌恶的等弹性投资者一样进行投资。对于寻求简单投资组合分配策略的长期投资者来说，这些定理是受欢迎的消息，因为它们意味着偏好的局部差异在长期内是无关的，并允许专注于等弹性策略的单参数家族。然而，收费公路定理也对经理人的薪酬产生了令人不安的影响。当投资者向经理人提供激励股票期权时，激励是经理人偏好的扰动。如果收费公路定理成立，它们意味着激励计划随着其期限（即归属期）的增加而失去力量。本文的中心目标是了解这种影响的程度和限度--及其潜在的补救措施。长期投资，投资组合选择，激励，高管薪酬。数学科目分类:(2010)91G10，91G50。JEL类别:G11，J33。作者感谢Jaksa Cvitani\'c、Ren Liu和一位匿名裁判的有益评论。保罗·瓜索尼得到了ERC(278295)、NSF(DMS-1109047)、SFI(07/MI/008、07/SK/M1189、08/SRC/FMC1389)和FP7(RG-248896)的部分支持。郝星的部分支持由斯蒂尔达特伦敦经济学院。Johannes Muhle-Karbe感谢国家能力研究中心“金融估价和风险管理”（NCCR FINRISK）项目D1（金融风险管理中的数学方法）的部分支持，参见Mossin(1968)、Leland(1972)、Ross(1974)、Hakansson(1974)、Huberman和Ross(1983)、Coxand Huang(1992)、Jin(1998)、Huang和Zariphopoulou(1999)、Dybvig、Rogers和Back(1999)、Detemple和Rindisbacher(2010)和Guasoni、Kardaras、Robertson和Xing(2014)。从此以后，“等弹性”指的是具有恒定相对风险厌恶性的偏好。2 PAOLO Guasoni、JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO XINGOur主要定理提供了偏好的条件，在此条件下，在长对于普通投资者来说。这不是另一个收费公路定理：虽然收费公路定理表明，当视界较远时，一般投资组合接近于等弹性投资组合，但我们表明，在整个期间使用等弹性投资组合的投资者的福利损失是可以忽略的--不以相对的货币条件计算。也就是说，使用简单的等弹性投资组合而不是精确的、但更复杂的最优投资组合所损失的财富比例随着计划期限的增加而下降到零。

这个定理在一个没有套利机会的一般半区间市场中成立，在这个市场中，安全资产是间接增长的。为了理解这一陈述的力量，将这种福利效应与利率小幅下降的效果进行比较。在长期内，低利率会转化为财富的大幅相对下降，因为不同利率下的投资增长比率不同。从这个观点来看，等弹性投资组合出奇地稳健--而激励显著地弱。这个结果的信息对投资组合选择是积极的，而对典型的激励方案（基于执行价格接近货币的期权的激励方案）是消极的：如果从长期来看，投资者的最优策略对偏好的局部扰动是稳健的，那么，同样的道理，经理的政策对公共股票和期权授予是不敏感的，它们只在局部改变偏好。因此，为了在长期有效，一个激励契约必须在比当前财富高得多的水平上修改偏好。我们认为，基于具有几个任意高执行价格的期权的激励契约对长期具有鲁棒性。一个简单的例子是一个（倍数的）合同，它在一个规则间隔的网格中为每个执行价格支付一个期权：它的支付大约是基础资产的平方价格，合同的价值在大多数常见的模型中是有限的。我们的主要结果是对现存收费公路文献的自然补充。随着视界的增加，一般投资者的最优投资组合与具有相同视界的等弹性投资者的最优投资组合进行比较，并建立了共同的约束市场和偏好，使得这些投资组合接近。换句话说，问题是在投资过程的早期阶段，两个最大化问题的优化者是否相似。一个自然的实际问题（但有些不自然的是，文献中没有解决）是这些最大化者是否是好的替代品：如果一个普通投资者选择在整个投资范围内使用等弹性投资组合，那么在哪些条件下效用接近最优，在哪些意义上？