VWAP执行和保证VWAP

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摘要翻译：
使用VWAP策略的最优清算在文献中被考虑过，尽管从未在存在永久市场影响的情况下，也很少带有执行成本。此外，只对VWAP策略进行了研究，而对有担保的VWAP合同的定价问题从未进行过讨论。在本文中，我们建立了一个模型，在一个市场影响的一般框架下对有担保的VWAP合同进行定价，我们强调了代理VWAP和有担保的VWAP合同之间的差异。文中还提供了数值方法和应用。
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英文标题：
《VWAP execution and guaranteed VWAP》
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作者：
Olivier Gu\\\'eant, Guillaume Royer
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最新提交年份：
2014
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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英文摘要：
  Optimal liquidation using VWAP strategies has been considered in the literature, though never in the presence of permanent market impact and only rarely with execution costs. Moreover, only VWAP strategies have been studied and the pricing of guaranteed VWAP contracts has never been addressed. In this article, we develop a model to price guaranteed VWAP contracts in a general framework for market impact and we highlight the differences between an agency VWAP and a guaranteed VWAP contract. Numerical methods and applications are also provided.
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关键词：VWAP WAP Quantitative Applications Application

VWAP的执行和有保证的VWAP*Olivier Guéant|Guillaume Royer|astract使用VWAP策略的最优清算在文献中被考虑过，尽管从来没有在永久市场影响的前提下考虑过，也很少考虑到成本。此外，只对VWAP策略进行了研究，而对有担保的VWAP合同的PRIC问题从未进行过研究。在这篇文章中，我们在一个市场影响的一般框架中发展了一个amodel来为有担保的VWAP合同定价，我们强调了代理VWAP和有担保的VWAP合同之间的差异。关键词：最优清算，VWAP策略，担保VWAP合约，最优控制，间接定价1介绍愿意出售大量股票的交易员或资产经理越来越多地使用执行算法。在经纪人提出的策略中，从学术角度研究最多的是执行不足策略。Almgren和Chriss在他们的开创性论文[1,2]中提出的最优清算的经典模型框架实际上关注的是以到货价格为基准的订单，即清算过程开始时的价格。在IS订单的情况下，代理人面临着缓慢销售以降低执行成本和快速销售以限制价格结果的交易。尽管几乎所有关于最优清算交易的文献都是通过订单进行的，但IS算法通常比VWAP（volume WeightedAverage Price）算法--例如s ee[3,20]要少得多。交易员选择SeverWAP订单的目的是为了降低执行成本：订单被分成更小的部分*这项研究是在欧洲金融研究所主持下的“EXécution optimale etstatistiques de la liquiditéhaute fréquence”研究倡议的支持下进行的。