一类比例离散风险过程的破产概率 指数分布和帕累托分布的再保险与投资

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摘要翻译：
本文研究了具有比例再保险和金融盈余投资的离散风险过程在有限时间内的破产概率。假定单位区间上的总损失有一个轻尾分布--指数分布和一个重尾分布--帕累托分布。由递推方程确定了有限时域5和10的破产概率。此外，对于指数分布，给出了由Lundberg调整系数确定的破产概率的上界。对于Pareto分布，调整系数不存在，因此给出了初始资本趋于无穷大时破产概率的渐近逼近。所得数值结果以表格形式给出，并以图表形式说明。
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英文标题：
《Ruin probability of a discrete-time risk process with proportional
  reinsurance and investment for exponential and Pareto distributions》
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作者：
Helena Jasiulewicz, Wojciech Kordecki
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最新提交年份：
2015
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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英文摘要：
  In this paper a quantitative analysis of the ruin probability in finite time of discrete risk process with proportional reinsurance and investment of finance surplus is focused on. It is assumed that the total loss on a unit interval has a light-tailed distribution -- exponential distribution and a heavy-tailed distribution -- Pareto distribution. The ruin probability for finite-horizon 5 and 10 was determined from recurrence equations. Moreover for exponential distribution the upper bound of ruin probability by Lundberg adjustment coefficient is given. For Pareto distribution the adjustment coefficient does not exist, hence an asymptotic approximation of the ruin probability if an initial capital tends to infinity is given. Obtained numerical results are given as tables and they are illustrated as graphs.
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关键词：帕累托分布 指数分布 破产概率 帕累托 再保险

指数分布和Pareto分布下具有比例再保险和投资的离散时间风险过程的破产概率本文研究了具有比例再保险和投资的离散时间风险过程的破产概率。假定单位区间上的总损失具有轻尾分布-指数分布和重尾分布-帕累托分布。由递推方程确定了第5和第10水平段的破产概率。此外，对于指数分布，给出了Lundberg调整下破产概率的上界。对于Pareto分布，调整系数不存在，因此给出了初始资本趋于稳定时破产概率的渐近逼近。关键词：离散时间风险过程、破产概率、比例再保险、伦德伯格不等式、正则变尾1在风险理论中，关于保险公司在连续时间内的利润盈余的研究已经进行了近一个世纪。环境和生命科学大学，经济和社会科学研究所，UL。C.K.Norwida 25,50-375 Wrocsaw,波兰，电子邮件:helena.jasiulewicz@up.wroc.pl**商业大学，管理事务部，UL。A.Ostrowskiego 22,53-238 Wrocsaw，波兰，电子邮件:wojciech.kordecki@handlowa.建立了经典连续风险过程的模型。虽然sucha模型对现实的描述更为自然，但对财政盈余离散过程的研究却相对较少。对文献[6]中关于有限盈余离散过程的结果的评述。本文是试图将经典的离散盈余过程与保险公司的实际情况联系起来的系列论文之一。也就是说，对盈余投资的分析增强了保险公司的安全性。这些问题已在文献[1,2,3,9,10]中讨论过。再保险对于提高保险公司的收益有很大的作用。在文献[4,7]中得到了关于具有投资和再保险的离散风险过程的结果。本文考虑了具有比例再保险和剩余投资的离散风险过程在有限时间内的破产概率。此外，我们还得到了一些特殊情形的数值结果：总损失的指数分布和帕累分布，以及一些渐近结果。本文研究了离散时间风险过程中的破产概率，并用Cai和Dickson[3]对Markov利率模型进行了研究。本文给出了破产概率的递推方程、推广的Lundberg不等式以及递推方程的近似逼近。Diaspara和Romera[4]在有投资的离散风险过程中引入了比例再保险，Jasiulewicz[7]不仅得到了比例再保险，Jasiulewicz[7]在马尔可夫链利率模型下得到了离散风险过程中破产概率的递归方程和Lundberg不等式。此外，对于比例再保险和止损再保险，以Lundberg平差系数最大化为非最优准则，考虑了最优自留水平。本文是Jasiulewicz[7]的研究成果的延续。针对所给出的理论结果，我们对单位期限内总损失和比例再保险的特殊分布进行了详细的定量分析。