虽然这样的结果似乎是合理的，但有两个潜在的缺陷：第一，收费公路定理只断言优化器在周期开始时接近，而不一定在周期结束时接近。因此，如果随着时间的推移，一个投资组合与另一个投资组合出现分歧，那么它们可能会产生可怕的结果--这是一种具体的可能性，因为最优的等弹性投资组合在周期的开始和结束之间会发生变化。其次，普通投资者在高财富水平下可能具有近乎等弹性的偏好，但对极低财富的风险厌恶程度可能要高得多，即使从长期来看，这种不良状态是否会产生可以忽略不计的影响尚不清楚。在Black和Scholes的模型中，合约的价格为E-σTSTIs，即当前股票价格的平方。Guasoni和Robertson(2012)给出了长期最优投资组合的效用等于负的例子。长期投资中的稳健投资组合和弱激励3本研究的主要结果在一般情况下澄清了这些问题。这也有助于调和关于高管薪酬的文献中一些令人费解的，或者至少是违反直觉的结果。Jensen和Meckling(1976)已经认识到，大型上市公司的经理人似乎以一种对股东不利的风险厌恶的方式行事，因为净现值为正的项目可能会被放弃以避免额外的风险。

基于股票的薪酬试图使经理人的利益与股东的利益相一致，但也可能反向，导致经理人从事套期保值活动，正如Amihud和Lev(1981)以及Smith和Stulz(1985)所预测的，并在may(1995)得到了实证验证。作为一种补救措施，基于期权的激励旨在通过引入收益的凸性来奖励管理层的风险承担。看涨期权的直觉是，看涨期权的非对称收益使经理人更有吸引力进行高风险项目，这一直觉源于人们熟悉的概念，即具有凸收益的期权价格随波动性而增加。（DeFusco等人，1990)。然而，Carpenter(2000)和Ross(2004)表明，这种直觉是误导性的：对于不可交易期权，经理人将关注其私人保留价值（即确定性等价物），而不是其风险中性价值，凸激励的效果通常是模糊的。在一个风险共享的全信息模型中，Cadenillas,Cvitani c和Zapatero(2007)描述了最优合同，并发现它们可能是凸的或凹的。Larsen(2005)的数值结果也得出了类似的结论。Hall和Murphy(2000)认为，授予行使价格等于授予日股票价格的股票期权的标准做法是次优的，潜在的动机是有利的会计处理，最佳行使价格通常更高。卡德尼利亚斯等人。（2004）还发现，最优执行价格随经理业绩和基金规模而增加。Edmans et al.(2012)注意到期权薪酬的动态问题：为了激励CEO而给予的证券可能会随着时间的推移而失去它们的力量：如果价值下降，期权可能会影响到资金，并且对股票价格没有什么敏感性。事实上，这一问题引发了“重新定价”的行业惯例，即在股价大幅下跌后重新设置行权价格（Acharya et al.，2000；Chen,2004)，这一惯例因奖励业绩不佳和削弱原始激励而受到批评。我们的研究结果阐明了行权价格与OptionCounture的视界之间的相互作用。如果行权价格保持不变，那么随着期限的增加，期权失去了它的作用，因为它的确定性等价物与经理的财富相比变得任意小。与此相反，一个具有多重行使价格的激励契约即使在股票价格发生较大变化后也仍然有效，而且是长期有效的。多重行使价格还揭示了期权授予和凸性激励对管理层风险承担的模糊影响。直觉是（Carrand Madan，2001)看涨和看跌期权的投资组合可以重新创造基础的任何常规功能，包括幂型Xα，α>0的激励合约。如果经理人的风险厌恶程度较高，那么降低经理人风险厌恶程度的激励契约对应于0<α<1，因此是凹的，而不是凸的。相反，一个低风险厌恶的经理人会通过一套全部罢工的看涨期权来承担风险，这种凸性激励对股票价格和长期水平的变化都是强有力的。最后，注意，本文重点研究了基于现金、股票和期权组合的薪酬契约的影响，这在实践中是普遍存在的，但它没有研究它们对一个可能的委托人的最优性。（参见Bolton and Dewatripont(2005)和Cvitani\'c and Zhang(2013)关于契约理论的最新调查。）另一方面，我们的结果对PAOLO GUASONI、JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing的投资机会和偏好都有相当大的可预测性，为典型补偿契约中的视界效应提供了新的线索。论文的其余部分组织如下：第2节介绍了模型，并给出了主要结果及其含义。