作者要感谢Chris Frey（阿尔伯塔大学）、Nicolas Grandchamp des Raux(HSBCFrance)、Jean-Michel Lasry（巴黎多芬大学）、Charles-Albert Lehalle(CFM)、Christopher Ulph(HSBC)、Silviu Vlasceanu（Kepler-Cheuvreu x）和Nicholas Westray（Deu tsche Bank）在这个问题上的交流。两位匿名裁判的评论也值得感谢，他们的评论允许以显著的方式改进论文。巴黎大学-狄德罗，UFR de Mathématiques，Laboratoire Jacques-Louis Lions，Gueant@ljll.univparis-Diderot.fr.cmap、Ecole Polytechnique.guillaume.royer@Polytechnique.edu.ones和相关交易在预先确定的期间发生，以获得尽可能接近该期间平均价格的价格（按市场交易量加权）。VWAPIS也是评估执行过程的中立和相当公平的基准。许多代理人愿意尽可能接近VWAP进行交易，因为他们是以VWAP为基准的。虽然VWAP订单代表了算法交易的很大一部分，但学术文献中只有少数关于VWAP订单的论文。关于使用VWAP基准进行清算的重要论文是由Konishi撰写的[19]。他开发了一个simplemodel，并寻找最佳静态策略，即在清算过程开始时决定的最佳交易曲线（他的目标是使相对于VWAP的滑动方差最小化）。他发现，当波动率与市场容量不相关时，VWAP清算的最优交易c urve与相对市场容量曲线的形状相同。他还对相关案例中相对市场交易量的偏离进行了分析。然后由McCulloch和Kazakov[22]扩展了该模型，并在一个更受约束的框架中增加了漂移。McCulloch和Kazakov还发展了一个动态模型[23]，在这个模型中，他们根据每个时间段的可用信息，在对体积完全了解的情况下，对最优轨迹进行了条件化。

Bouchard和Dang在[6]中提出了使用随机目标框架来开发VWAP算法。最近，Carmona和Li[10]也开发了一个VWAP交易模型，在该模型中，交易者可以明确地在市场订单和限价订单之间选择买入/卖出股票。与这篇关于VWA P交易的文献相关（另见[17，18，29])，一个学术文献应用程序earedon市场成交量模型。Bialkowski等人的论文。[4,5]或McCulloch[21]是这类论文的实例，它们对市场成交量动态和相对成交量的日内季节性进行了建模。然而，所有这些论文都忽略了一个重要的问题：市场影响。唯一一篇研究VWAP交易并涉及某种形式的市场影响的论文是Frei和Westray的有趣论文[12]。在本文中，交易者得到的价格不是市场价格，而是与期望数量成线性关系的价格（如阿尔姆格伦和克里斯斯的早期模型）。我们的模型的目标是在VWAP清算模型中包含永久市场影响（参见[16]中所使用的框架）和任何形式的执行成本。另外，我们的目标恰恰相反，当投资者选择一个IS算法时，执行过程在开始时是快速的，以获得接近最初的价格。因此，ISA的执行成本通常高于VWAP算法。我们的方法与通常对Almgren-Chriss方法的理解一致，并不阻止使用限价令。执行算法通常由两层组成：策略层，它控制与基准（这里是VWAP）有关的风险；战术层，它在订单账簿中，通过所有类型的订单，以及在其他（亮或暗）流动性池中寻求稳定。我们的模型只涉及策略层：我们希望得到一条交易曲线，然后由交易者使用限价单、市价单等进行交易。这篇文章很有趣，因为作者描述了对体积过程建模的独特方法，使得相对市场容量与总累积市场容量无关。他们对执行成本线性的假设是可以接受的，尽管证据证明th在itis上相当次线性。我不允许获得封闭形式的解决方案。不是获得尽可能接近VWA P的价格，而是了解如何在降低风险的同时提供有保证的VWAP服务。换句话说，如果给我们一定数量的股票，并要求我们在预先设定的时期内交付这些股票，我们希望找到最佳策略。除了保证VWAP合同的最优策略之外，我们还对这种合同的价格感兴趣。为此，weuse Indi将Erence Pricinging引入CARA框架，如[15]中作者对大量股票进行定价。担保VWAP合同的这个价格是交易者需要向经纪人支付的最低溢价，以便后者接受向交易者交付VWAP。它取决于订单的规模、流动性和市场条件，以及券商的厌恶程度。在第二节中，我们提出了模型的一般框架。我们介绍了VWAP的定义和模型中使用的市场影响形式。本文首先对VWAP合同的最优准则进行了修正，然后利用现有的ERENCE定价对VWAP合同的价格/溢价进行了修正。在第3节中，我们刻画了当Market体积曲线已知（确定性）时，以及保证VWAP合约的保费时的最优清算问题。在第四节中，我们着重于特殊情况和数值，我们证明了在不存在永久性市场冲击的情况下，最优交易曲线与市场交易量曲线具有相同的形状。

