VWAP执行和保证VWAP

Frei和Westray[12]在均值变量问题中采用了类似的方法，即随机最优控制。然而，在他们的论文中，最初的计算方法增加了对实际体积的认识，这使得他们的方法可以用于实际应用。在实践中，在特定的日子里有特定的相对体积曲线。在我们考虑的模型中，瞬时交易量是用一个简单的随机过程来建模的，但它可以推广到其他过程。事实上，我们的主要目标是用尽可能少的变量写出Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程来刻画我们问题的解。如果考虑我们的随机市场交易量问题的初始形式，则需要7个变量来描述这个问题：时间t，交易者的库存q，资产市场价格S，现金账户X，瞬时市场交易量v，累积市场交易量q，以及一个与VWAP相关的变量，命名为rtvssssds。通过两个变量的变化，我们设法将变量的数量限制在5。经典的数值方法(PDE)可能无法逼近PDE的解，但一些概率方法可能是E（见[13]关于高维问题的鲁棒方法）。在模型中，我们考虑瞬时交易量由Vt=g(t)Eαbt-αt/2给出，其中g是C(R,R*+),B是与W无关的布朗运动，其中α>0。然后V的动力学由随机的di方程给出:dVTVt=g′(t)g(t)dt+αdbt。g(t)明显地代表了在t时刻的平均瞬时交易量。在欧洲，它是一条W形曲线，峰值对应于美国市场的开市。可以考虑其他动态。最后一节的目标不是考虑体积的最佳m模型，而是展示如何通过变量的变化来降低模型的复杂性。为了考虑一个非退化问题（人们可以选择使用stochastictarget框架），我们考虑一个稍微修改的问题，其中qTis不强制等于0。而不是强加qt=0，我们认为，在时间T，剩余的股票不是按价格St，而是按价格St-KQT进行清算，其中K被选为正值，并且足够高，足以阻止交易者在时间T保持大量头寸。在这个稍微修改的框架中，通过与第2.2节类似的计算，我们得到以下结果:xvt-qvwapt+qtst-kqt=-zqf(z)dz-ztvtl vtvt dt+qZTVtQTF（q-qt）dt+σqzt qtqq-1-qtqt dwt+zqtf(z)dz-qtf（q-qt）-kqt。数学上，它对应于在时间T处的惩罚形式为h(q)=-Rqf(z)dz+qf(q-q)+Kq，我们假定K>2lim supq→+∞f(q)q，对于所有t∈[0，我们定义了可容许策略集，T]by:bt:=v∈P(T,T）,ZTtvsds∈L∞。我们的问题是：SUPv∈Be[-exp(-γv(v))]，(5.1)其中:v(v)=-ztvtl vtvt dt+qztvtqtf(q-qt)dt+σqzt qtq-1-qtqt dwt-h(qT)。为了解决这个随机最优控制问题，我们现在引入两个过程～xvand～yv:d～Xt,x,vs=-vsl vsvs ds+(qs-q)σdws,s∈[T,T]，Xt，x，x，vs=-vsl vsvs ds T=x.d～yt，y，vs=VsqF(q-qs)ds+qsσqdws,s∈[T，T]，～yt，y，vt=y.对于任何T∈[0，T]，我们定义:u(T，x，y，q，q，v):=supv∈bte“-exp-γ～Xt，x，vt+～yt，y，vtqt-h(qT)！！#。（5.2）这是与（5.1）有关的动力学问题，我们观察到（5.1）对应于toU(0,0,0,q,0,V）。然后我们有以下定理5.1。U是一个粘性解:(-lu-supv∈r-vlvv-xu-vqu=0,on∈[0,T)×r×r+×r*+.U(T,x,y,q,q,V)=-exp-γx+yq-h(q),其中算子L i由:L:=T+(q-q)σx+qV F(q-q)y+qqσy+vg′(T)g(T)V+Vαvv定义。证明：可以直观地看出该值函数是局部有界的，其结果是通过随机控制技术经典地得到的。