第三节回顾了Bouchard等人的一般对偶结果，为主要结果的证明奠定了基础。（2004）和一些将在续集中重复使用的辅助结果。在第4节中证明了功率效用(P6=0)的主要结果，在第5节中证明了对数效用(p=0)的主要结果。最后，第6节用一个反例说明了我们的假设的必要性。主要结果2.1.模型和主要结果。我们关注的是一个投资于资产S的代理人，从而影响总财富X，从而使最终财富XTa在时间T:(2.1)maxX容许blee[U(XT)]时的期望效用最大化。为了包含下面的应用，效用函数U是严格递增的和凹的，但不一定是连续可微的或严格凹的。模型（2.1）具有通常的投资组合选择解释，其中代理人是投资者，S代表投资资产，X代表投资组合价值，U代表投资者的效用函数。第二种解释是，代理人作为公司经理，是一个真实的投资机会，是公司的价值。在这种情况下，函数U组合了经理的偏好和激励：例如，如果经理得到的报酬等于F(XT)，并且有效用函数U，那么U(x)=U(F(x))。混合解释（参见Carpenter(2000))是一个基金经理的解释，他投资于furfignancialAssetss，以使终止基金价值的某个函数U的预期收益最大化。形式上，有d+1个资产可用。一种安全资产，其价格用S表示，而d是风险资产，其价格为S=(S,...,Sd）。这些资产持续交易，没有摩擦，没有套利机会。设(Ω，F，(Ft)t≥0，P)是满足右连续和饱和的一般条件的概率空间。假设2.1（资产）。安全资产S:[0,∞)7→R是一个确定性的严格正函数，满足st↑∞为t↑∞,且风险资产的贴现价格S/So是局部鞅，概率Q等于P。例如，在正利率有界于零的模型中，证明了上述假设limt→∞st=∞。鞅测度的存在保证了市场没有套利机会（参见Delbaen和Schachermayer(1998))，代理人的目标由效用函数U描述，该函数包含了偏好和激励的综合效应。从今以后，fixp<1，且denoteby～u(x)为等弹性效用函数，由～u(x)=xp/p，06=p<1，对于p=0，则～u(x)=log(x)。与基准函数U相比，泛型效用函数U满足以下限制条件，其主要结果是：如果效用函数是严格凹的且连续可微的，那么只要安全资产从下到上被两个确定性过程S和S所限定，那么安全资产就可以是随机的，即Limt→∞ST=∞；参见备注3.2.长期投资中的稳健投资组合和弱激励5假设2.2（效用）。i）U(x):（0,∞)→R是严格递增的，凹的，对于低财富水平的人来说，不一定是有差别的，也不一定是严格意义上的凹的，但对于足够大的财富是可微且严格凹的。ii）随着财富的增加(x↑∞)，效用U变得与等弹性效用~U相似，因为它们的边际效用是渐近等价的:(2.2)limx↑∞U(x)~U(x)=1.iii)效用U在低财富水平下满足附加条件，这取决于p in~U(x)=xp/p:a)对于0<p<1，U从下面有界；b)对于p=0，即~U(x)=log(x)，(2.3)lim infx↓0U(x)~U(x)>-∞.c）对于p<0，limx↑∞U(x)=0和（2.3）满足条件。条件i）暗示当财富高时代理人是风险厌恶的。条件ii）要求，当代理人富有时，效用（偏好或激励）接近等弹性，这是收费公路定理的中心假设。