我们还考虑了线性永久市场影响和二次执行成本的情况，这允许得到封闭形式的解决方案，并更好地理解永久市场影响所起的作用。最后，给出了一般情况下近似解的E-cientNumerical方法。在最后一节中，我们将我们的模型推广到随机交易量的情况，我们刻画了一个具有PDE的有保证VWAP的价格。2一般框架2.1设置和说明我们考虑了一个与市场上可用信息相对应的加载概率空间Ω,F,(Ft)t≥0,p,即一个股票在观察时间之前的市场价格和市场交易量。对于T>0，我们将P(0,T）表示为[0,T]上的r值渐进可测过程的集合。我们考虑一个交易者在[0,T]的时间段内想卖出q>0。在此期间，他的清算策略（以下简称v）被建模为一个属于容许集的随机过程:=v∈P(0,T)，ZTvtdt∈L∞(Ω),ZTvtdt=q,p-a.s.关于间接定价的一般综述，感兴趣的读者可以参考[9]。对于buying g订单的情况，可以考虑类似的方法。为了对交易者的投资组合建模，我们引入了一个过程(qt)T，它给出了在时间T:qt=q-ztvsds时投资组合中剩余的股票数量。除了我们自己的成交量之外，我们还引入了瞬时市场成交量过程(Vt)T，假设它是逐步可测量的，并且是非负的。从0到时间t的累计成交量被表示为QT，股票的价格过程被定义为一个带有漂移的布朗运动，以解释市场影响。永久的市场冲击由函数f:R*+→R+建模，假定为不增加且可积0:dst=σdwt-f(q-qt)vtdt,σ>0。交易者在时间t得到的价格不是因为临时的市场冲击。这种临时的市场冲击，也称为执行成本，是通过引入函数L∈C(R,R+)来建模的，验证了:L(0)=0,oL是偶数函数，oL在R+上增加，oL是严格凸的，oL是渐近超线性的，即:Limρ→+∞L(ρ)ρ=+∞。注2.1。在实际应用中，L通常是幂函数，即L(ρ)=ηρ1+φ,φ>0,或L(ρ)=ηρ1+φ+ρρ，φ>0。对于任意v∈a，我们将现金过程Xv（以下简称X为简化符号）定义为:xt=xvt=zt vsss-vsl vsvs ds。我们对以下优化问题感兴趣:supv∈AE[-exp(-γ(xt-qvwapt))]，(2.1)换句话说，qt=rtvsds。我们的模型推广了Almgren和Chriss之后大多数最优清算论文中使用的线性模型。它可以解释通常观察到的市场影响的非线性。如文[16]所示，我们假定在我们的框架中没有可预期的（平均）往返行程。此外，永久市场交易只取决于初始和初始头寸，而不取决于轨迹，其中γ>0是绝对风险厌恶参数，其中vwapts表示[0,t]期间的加权平均价格VWAP，即:vwapt:=rtstvtdtrtvtdt=rtstdqtqt。（2.2）备注2.2。上述对VWAP的认识也可以表述为:VWAPT=ZTSTDXT，其中XT:=QTQT。这种公式在文献中经常使用，但它有一个重要的缺点，因为上面的积分不是f-适应的。它的自然属性确实是(Gt)twhere:Gt:=füσ(QT)。在上面对V W APT的认识中，我们没有包括我们自己的体积。包括我们的交易在内的一种替代性认知是vwap\'t:=rtst(vt+vt)dtqt+q。我们将在本文的附录中看到，在替代性认知的情况下，我们用简单认知获得的结果可以很容易地修改为真。我们的优化准则（2.1）的基本原理如下。我们认为一个股票交易者是一个资产经理，他想在[0,T]期间在VWAP卖出qshares。