所需的动态规划原理确实可以从文[24]所开发的装置中推导出来，并用文[7]得到了粘次解和超解，值得注意的是，我们设法从状态变量中去掉了代价S。我们现在使用变量的变化来移除x。为此，我们引入了~u(t，y，q，q，V)=eγxu(t，x，y，q，q，V)。那么我们有：推论5.1.～u是一个粘度溶液:(-～L～U-(Q-Q)σγ～U-SUPV∈RγVLVV～U-VQ～U=0，关于[0,T]×R×R+×R*+.~U(T,y,q,q,V)=-exp-γyq-h(q)。其中~l由:~l:=T+qV F(q-q)y+qqσy y+V q+vg′(T)g(T)V+Vαvv.证明：变量~U(T,y,q,q,V)=eγxu(T,x,y,q,q,V)=eγxu(T,x,y,q,q,V）的变化是单调增加的，结果是直接计算的。现在，我们要证明一个技术引理，以便说明U（或等价地~U)总是负的。引理5.1.对于任意(t，x，y，q，q，V)∈[0，t]×r×r+×r~+，我们有:u(t，x，y，q，q，V)<0。证明：让我们考虑(t，x，y，q，q，V)∈[0，t]×r×r+×r~+，V∈BT。我们有Jensen不等式：e“-exp-γ～xt，x，vt+～yt，y，vtqt-h(qT)！！#≤-exp(-γev)，其中ev=e”～xt，x，vt+～yt，y，vtqt-h(qT)#=e x+yqt+σqztt qsq-qt-qst dws+ztt-vsl vsvs+vsqtqf(q-qs)ds-h(qT)。由于v∈Bt，我们有ehrttqsdwsi=0。通过与V和W无关，我们也有hrttqt-qsqtdwsi=0。因此:ev=x+e yqt+e ztt-vsl vsvs+vsqtqf（q-qs）ds-h(qT)。由于f在r+上不增加，存在一个常数C≥0，使得：k q∈R，F(q)≤C(1+q+)。现在，由于L是超线性的，存在B，使得:Δρ∈R，L(ρ)≥-B+Cqρ，其结果为:EV≤x+E YQT+E ZTT B-CQVS+VSQTCQ(1+(Q-QS)+)DS-H(qT)≤x+E YQT+BT+CQQ+VSQTCQ(Q-QS)+DS-H(qT)≤x+E YQT+BT+Cq+E Cq(Q-Q)+-h(qT)+E ZTT–Cqvs–CQQTVS DS≤x+BT+Cq+EQQ(Q-Q)+h(qT)+EZQT–Cqvs+CQQ+E[Cq(q-qt)+-h(qT)]。由于Cq(q-q)+-h(q)-→q→+∞-∞,我们得到了SUPV∈BTE[Cq(q-qt)+-h(qT)]<+∞。对市场交易量过程(Vt)的假设给出了EHQtis存在（且与v无关）。把这些不等式加在一起，我们得到:SUPv∈BTEV<+∞。因此，U(t,x,y,q,q,V)≤-exp-γsu pv∈BTEV<0。现在，由于~U从来不等于0，我们可以考虑变量~U(t,y,q,q,V):=-exp(γζ(t,y,q,q,V))的变化。变量的这种新变化并没有移除另一个变量，但它有两个相关的优点。首先，ζ与现金账户处于同一单位。因此，它在一个可以预先计算的范围内取值。当涉及到数字时，这一点尤其重要。其次，保证VWAP的溢价π(q)直接收缩为:π(q)=zqf(z)dz+ζ（0,0,q,0,结果表明，ζ是一个粘性解:(Lζ+(q-q)σγ-V H(qζ）=0,在[0,T)×R×R+上，ζ(T,y,q,q,V)=-Yq+H(q),其中H是L的勒让德变换，其中非线性算子LI由:L=T+V qF(q-q)y+qσqhγ(y)+y yi+V q+vg′(T)g(T)V+αvhγ(V)+V vi构成。结论：本文建立了一个模型，研究了在有保证的VWAP合约中，投资组合的最优清算策略。当有永久性的市场影响时，我们认为最好的策略不是复制VWAP，而是更快地出售以压低VWAP。在lso中，我们使用Indi withed Erence定价方法给出了担保VWAP合同的价格，我们表明，考虑永久市场影响至少在理论上允许大幅降低担保VWAP合同的价格。最后，在随机体积的情况下，我们建立了一个只有5个变量的新模型，而不是简单的7个变量的模型。附录a：VWAPTor VWAP\'T？在第二节中，我们讨论了vwapt:=rtstvtdtqt和VWAP\'T:=rtst(vt+vt)dtqt+q，在前一种情况下，我们排除了我们自己的体积，而在后一种情况下，我们包含了它，更接近于我们的概念。