特别地，(2.2)暗示U在In条件下满足Inada条件，即limx↑∞U(x)=0。然而，Inada条件可能不满足于零。条件iii）是新的，要求当财富较低时，U与~U相比不太厌恶风险。例如，如果U(x)=xp*/p*对于x很小，其中p*<1，则条件（2.3）归结为p*≥p-1，即U的风险厌恶1-p*不应大于1加上低财富时～U的风险厌恶1-p。一般而言，(2.3)意味着，当财富x趋于零时，(2.3)效用比率U(x)/～U(x)在p6=0的情况下不比x-1快，或者在p=0的情况下不比（x log x)-1快。特别是，如果U和~U之间的比率保持有界于零，则这些条件将被满足。第2.3节中概述并在下文第6节中分析的示例表明，如果去掉(2.3)，即使在Black-Scholes模型中，主要结果也可能失败。代理人投资于受通常预算约束的资产：如果x表示初始资本，(iIt)1≤i≤d0≤t≤t，即在时间t时第i项资产的股数，则响应的财富x？tequalsx？t=st x+zt？sd（ss/ss）。为了简化表示，在不丧失一般性的情况下，我们设置x=1，这相当于将数字单位缩放x的一个因子。如果RD值的过程是可预测的，s-可积的，并且对于所有t≥0，相应的财富过程满足x=t≥0a.s，则RD值的过程是一种可接受的策略。这类可容许财富过程用X:={X:xt≥0,p-a.s表示。对于所有t≥0}。因此，泛型效用函数和它的等弹性对应函数~u的效用最大化问题的值函数是:(2.4)uT(x)=SUPx∈Xe[u(x)]和~uT(x)=SUPx∈Xe[~u(x)].6 PAOLO GUASONI,JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing。假设是等弹性效用最大化问题是好的。这个假设只有在p≥0时才是必要的，因为如果效用函数在p<0时从上面有界，它总是满足：假设2.3（等弹性的好的）。如果0≤p<1，则设～v(y)=(-yq/q对于p∈(0,1）和q=p/(p-1),-log(y)-1对于p=0，是等弹性效用～u的凸对偶，并且假定(2.5)infY∈ye[～v(YT)]<∞,其中y是随机折扣因子的集合:y:={y=y/s:y>0,y=1使得XY对于所有X∈X}是上鞅。条件（2.5）确保了等弹性对偶（也是原始）问题是好的。对于p6=0，这就要求存在某个随机贴现因子的q阶矩，例如，如果资产价格遵循一个IT过程，并且风险的市场价格是有界的。实际上，在这种情况下，我们可以选择最小鞅测度的密度过程，并且（2.5）是从Novikov条件得到的。对于p=0的论证是类似的。有了上面的符号和假设，主要结果如下。定理2.4（等弹性投资组合的稳健性）让假设2.1-2.3成立。那么对于任何视界T>0，对于一般效用u，存在一个最优收益XTT，对于等弹性效用u，它们满足(2.6)limT→∞u-1(E[u(～XTT)])u-1(E[u(XTT)])=1。也就是说，从长期来看，等弹性投资组合的确定性等价物相对于优化者的确定性等价物是任意接近的。这个结果的优势在于确定性等价物收敛--而不仅仅是它们的增长率。与此相反，基于风险敏感的大偏差的长期投资组合选择文献关注等效安全利率的最大化，定义为:lim infT→∞tlog u-1(E[u(XT)])，如果两个过程(XT)t≥0和(～XT)t≥0满足(2.6)，则它们共享相同的等效安全利率（如果存在的话）。然而，同样清楚的是，(2.6)是一个更强的属性。

作为一个简单的例子，即使有风险中性效用(U(x)=x)，考虑两个过程～xt=e(μ-σ/2)t+σwt，xt=ert+e(μ-σ/2)t+σwt，它们对应于完全股票投资，以及半股票、半债券投资（不进行再平衡），投资的安全资产获得恒定利率r和遵循几何布朗运动的股票，预期收益为μ>r和波动率为σ。那么，两个财富过程都有相同的增长速度μ，但对应的确定性当量的比率收敛到2。事实上，也有例子，在这里，上标T表示地平线T的最优财富过程，而下标Trefer表示在时间T时对它的评估。参见Fleming和McEneaney(1995)、Bielecki和Pliska(1999；2000）和其他几个例子。Pham(2003)、F"ollmer和Schachermayer(2007)长期投资中的稳健投资组合和弱激励7这种比率在等效安全利率保持相等的情况下存在差异。