为此，他与中间人（通常是经纪人）签署了一份有保证的VWAP合同。他在时间0给中间人其qshares，他在时间T收到q×[0,T]期间计算的EVWAP，减去溢价--以下表示π(q)-tocomp为该服务和相关费用补偿中间人，该溢价在时间0商定。我们讨论的问题是中间人的问题：hereceives qshares并在period[0,T]上出售它们，以在T时获得XTon其现金帐户。然后，他给他的客户qvwapt-π(q)现金。因此，如果中间人有一个恒定的绝对risk厌恶γ，他的清算策略是通过最大化[-exp(-γ(xt-qvwapt+π(q)))]=exp(-γπ(q))E[-exp(-γ(xt-qvwapt))]得到的。由于π(q)是在0时刻约定的，所以目标函数简单地为:E[-exp(-γ(xt-qvwapt))]。现在，为了确定π(q)的值，我们将计算中间人的保留价格，即中间人在接受极限情况γ=0与风险中性相对应之间的价格。在这里，我们选择考虑一个具有CARA效用函数的预期utilityframework。这个框架归结为高斯风险情况下的均值方差设置。从经济角度考虑效用函数是更严格的，尤其是在价格方面。这不是一个代理VWAP，因为在这里，VWAP是有保证的（尽管它的价值未知）。合同和拒绝它。这种定价方法，也称为Indi-everence定价，导致了对有保证的VWAP溢价的以下认识:π(q)=γlog-supv∈AE[-exp(-γ(xt-qvwapt))]。我们在本文中的目标是双重的：(i)我们想要解决最优化问题，即寻找最优清算策略v，(ii)我们想要寻找π(q)的值。2.2第一个性质我们在这里导出了XTand vwapt的关键公式：引理2.1。对于任意v∈A，我们有:xt=qs-zqf(z)dz-ztvtl vtvt dt+ztqttσdwt，其中F(q)=rqf(z)dzpropy：按部分积分，我们有:xt=ztvtstdt-ztvtl vtvt dt=[-qtst]t+ztqtdst-ztqtf(q-qt)vtdt+ztqtσdwt-ztvtt dt。然后我们观察到:ztqtf(q-qt)vtdt=[qtF)vtdt(q-qt)]t+ztf(q-qt)vtdt=ztf(q-qt)vtdtde在最后一个积分中，变量z=q-qt的变化，我们有:ztqtf(q-qt)vtdt=zqf(z)dz.最后，我们得到:xt=qs-zqf(z)dz-ztvtl vtvt dt+ztqtσdwt。百分比的溢价是π(q)qs。在实践中，一些有担保的VWAP合同也是以已实现的VWAP的基点定价的。关于溢价及其对我们方法的影响，请参阅附录B。从数字上看，这两种方法在各自参考价格的基点上提供了相似的结果。对于VWAP可以进行相同的计算：引理2.2。我们有:VWAPT=S+ZT1-QTQTσDWT-ZTVTQTF(Q-QT)dt。证明：这是一个由部分组成的积分:VWAPT=QTZTSTVTDT=ST QTQT-1T-ZT QTQT-1σDWT+ZT(q-qt)dt，其中我们回忆起q=0。滑动xt-qvwaptis由推论2.1给出。对于v∈A，我们有:xt-qvwapt=-zqf(z)dz-ztvtl vtvt dt+qZTVtQTF(q-qt)dt+σqzt qtq-1-qtqt dwt。我们还假定V从上到下是有界的:V≤V·≤V,f或s ome V,V>0。我们研究了将可容许策略集限制为确定性锥的情形:adet={V∈A:V是f-可测的}。然后将问题（2.1）替换为:supv∈adete[-exp(-γ(xt-qvwapt))]，(3.1)在该框架中，我们得到以下引理：引理3.1。

对于任意v∈Adet，xt-qvwaptis正态分布，均值-zqf(z)dz-ztvtl vtvt dt+qZTVtQTF(q-qt)dt，方差σqztqtqq-1-qtqt。证明：考虑推论2.1中得到的公式，证明是简单的。使用正态分布变量的拉普拉斯变换表达式，我们得到:supv∈adete[-exp(-γ(xt-qvwapt))]=supv∈adet-exp-γ-zqf(z)dz-ztvtl vtvt dt+qZTVtQTF(q-qt)我们的优化问题归结为:infv∈adetztvtl vtvt dt-qztvtqtf(q-qt)dt+γσqzt qtq-1-qtqt dt.（3.2）为了获得存在性和唯一性，我们使用了文献[8]中提出的经典框架。我们将绝对连续弧q:[0,T]→R的s et表示为ACq，0(0,T),这样q(0)=q和q(T)=0,我们将应用I:ACq，0(0,T)→R定义为:I(q)=Ztvtlàq(T)vt-qvtqtf(q-q(T))+γσq q(T)q-1-qtqt！dt。