本文讨论了在随机利率下，考虑投资为foungnancesurplus的轻尾分布（指数pdf）和重尾分布（Pareto pdf）的破产概率。基于这些考虑，我们给出了关于初始资本水平与再保险水平之间关系的实际结论。我们指出了损失的再保险水平，以便将破产概率设定在足够低的水平上，即保险公司和保险公司的自有资本应该有多高。利用Lundberg系数，用指数分布的例子说明了破产概率的上界的性质。我们观察到，如果保险公司和再保险公司使用相同的证券负荷，那么作为再保险水平函数的调整系数是凸的，这大大提高了破产概率的上估计。然而，如果再保险人的负荷大于保险人的负荷，则调整系数不是凸函数，从而降低了上估值的质量。Diaspara andRomera[4]中的数值算例没有考虑到这一观测。对于重尾分布，Lundberg平差系数是不存在的。对于这类分布，当初始资本非常大时，我们给出了破产概率的逼近定理。帕累托分布的例子表明，这种近似是适当的，并且很快趋于极限值。本文将单位周期内的损失期望值假定为一个货币单位。出于这个原因，我们假设两个考虑的分布中的期望值都等于1。对于Pareto分布中的参数假设值，不存在方差。为了比较这两种分布的数值结果，我们还采用了这些参数，以便获得相同的几何均值以及几何变量。最后，我们列出了本文引入的新元素、新思想和新结果：1.在连续风险过程中，如果使破产概率最小，则风险自留水平是最优的，破产概率可以通过使相对于风险自留水平的调整系数最大化来确定（参见Dickson和Waters[5])，那么我们可以提出以下自然问题：离散风险过程是否保持相同？2.Diaspara和Romera[4]给出了Lundberg Coef.cient在比例再保险情况下的破产概率的上界，数值算例表明该估计是合理的，该估计是否也适用于较自然的ζ>θ的情况。在重尾索赔的情况下，我们给出了破产概率的近似。问题是：对于超大的初始资本，近似序列是快速收敛的吗？2符号和定理。下面给出的符号、假设和定理1和2来自Jasiulewicz[7]的论文。在那篇论文中，作了以下表示和假设。设Zn表示单位周期内的总损耗(n-1，n)。损失在每个期末计算。我们假定{Zn,n=1,2,...}是具有公共分布函数W(z)的独立同分布随机变量的序列。保费按期望值原则计算，加载因子θ>0。在每个单位周期结束时支付的不变保费c=(1+θ)EZnis（n-1,n）。3.保险公司在n时刻的盈余用UN，并在支付后计算。盈余UNI在周期开始时（n,n+1）以随机利率投资。4.让我们确定利率{In,n=0,1,...}遵循时间齐次的马尔可夫链。我们进一步假设对于所有n=0,1,...,利率包含可能的值i，i，...。对于所有n和所有状态，转移概率表示为byPr(In+1=itin=is)=pst≥0，初始分布表示为byPr(i=is)=π。第5条。

假设保险人实施再保险，当损失Znoccurs为h(Zn，b)时，保险人支付的金额，其中参数b>0表示保留水平。在保险实践中应用最频繁的两个再保险实例中，将解释参数b的含义。(a)比例再保险，如果函数h(x，b)具有形式h(x，b)=bx，其中b∈(0，1].(b)止损再保险，如果函数h(x，b)具有形式h(x，b)=(x，x≤b，b，x>b，其中b>0.以下关于h的假设0≤h(x，b)≤x是显而易见的。保险公司保留的一部分Zn，用Zcen=h(Zn，b)表示，其分布函数用V(z)表示。因此，Zren=Zn-ZcEn是Zn.6的再保险部分。我们假设再保险公司按照期望值规则计算保险费率CREE，其加载因子为η，即CRE=(1+η)E(Zn-H(Zn,b))，假设η≥θ>0，那么，如果保险公司的索赔值为零，则保险公司不可能无风险盈利。保险公司在一个单位期间内保留的保险费率用c(b)表示，并由c(b)=c-cre=(1+η)Eh(Zn,b)-(η-θ)μ.8给出。设Ubn表示保险公司在单位期间结束时(n-1,n)在支付保费和支付之后的总盈余。本文给出了BYUBN=UBN-1(1+in)+c(b)-H(Zn,b）。该风险过程在一定时间内的最终破产概率由φbn(u,is)表示，并由φbn(u,is)=prn[i=1ubi<0ub=u,i=is！=pr ubi<0,对于某些i≤nub=u,i=is,i=is,在一定时间内的最终破产概率由φb(u,is)=pr∞[i=1ubi<0ub=u,i=is！=pr ubi<0,对于某些i≥1ub=u,i=is！=pr ubi<0,显然是φb(u,is)=limn→∞φbn(u,is)=limn→∞bn(u,is)给出。保险公司保留的保费isc(b)=((1+η)b-(η-θ))μ.（2.1）为了避免破产可能以概率1发生的事件，必须假定eh(Z，b)<c(b)。（2.2）为了写出完整的论文，我们给出了Jasiulewicz[7]中的定理（定理1和2）,它们将用于破产概率的分析。在再保险的特殊情况，即比例再保险中，Diaspara和Romera[4]给出了类似于定理1和定理2的定理。保险公司的破产概率按以下方式递归给出:b(u,is)=l∑j=1 PSJV u1+ij+c(b)，(2.3)bn+1(u,is)=l∑j=1 PSJNV u1+ij+c(b)+c(b)zbnu1+ij+c(b)-z,ijdv(z)o.(2.4)保险公司的破产概率:b(u,is)=l∑j=1 PSJNV u1+ij+c(b)+u(1+ij)+c(b)+c(2.4)）zb u1+ij~+c(b)-z,ij~+dv(x)o,其中c(b)=(1+η)Eh(Zn,b)-(η-θ)μ.（2.5）证明。设zce=z,i=ij。如果z>U1+IJ+c(b)，则在第1个周期（0,1]内将发生破产。因此，b(u,is)=l∑j=1psjpr zb>u1+ij+c(b)i=i,i=is=l∑j=1psjv u1+ij+c(b).n+1个周期中的破产可以以两种排除方式发生:o破产将发生在第一个周期或o破产将不发生在第二个周期，但它将发生在下一个周期。由于过程Ubnis平稳，具有独立的增量，所以，bn+1(u,is)=l∑j=1psj∞zprn+1[k=1ubk<0zb=z，i=is！dv(z)=l∑j=1 psjv u1+ijer+c(b)+u(1+ij)+c(b)zbn u1+ijer+c(b)-z,ij-dv(z)！。在n→∞的情况下，对上述公式作了一个双边限制，得到了破产概率。破产概率的递推公式可以用矩阵形式给出，从而简化了用几个计算机程序计算的计算。设φφbn(u，i)，φbn(u，i)，…，φbn(u，i)，i(n)，…，v(n)，v(n)，…，v(n)li,其中v(1)j=vu1+ij+c(b)，n≥2v(n+1)j=v(1)j+u(1+ij)+c(b)zφbn u1+ij+ij+c(b)zφbn u1+ij+ij+然后我们可以把方程（2.3）和方程（2.4）写成一个矩阵形式，即φφbn(u)=~vnpt。定理2。