因此，即使两个投资策略具有相同的等价安全率，它们也可能具有非常不同的确定性等价，这意味着代理人可能对一个策略的估值比另一个高得多。然而，当（2.6）成立时，最优策略在长期内只能略微优于等弹性对应策略，因为选择上级策略的收益小于下级策略价值的任何一部分。正是这个性质使该定理与激励方案相关，下一节将详细探讨该定理在这方面的含义。激励。一个行使价格激励的弱点。如果经理人具有等弹性偏好(～u(x)=xp/p，06=p<1)，且薪酬包括现金成分c≥0和股权成分c>0,则目标函数为(2.7)e[～u(C+cXT)]，其中x贯穿于可容许财富过程类。现在假设，股东们担心经理人的高股票风险敞口可能会阻止对预期价值为正的项目的投资，并考虑授予大于0的行权价K的看涨期权，作为冒险的激励。这样的executivestock期权通常有十年的归属期，因此我们对longhorizons的关注是相关的。包括期权授予，管理器最大化目标(2.8)E[~u(c+Cxt+c(xt-k)+)]。优化器和该问题的确定性等价与(2.9)E[(u(XT)]]相同，其中u(x)=~u(c+cx+c(x-k)+)/(c+c)p。换句话说，授予期权授权相当于用effectiveUtility U替换单个实用工具U。此效用u是严格递增的，在(K，∞)上可微，且如果p<0以及(2.10)limx↑∞u(x)～u(x)=1,limx↓0u(x)～u(x)=0,则satis firectiones u(∞)=0。因此，对于任何组合补偿c≥0，有效效用u满足假设2，但u不再在锻炼价格附近凹陷，如图1所示。事实上，创建这样一个区域是选项激励的主要目的。在不同的假设集合下，Scarpenter(2000)、Cuoco和Kaniel(2011)以及Bichuch和Sturm(2012)表明，最大化预期效用U实际上等于最大化其凹包络U，即支配U:(2.11)e[U(XT)]的最小凹函数，其中U(x)=inf{g(x):g凹，g≥U}。在当前的设置中，对于超大或超小的财富水平，凹包络都与U重合，因此它保留了U的性质(2.10).由于它也是凹的，定理2.4适用于U，并得到如下结果：其中包括唯一等价鞅测度不含原子的完全市场，以及其他解决方案。8 PAOLO GUASONI,JOHANNES MUHLE-KARBE,HAO Xing图1。

对于样本参数值(γ=1/2,c=1,c=2,c=3,K=4),有效效用函数U（实值）和相应的凹包络U（虚线值）。定理2.5如果经理问题（2.8）和凹问题（2.11）被充分提出并具有相同的解，且安全资产随时域增加，有激励（2.8）和无激励（2.7）的最优策略的确定性等价是渐近等价的。特别是，随着期限的增加，带有固定行权价格的期权授予的私人价值相对来说变得可以忽略不计。事后看来，这一结果看起来很自然，实际上是从单个期权对偏好的局部影响中得出的。然而，期权定价的直觉--它塑造了许多关于激励的文献--指向了相反的结论。在BlackScholes模型中（以及在更复杂的扩展中），看涨期权的无套利价格随着波动性的增加而增加，可以得出这样的结论：经理人被鼓励通过承担更多的风险来增加其价值。更长的期限也会增加期权的价值，这表明激励效果更强，而不是更弱。然而，在这种情况下，期权定价启发式是误导性的，因为经理人既不能出售也不能对冲期权授予，他们不关注期权的假设风险中性价值，而是关注其私人价值，风险厌恶是其核心。由于单一期权只对风险厌恶产生局部影响，长期水平与财富增长相结合会使它们的影响消失。总之，定理2.5支持了一个广泛的观察，即期权授予的规模和行使价格需要根据视界仔细选择。与大量股票头寸类似，大量期权在低罢工时可能导致不鼓励冒险。大量高罢工的期权也可能是无效的，因为使期权变得可行所必需的风险可能太大，经理人无法承受。即使是在授予时选择的最优执行价格，在资产价格发生巨大变化后，也可能很快变得不足。在实践中，激励性股票期权授予包括条款，防止经理人即使有私人账户也不能抵消头寸。长期投资中的稳健投资组合和弱激励9几个执行价格的稳健性和权力激励。