我们将缩写为(T，q，v):=vtl vvt-qvtqtf(q-q)+γσq qqq-1-qtqt。为了证明一个最优策略的存在性，我们将RST显示技术引理：引理3.2。Antureveri定义了以下三个断言:(i)π关于第三个变量是凸的；(ii)存在c≥0和θ:R+→R+使得θ(v)/v→+∞为v→+∞,T]，q∈R，(t，q,v)≥θ(v)-C；(iii)对于所有r>0的情况，存在C(r)>0，使得q,v)-π(t，~Q，v)<C(r)ω(q-～q)θ(v)对于所有t∈[0，T],q,~q∈[-r,r],v∈r,其中ω:r+→r+是连续模。证明:(i)从L的凸性和v的正性出发。对于(ii),我们可以看到，对于任意T∈[0,T]和q∈r，我们有:-qvtqtf(q-q)+γσqqq-1-qtq≥g(q),其中g(q):=-q_vqtf(q-q)+γσqfa∈[0,1]qq-a。g与g(q)-→q→+∞+∞和g(q)-→q→-∞+∞连续，因此存在g≥c∞在r上，我们下一个取θ(v):=vlvv。利用L的超线性，我们得到了θ(v)/v→+∞asv→+∞。最后，既然L是偶数，我们对所有人都有，q,v)∈[0,T]×R×R:(T,q,v)≥θ(v)-C对于(iii)我们对于所有(t，q，～q，v)∈[0,t]×R×R×R:(t，q，v)-ut(t，q，v)-ut(t，q，v)≤C F(q-q)-F(q-q)+qq-q+qq-q(3.3)，其中C在t和v中是一致的常数。由于F在R+上不增加，我们对于anya≤b∈R:0≤rbaf(z)dz≤R(b-a)/2(a-b)/2F(z)dz，然后2F(z)dz=:ω(q-～q)。（3.4）将（3.3）和（3.4）结合起来，我们得到:8(t，q，v)-8(t，～q，v)≤C(r)ω(q-～q)，其中C(r):=C(1+2rq+q)和ω(r):=ω(r)+r。定理3.1。在ACq,0（0,T）中存在唯一的I的mi nimizer q*。证明：我们将证明分为三步：第一步：我们证明任何策略都可以通过考虑取值于(-∞,q]的新策略来改进。的确，对于q∈ACq，0(0,T）,我们将~q减为~q(T):=min(q,q(T))。我们有~q∈ACq，0(0,T）和~q(T)=πq(T)1q(T)<q。因此，由于L是偶数且在R+上递增，我们有:L§～q(t)vt=L～q(t)vt≤Lq(t)vt=Lq(t)vt=Lq(t)vt，也由于F是奇数且不递减的，我们对于任何t∈[0,t]:-F(q-～q(t))≤-F(q-q(t))。最终，我们有了～q(t)q-qt-qtqt≤q(t)q-qt-qtqt，然后:I(～q)≤I(q)，当～q6=q时，具有严格的不等式。步骤2：然后我们显示最小化器的唯一性。让我们考虑q和q2个I的极小化，这样q6=q。通过步骤1，我们知道，q和q取值于(-∞,q]中。我们接下来用q(t)=q(t)+q(t)来求q。

通过L的凸性，(-∞上q→-f(q-q)的凸性，q]和q→(Q-a)的严格凸性，我们有I(q)<I(q)+I(q)，这与q和q的最优性相矛盾。步骤3：解的存在性来自于[8]中的定理6.1.2,在这里我们给出了验证三个必要条件的内理3.2。我们将q*刻画为与优化问题相关的哈密顿系统的解。函数是不凸的，因此不能应用[25]和[26]的经典结果。由于最优解q*必须验证q*≤q，我们修改问题并引入~F(q):=F(q)1q≥0-∞1q<0。然后，我们将扩展实值函数中的关联函数~_2on[0,T]×R×R定义为:~~(T，q，v):=vtl vvt-qvtqt～f(q-q)+γσqqq-1-qtqt。然后，使用定理3.1，我们清楚地看到问题（3.2）与问题相同:infv∈adetztvtl vtvt dt-qztvtqt～f(q-qt)dt+γσqzt qtq-1-qtqt dt，(3.5)，其中一个问题的最优策略也是另一个问题的最优策略。为了解决这个问题，我们使用在[25]和[26]中发展的技术。~(T，·，·)确实是凸函数，取值于Rü{+∞}。我们注意到文[25]中所列举的条件(B)、(C)和(D)，在V·和L的假设下也得到了充分的证明。我们现在引入了L的Legendre变换，它被H(p)=supρ∈Rρp-L(ρ)所取代。SinceL是严格凸的，H是一个函数。利用这个Legendre变换，我们得到了Q*的如下刻画：命题3.1(Hamiltonian s ystem）。