事实上，在这两种情况下，由于股票价格的动态依赖于v,我们的交易量都有一个相对的关系。在本附录中，我们将证明，使用其中一种或另一种假设，并不会使函数f和σ发生变化。这实际上是下列建议的结果：第5.1号建议。对于任何v∈A,xt-qvwap\'t=-qtqt+qZqF(z)dz-ztvtl vtvt dt+qqtqt+qZTqtf(q-qt)dt+σqqtqt+qZT)dt=s+σqt+qZT(qt+qt-qt)dwt+qt+qZT(qt-qt)f(q-qt)vtdt-qt+qt+qt+qZT(qt-qt)ztqtf（q-qt）vtdt=s+σqt+qZT(qt+qt-qt)dwt-qt+qZTVtF（q-qt）dt-qt+qZTqtf（q-qt）vtdt，=s+σQt+qZT(Qt+qt-qt)dwt-qt+qZTVtF(q-qt)dt-qt+qZqF(z)dz-qt+qZqF(z)dz-ztqf(z)dz.由于我们得到了xt=qs-zqf(z)dz-ztqt+qztqt+qztqtqt(q-qt)dt+σqqtqt+qZT qtqq-1-qtqt dt上述命题表明，xt-qvwap实际上等于xt-qvwapt，它是用qtqt+qf代替f,用qtqt+qσ代替σ。因此，如果我们的交易量只占市场交易量的几个百分比，那么使用VWAP的一种或另一种识别并不能真正使ADI公司感到满意。阿尔斯奥，当市场成交量过程假设为确定性时，我们在本文中使用的simplemodel得出的结果可以在考虑到我们的体积时使用，如果我们应用正确的乘法因子。在随机体积的情况下，我们不改变波动率和Market影响的值，而是用新的调整滑动来调整动态问题(5.2)，我们得到了相同的PDE和一个不引起更高复杂度的di erent终端条件。附录B：保证VWAP合约的相对定价我们现在对于确定性体积曲线，研究了保证VWAP合约以VWAP的基点定价的情况。在这种情况下，代理必须将q(1-λ)V W aptts交付给他的客户，对于在时间t=0时决定的某个λ。利用第2节中的符号，我们现在面临着最大化问题:SUPV∈AE[-exp(-γ(xt-q(1-λ)VWAPT))]。（5.3）为了给合同定价，我们考虑λ*(q):=supλ∈(-∞,1）,supv∈AE[-exp(-γ(xt-q(1-λ)VWAPT))]≤-1给出λ*的值。我们可以像在第3节中那样将策略限制在确定性策略中，使用与第2节和第3节相同的方法，我们很容易地得到，在这个框架中，滑动是高斯的。下面的引理确实是引理3.1的等价：引理5.2。对于任意v∈Adet，xt-q(1-λ)VWAPTis通常与平均λqs-zqf(z)dz-ztvtl vtvt dt+q(1-λ)ZTVtQTF(q-qt)dt和方差σqzt qtq-(1-λ)1-qtqt dt分开。对于λ≤1，然后，我们的目标是计算:H(λ):=SUPV∈ADETNλQS–ZQF(z)dz–ZTVTL VTVT DT+q(1-λ)ZTVtQTF(q–qt)DT-γσQZT QTQ–(1-λ)1–QTQT DTO。如第3节所示，与h(λ)相关的最大化问题清楚地归结为最小化问题:infv∈adetzt“vtl vtvt-q(1-λ)VtQTF(q-qt)+γσq qtq-(1-λ)1-qtqt#dt。(5.4)Jensen不等式给出了我们可以将自己限制在λ≤1。然后，将iλ:ACq，0(0,T)→R定义为:iλ(q):=ztπλ(T,q(T),q(T))dt，其中λ(T,q,v)):=vtl vvt-q(1-λ)VtQTF(q-q)+γσqq-(1-λ)1-qtqt，我们得到定理5.2（极大值的存在性、唯一性和哈密顿刻划）。在ACq，0(0,T）中存在唯一的最小化子qλ,*。