我们认为，包括几个（理论上，实际上是很多）行使价格的期权授予在价格大幅变化后仍能保持其激励作用，并且对长期具有稳健性。这一直觉再次来自期权理论：Carr和Madan(2001)表明，一个具有（平滑）回报f(ST)的欧洲期权可以作为一个所有罢工的看涨和看跌期权组合的以下表示:f(ST)=f(k）+f(k）(st-k)+z(kf(k)(k-st)+dk+z∞kf(k)(st-k)+dk。（2.12）在这个表示中，术语f(k)代表一个现金数额，在远期合约中f(k)(st-k)的标价，这两个积分分别对应于静态投资组合的输入和看涨。阈值k是任意的，它决定使用的是买入而不是卖出的罢工。例如，设置k=0，这个分解表明，对于某个c>0，由相同数量的买入期权组成的投资组合在所有罢工时会得到形式f(x)=cx.一般而言，幂型f(x)=xα的收益由权重为f(x)=α(α-1)xα-2的期权的aportfolio复制。我们限制在α>0，否则激励不会奖励更高的资产价值。现在考虑这种权力激励对具有等弹性效用的经理人的影响～u(x)=xp/p。为了简单起见，将规定的薪酬设置为零，包含激励的效用函数变成U(x)=xαp/p，这意味着激励用有效风险厌恶代替经理人的风险厌恶γ=1-p:(2.13)γ*=αγ+(1-α)。这个公式有几个含义。

首先，激励方案降低风险厌恶(γ*<γ)当且仅当(1-α)(1-γ)<0。特别是，如果风险厌恶最初高于对数(γ>1)，凸收益(α>1)并不会降低风险厌恶，就像它通常是这样。总的来说，凹型报酬(α<1)使管理者的关系更加接近于γ=1，而凸的回报正好相反。因此，对于一个风险厌恶度已经很低(γ<1)的经理人来说，包括几个行权价格的看涨期权的期权授予是一个激励方案，它对地平线和股价的大幅波动都保持稳健，防止未来重新定价的需要。凹激励的回报在性质上类似于覆盖看涨头寸的组合，但设计凹激励可能不实用，因为它们将意味着大量持有股票，并在所有期限的期权中持有空头头寸。这种安排的不同寻常的性质，加上由此产生的税务和会计方面的差异，可能会使这种计划难以实施。尽管存在这些差异，但请注意，上述公式表明，这种凹权激励隐含在对冲基金经理薪酬的高水位条款中。事实上，Guasoni和Obloj(2013)发现，一个风险厌恶度为γ的对冲基金经理，其绩效费为利润的1-α的零头，就像一个有效风险厌恶度相同的所有者-投资者一样投资基金资产（2.13）。这一观察表明，尽管凹激励在公式中几乎不存在，但使用微积分的基本定理两次，然后按部分积分。在这里，我们假设所得到的优化问题在假设2.3的意义上是适定的；特别是，有效风险厌恶应该是正的。10 PAOLO GUASONI、JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing公司薪酬实际上隐含在对冲基金行业中，典型的20%的绩效费对应于α=0.8.2.3的幂激励。反例。本节概述了一个反例，它表明，如果条件（2.3）没有被充分利用，即如果一般效用U在低财富水平下与参考的等弹性效用～U相比过于厌恶风险，即使在通常的Black-Scholes模型中，定理2.4也可能失败。详细的计算在下面的第6节中给出。假设安全资产的利率为常数r>0，并且存在一个遵循几何布朗运动的单一风险资产:dst/st=(μ+r)dt+σdwt，对于一个标准布朗运动wt，常数为μ，σ>0。设～U(x)=xp/p，p<0是风险厌恶为1-p>1的参考等弹性效用，并考虑对于较大的x由U(x)=xp/p给出，对于x≤1由U(x)=xput/p*,put<p-1给出，两者之间有光滑插值。那么，在富裕阶层，通用效用U具有与其等弹性对应物～U相同的风险厌恶1-p，但在低财富水平下，相应的风险厌恶更大（超过1）。特别是，一个简单的计算表明，泛型实用工具U不满足（2.3）。在此设置中，在低财富水平下，最优的等弹性投资组合对genericutility来说风险太大，在长期内，与优化器XTT相比，U的确定性当量比递减:(2.14)limT→∞u-1(E[U(～XTT)])u-1(E[U(XTT)])=0。实际上，我们在第6节中表明，当风险资产相对于安全资产足够吸引时，这个结果成立:(2.15)μσ(1-p)>2 max 1,p-p*-1rσ。为了理解这个参数限制，回想一下在这个模型中，μ/(σ(1-p))是等弹性效用下风险资产的最优投资组合权重。因此，下限（2.15）确保风险资产与安全套相比具有较高的吸引力，从而导致较高的风险投资。