对于q∈ACq，0(0,T）,我们在以下两种情况下是等价的:(i)q=q*；(ii)存在p∈AC(0,T）使得对于所有T∈[0，T]:(πp(T)=γσq(T)–q1–qtqt+qVtQTf(q–q(T)))q(T)=vth\'(p(T))q(0)=q，q(T)=0。证明:system的哈密顿量为:H(T，q，p):=VtH(p)+qvtqt～f(q-q)-γσqqq-1-qtqt。[25]中定理6给出的q*的特征及其推论是:q(T)∈-pH(T，q(T)，p(T))πp(T)∈-q(-H)(T，q(T)，p(T))，其中-代表子函数。给定H的表达式，只有-q(-H)(T，q(T)，p(T))可能不是实数的单数，当q（q）时，q(T))(T，q(T)，p(T))可能不是实数的单数T)=q。如果limx→0+f(x)为整数，则通过直接计算得到命题中给出的表达式。若limx→0+f(x)=+∞,则-q(-h)(t,q,p(t))={+∞},且命题中的表达式是正确的，当q(t)=q时，给出了p(t)=+∞。这个哈密顿刻划允许得到最优策略推论3.1的正则性结果。若V·是连续的，则q∈C([0,T])证明：L是严格凸的，H是C，其结果是方程q(T)=vth′(p(T))的一个结果。注3.1。即使w hen v·是光滑的，甚至是常数，q*也可能不是C，这一点非常重要，因为大多数研究都使用经典意义上的Euler-Lagrange方程，其基本假设是策略是C，我们以确定性策略的最优性来结束这一节。这一结果在[27]执行短缺(IS)清算策略的情况下得到了证明。我们在VWAP清算策略中使用了相同的方法。定理3.2。假设V·是确定性的，然后:SUPV∈ADETE[-exp(-γ(xt-qvwapt))]=SUPV∈AE[-exp(-γ(xt-qvwapt))].证明：让我们考虑v∈a。我们有:E[-exp(-γ(xt-qvwapt))]=-expγzqf(z)dz×e expγzt vtl vtvt-qvqtf(q-qt)dt×exp-γzt vtl vtvt-qtqtt dwt。然后我们通过:dqdp:=exp-γσqzt qtqt Q^aqt^aqtqt dwt^aγQσzt qtq^aqt^aqtqt dt！.因为v∈a=yenQ∈L∞(Ω×(0,我们观察到dqdp确实是一个概率的变化，于是我们有:e[-exp(-γ(xt-qvwapt))]=-expγzqf(z)dz eq[exp(γI(q))].现在，p-a.s.，q(ω)∈ACq，0(0，T)使得p-a.s.，I(q(ω))≥I(q*)。

这给出:E[-exp(-γ(xt-qvwapt))]=-expγzqf(z)dz eq[exp(γi(q)))]≤-expγzqf(z)dz exp(γi(q^)))=s upv∈adete[-exp(-γ(xt-qvwapt))]。因此:supv∈AE[-exp(-γ(xt-qvwapt))][-exp(-γ(xt-qvwapt))][-exp(xt-qvwapt))]≤supv∈adete[-exp(-γ(xt-qvwapt))]，由于逆不等式成立上述结果表明，tatsupv∈AE[-exp(-γ(xt-qvwapt))]=-exp-γ-zqf(z)dz-i(q*)。因此，保证VWAP的溢价由以下定理给出：定理3.3（保证VWAP的溢价）。π(q)=zqf(z)dz+I(q*)4个例子和数字。我们现在转向可以得到封闭形式表达式的具体情况。4.1没有永久市场冲击的VWAP策略在确定性框架内，有趣的情况是没有永久市场冲击的情况（即f=0)。在这种情况下，我们确实认为最优策略是跟随市场成交量曲线。这在下一个命题：命题4.1中得到了说明。如果f=0，则:q*(t)=q1-qtqt和π(q)=qtl qqt证明：虽然可以直接用I上的Jensen不等式来证明，但我们用命题3.1的哈密顿系统来证明结果。考虑由q(t)=q1-qtqt定义的函数q和一个常数函数p使得p(t)∈L-qqt，我们得到了-qqt=h\'(p(t))=-qvtqt=vth\'(p(t))同样，直截了当地:p(t)=0=γσq(t)-q1-qtqt这证明了q=q㎡，因此是结果的一部分。来到溢价，我们得到了:π(q)=zqf(z)dz+I(q^)=ztvtl-qqt dt=qtl qqt。结果是:π(q)=zqf(z)dz+I(q^)=ztvtl-qqt上述主张值得商榷。