此外，对于所有t∈[0，我们有qλ，*(t)≤q，T]，和w e在以下两个断言之间是等价的:(i)q=qλ,*；(ii)存在p∈AC(0,T）使得对于所有T∈[0，T]:(πp(T)=γσq(T)-q(1-λ)1-qtqt+q(1-λ)VtQTf(q-q(T))πq(T)=vth\'(p(T))，其中q(0)=0和q(T)=0。这个证明与定理3.1和命题3.1的证明相似。我们现在用λ*:定理5.3（有保证的VWAP合同的溢价）的特征来结束这一节。λ*(q)=supλ≤1,h(λ)≤0,(5.5)其中h验证h(λ)=λqs-rqf(z)dz-iλ(qλ，*)。这个结果很简单利用定理5.2。为了从数值上计算λ*，我们需要计算函数h的值。这可以通过使用与第4节相同的数值方法对qλ*进行数值模拟来实现。参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss。清算中的价值。Risk,12（12）：61-63,1999.[2]R.Almgren和N.Chriss.投资组合交易的最优执行。Journal ofRisk,3:5-40,2001。[3]ASX,算法交易和市场准入安排，2010年2月。[4]J.Bialkowski,S.Darolles和G.Le Fol,改进VWAP战略：一个动态卷方法，银行和金融杂志，Elsevier,vol.32（9）,第17091722页，2008年9月。[5]J.Bialkowski,S.Darolles和G.Le Fol,如何降低执行VWAPOrders的风险？-日内成交量建模的新方法，2006年预印本[6]B.Bouchard和N.M.Dang,损失约束下定价和部分套期保值的广义随机目标问题--在最优账面清算中的应用，金融与随机，2013,17（1）,31-72.[7]B.Bouchard,N.Touzi,粘性解的弱动态规划原理。《控制与优化学报》，49,3,948-962,2011。[8]P.Cannarsa和C.Sinestrari。半洞穴函数，Hamilton-Jacobi方程和最优控制，第58卷。Birkhauser Boston,2004.R.Carmona.Indi incounted erence定价：理论与应用。普林斯顿大学出版社，2009。[10]R.Carmona和H.Li,动态规划与贸易执行，（Li.博士论文）2013。[11]W.H.弗莱明和H.M.Soner,受控马尔可夫过程和粘度解，第2版，Springer-Verlag,2005。[12]C.Frei和N.Westray,VWAP顺序的最优执行：一个随机控制方法，2013载于数学金融。[13]E.Gobet,J.-P。Lemor和X.Warin提出了一种求解倒向随机微分方程的基于回归的蒙特卡罗方法。2005年A NN。阿普尔。普罗巴布。15 217 2[14]O.Gueant,最优恒定参与率下的执行和大宗交易定价，2012年预印本[15]O.Gueant。最优执行和大宗交易定价，一个通用框架，2012年预印本。[16]O.Gueant。永久的市场影响可能是非线性的，2013年预印本。[17]M.H.umphery-Jenner，噪声条件下的最优VWAP交易，银行和金融杂志，卷。35，第9号，2011年。[18]S.M.Kakade,M.Kearns,Y.Mansour和L.E.Ortiz,VWAP和限价指令交易的竞争算法，ACM电子商务会议论文集，2004。[19]H.Konishi,VWAP交易的最优切片，金融市场杂志，第5卷，第2期，2002年4月，第197-221页[20]C.-a.Lehalle，S.Laruelle，《实践中的市场微观结构》，《世界科学》，2014年[21]J.McCulloch，《相对成交量作为一个双随机二项式过程》，第146号，研究论文系列，2005年，量化金融研究中心，技术大学，悉尼。[22]J.McCulloch和V.Kazakov,最优VWAP交易策略和相对成交量，第201号，研究论文系列，2007年，量化金融研究中心，技术大学，悉尼。[23]J.McCulloch和V.Kazakov,均值方差最优VWAP交易，2012年预印本。[24]D.Possamai，G.Royer和N.Touzi，关于measurableclaims的稳健超级套期保值Rockafellar，最优控制中的共轭凸函数和变分学。分析APPL。

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