特别是，当低财富水平的风险厌恶之间的差异p-p*下降到1时，等弹性风险权重上升，导致达到低财富水平的概率非常大。事实上，(2.15)中的下限趋于合理，因为风险厌恶的差异接近1(p*↑p-1)，这与我们的主要结果一致，如果这种差异小于或等于1，(2.14)中的结果可能看起来令人费解，因为它暗示了低财富下通用效用函数的性质在长期内是重要的，即使该资产有正增长率，所以任何初始安全投资都是任意增长的，从而肯定避免了低财富。然而，最优的等弹性投资组合在风险资产中保持一定比例的财富。因此，如果股票价格下跌，风险头寸下降，安全头寸也会减少，这样财富就会进一步增加。对于另一个投资者来说，这样的投资组合可能是不可接受的，他们在低财富水平下更厌恶风险。作为一个极端的例子，回想一下，如果风险厌恶足够小，最优Mertonportfolio的财富几乎肯定会收敛到零，即使它的预期回报很高。长期投资中的稳健投资组合和弱激励113。我们首先回顾Bouchard等人建立的关于当前非光滑环境的基本概念和对偶结果。（2004）.从（2.4）中回忆泛型实用工具U及其等弹性对应物~U的值函数uTand~Ut。乐视(y):=SUPX>0(U(x)-xy)和~V(y):=SUPX>0(～U(x)-xy)分别是泛型效用U和等弹性效用~U的对偶函数，将V的定义域定义为dom(V):={y>0:V(y)<∞}，并设dom(V)为其sclosure。考虑与(2.4)相关的对偶问题:(3.1)vT(y)=infY∈ye[V(yYT)]和～vT(y)=infY∈ye[～V(yYT)]，其中y表示随机折扣因子集:y:={y=y/s:定理3.1(Bouchard-Touzi-Zeghal)假定以下成立:a)U:(0，∞)→R是非常数、非递减和凹的；b)dom(V)=[0，∞)；c)V满足对偶渐近弹性条件(V):=lim supy↓0supx∈-V(y)yxV(y)<∞；d)存在y>0使得vT(y)在(3.1)中的解是n的。那么，ut的最优解xt∈X，vtext的最优解yt∈y使得XTYTisa一致可积鞅，(3.2)xtt∈-V(yTYTT)对于某些yt>0。对于等弹性效用～u，同样的陈述成立（CF。Kramkov和Schachermayer(1999))。我们分别表示了相应的最优解～Utand～Vtby～Xtand～Yt，它们都是唯一的。此外，由于～V是可微的，(3.2)对于某些～Yt>0的情况，简化为～Xtt=-～V(～Yt～Yt)。注3.2。如果泛型效用U是可微的且严格凹的，则上述对偶结果对于一个非确定性安全资产S也成立，假设该资产从上到下被两个确定性的正过程S and（CF.（Karatzas andéitkovi\'c，2003，定理3.10))。在下面的内容中，我们将在我们的环境中验证定理3.1的所有先决条件。引理3.3假定（2.2）成立，设p6=0。然后，对于较大的财富水平，一般效用U介于其等弹性对应物UUP的任意接近倍数与加性常数之间。也就是说，对于任何>0的情况，存在一些大于0的条件：i）如果p∈(0,1）,那么对于某些常数a和b,(3.3)(1-)xp/p+b≤U(x)≤(1+)xp/p+a,对于x≥m；12 PAOLO GUASONI,JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO XINGii）如果p<0,那么(3.4)(1-)xp/p≥U(x)≥(1+)xp/p,对于x≥m。