它指出，在没有永久性市场冲击的情况下，最优策略是有一条具有这种形状的交易曲线作为相对市场成交量曲线。一个结果是，在实践中，就交易策略而言，当永久的市场影响可以被忽略（或被忽略）时，人们感兴趣的是相对市场交易量曲线的估计，而不是市场交易量绝对值的估计。这句话特别重要，它说明了为什么确定性的市场交易量假设为VWAP交易提供了一个相当可接受的近似真实情况的模仿。虽然一天的总交易量是高度可变的，但我们知道相对市场交易量曲线从一天到另一天是稳定的（除了在特定的日子）。由于累积成交量QTT仅通过比率QTQT来显示执行策略，因此，如果我们已经假定相对市场成交量曲线是确定性的，那么考虑其随机性就不起任何作用。由于这一溢价必须在时间t=0时决定，所以Qt的值必须是在时间0时对[0,t]期间市场总量的预测。上述说明只适用于没有永久市场影响的情况，但如果我们通过引入一个小的永久市场影响而略微偏离，那么确定性市场总量的假设是可以接受的。现在，我们的目标是在这个框架中了解永久市场影响的严重性，和相关偏差的性质在实践中，大多数机构使用根据历史数据预先计算的相对市场成交量曲线。我们在这里忽略了相对市场成交量曲线中的最优策略的部分风险。4.2当VT=V、f=k和L(ρ)=ηρ时的VWAP策略。我们现在探索，对于交易成交量曲线，执行成本是二次型的，即L(ρ)=ηρ，而永久市场影响是线性的，即f=k∈R+，正如最初的Almgren-Chriss框架中的情况。假定vt=V，f=k≥0，L(ρ)=ηρ.我们有:qπ(t)=q1-tt-qw(t)，和π(q)=ηvtq+qztηvw′(t)-ktw(t)+γσw(t)dt，其中w(t)=kγσtsinhsγσv2ηt！“tanhsγσv2ηt！-tanhsγσv2ηt！证明：我们看到H(p)=p4η。

那么，利用命题3.1，我们得到:(πp(t)=γσq(t)-q1-tt)+kqtπq(t)=v2ηp(t)q(0)=q,q(T)=0。这导致:-q(T)=γσv2ηq(T)-q1-tt+kqv2ηT，q(0)=0，q(T)=0。因此，最优策略为:q(t)=q1-tt-kqγσt+αsinhsγσv2ηt！+βcoshsγσv2ηt！初始和结束条件意味着:α=kqγσtsinh qγσv2ηt1-coshsγσv2ηt！β=kqγσt我们得到:q＇(t)=q1-tt-kqγσt1-coshsγσv2ηt！！+kqγσtsinh qγσv2ηt1-coshsγσv2ηt！！由于1-cosh(x)sinh(x)=-tanh(x/2),我们得到:q＇(t)=q1-tt-kγσtqsinhsγσv2ηt！“tanhsγσv2ηt！Ztηv^q^(t)-ktq(q-q^(t))+γσq^(t)-q1-tt！dt=kq+ztηv qt+qw′(t)-ktq qtt+qw(t)+γσqw(t)dt=ηv tq+ztηvqw′(t)-ktq(t)+γσqw(t)dt=ηv tq+qqw′(t)+γσqw(t)dt=ηv tq+qztηvw′(t)-ktw′(t)+γσqw(t)dt=ηv我们确实有w≥0，因此清算必须更快地发生，加上永久的市场影响。这一点的基本原理是，中介将向客户支付QVWAPT，因此他有动机迅速出售，这样价格就会下降，从而导致更低的VWAP。如果k很大，optimalstrategy甚至可能是在回购股票之前超额出售，以降低VWAP的价值（见下文）。关于保证VWA P的溢价，很容易看出，如果q(t)=Q1-TT，溢价将等于ηV TQ。因此，由于使用最优策略q*而减少的保费由-qztηvw′(t)-ktw(t)+γσw(t)dt≥0给出。特别地，在极限情况γ=0下，对应于一个风险中性代理，我们得到了以下关于最优str ategy和保费的简单公式:q*(t)=q1-tt1-kv 4ηtπ(q)=ηv tq-kv t48ηq。图1给出了最优VWAP清算的几个例子。我们看到，考虑永久的市场影响是很重要的，因为最优交易曲线可能真的是从命题4.1.010.2 0.4 0.6 0.80.1 0.3 0.5 0.7S=50,Q=400000,V=4000000,σ=0.45,η=0.15,k=5×10-7,T=1天。平线:γ=3×10-6。点划线:γ=6×10-6。虚线对应于Q1-TT。理解这里的作用很重要。在给定的时间内，一个愿意在接近VWAP的aprice出售股票的代理人通常有两种可能性。他可能会打电话给他最喜欢的经纪人，要求一个代理VWAP订单。在这种情况下，经纪人将尝试出售股票尽可能接近VWAP，获得的价格将是代理的价格。换言之，风险由代理人承担。另一种可能性是签订一个有保证的VWAP合同。在这种情况下，代理获得的价格永远是VWAP。我们的观点是，代理人在有担保的VWAP合同中获得的VWAP与通过AgencyTrades平均获得的VWAP是不一样的。在有担保的VWAP合同中，对方有动机更快地出售，以压低价格，从而压低VWAP。这不是市场价格操纵，因为执行过程的整体影响与轨迹无关。然而，这是VWAP操纵的结果。代理受到伤害了吗？不知何故是的，尽管他得到了它的基准价格。然而，由于合同的对应方在执行过程开始时通过更快的销售来赚钱，他可以通过降低溢价来重新分配一部分。...为了衡量朴素策略qnaive(t)=q1-tt与最优策略之间的差异，最好的指标是一个有保证的VWAP合同的溢价π(q)。

我们选择了与图1相同的情况，即S=50,Q=400000,V=4000000,σ=0.45,η=0.15,k=5×10-7,T=1天，以及风险厌恶参数γ的两种情况。图1中的结果表明，如果朴素策略是u sed，一个有担保的VWAP合同的最小价格将是3 bps。然而，当在上述例子中使用最优策略时，中间人会在不支付保费的情况下接受该合同，因为premia的理论值实际上是负值。γ=3×10-6γ=6×10-6保费，qnaive3bps3bpsπ(q)qs-3.2bps-1.3bpsTable 1：在朴素策略和最优策略的情况下，担保VWAP合同的保费。一般说来，情况并非如此，我们在这里提出了一种近似哈密顿系统解的一般方法。重要的是要注意，当涉及数值时，使用哈密顿系统比使用欧拉-拉格朗日方程更好，因为问题仍然是1阶的。本文提出了一种近似模拟哈密顿系统在网格{0,τ,}上的解（p,q）的方法。.....T=jτ}是对下列非线性方程组应用牛顿法:(pj+1=pj+τγσqj+1-q1-qj+1qj+qvj+1qjf(q-qj+1)qj+1=qj+τvj+1h\'pj),0≤j<jq=q,Qj=0。更精确地说，我们考虑一个fifrirst偶(q，p)∈rj+1×rj+1，其中:q=q，qj=0,p=L\'vj+1qj+1-qjτ！,pj+1=pj+τγσqj+1-q1-qj+1qjf(q-qj+1),0≤j<j.通常，我们考虑qj=q1-qjqj给出。然后，为了从(qn，pn)到(qn+1，pn+1=pn+1，pn+1=pn+δpn+1，我们考虑以下方法:qn+1=qn+qn+1，pn+1=pn+δpn+1，其中δqn+1,δpn+1求解线性系统:δpn+1j+1=δpn+1j+τγσq-符号(q-qj+1)(q)vj+1qjf′(q-qj+1)δqn+1j+1=δqn+1j+τqvj+1h′(pnj)δpn+1j-qnj+1=δqn+1j+τqj+1h′(pnj)δqn+1j+1=0，δqn+1j=0。对于L(ρ)=ηρ1+φ，φ<1，线性的永久性市场影响。第二个对应于L(ρ)=ηρ1+φ，φ<1和非线性永久市场影响，形式为f(q)=kαqα-1，α∈(0,1）。0 10.2 0.4 0.6 0.80.1 0.3 0.5 0.7S=50,Q=400000,V=4000000,σ=0.45,L(ρ)=ηρ1+φ,η=0.12,φ=0.63,f=k=5×10-7,T=1天。平线:γ=3×10-6。虚线对应于Q1-TT0.0 10.2 0.4 0.6 0.80.1 0.3 0.5 0.7S=50,q=400000,V=4000000,σ=0.45,L(ρ)=ηρ1+φ,η=0.12,φ=0.63,f(q)=kαqα-1,k=2.2×10-4,α=0.6,T=1天。平线:γ=3×10-6。虚线对应于q1-tt.5。在本文前面的部分中，我们重点讨论了确定性VolumeCurve的情况。原因是双重的。首先，它允许理解永久性市场影响在一个可处理的案件中所起的作用。其次，它与VWAPstrategies在实践中经常构建的方式相对应，我们在上面解释了为什么它是一个很好的近似。从业者通常根据历史数据计算相对市场交易量曲线，并试图遵循该曲线得到尽可能接近VWAP的价格。我们现在探讨随机市场交易量的情况。本节的目的是提供一个Hamilton-Jacobi-Bellman PDE来描述最优清算策略（这不再是确定性的，因此不再是提前决定的交易曲线，在时间0）和有担保的VWAP合约的溢价。