如果Eh(Z，b)<c(b)，且存在一个正常数R(b)fun等于eR(b)h(Z，b)=eR(b)c(b)，(2.6)则破产概率的上估计形式为εbn(u,is)≤b(u,is)≤ζ(b)e-r(b)u(1+i)i=is，(2.7)其中ζ(b)=supx≥c(b)eR(b)xV(x)∞rxer(b)zdV(Z)，0<ζ(b)≤1。（2.8）本文用程序maxima进行计算：http://maxima.sourceforge.net/.proof。对于每x≥0我们有VeV(x+c(b))=eR(b)xV(x+c(b))∞ZxEr(b)zdV(z+c(b))eR(b)(x+c(b))V(x+c(b))∞Zx+c(b)eR(b)ydV(y)E-R(b)x∞Zx+c(b)eR(b)ydV(y)dV(y)(2.9)Letg(t)=eR(b)(t)V(t)∞Zter(b)ydV(y)，thenV(x+c(b))))≤SUPX≥0{g(x+c(b))}e-r(b)x∞zx+c(b)eR(b)(y-c(b))dV(y)=βe-r(b)x∞zx+c(b)eR(b)(y-c(b))dV(y)，(2.10)其中β=SUPy≥c(b)g(y)方程(2.6)，我们得到V(x+c(b))≤βe-r(b)x∞z-∞er(b)(y-c(b))dV(y)=βe-r(b)x。（2.11）而不等式（2.8）来自于这样一个事实，即对于z≥t，出现不等式exp(R(b)z)≥exp(R(b)t)。因此，∞Zter(b)zdV(z)eR(b)tV(t)≥eR(b)t∞Ztdv(z)eR(b)tV(t)=1。由这个不等式的转换得到不等式(2.8)，下一步我们归纳证明了（2.7）。根据定理1和不等式(2.11)，我们得到了θb(u,is)≤L∑j=1psjβe-r(b)u(1+ij)=βe e-r(b)u(1+i)i=is，根据一个归纳假设θbn(u,is)≤βe e-r(b)u(1+ij)∞zu(1+ij)+c(b)eR(b)(y-c(b))dV(y)+u(1+ij)+c(b)zβe e-r(b)(u(1+ij))=1psjβe-r(b)u(1+ij)=1psjβe-r(b)u(1+ij)ij)-z+c(b))(1+i)i=is！.sincee e-r(b)(u(1+ij)-z+c(b))(1+i)i=is≤e-r(b)(u(1+ij)-z+c(b))，（2.12）则πbn+1(u,is)≤l∑i=jpsjβe-r(b)u(1+ij)∞z-∞er(b)(y-c(b))dV(y)=βee-r(b)u(1+i)i=is。取n→∞的极限，得到不等式（2.7）。定理1给出了破产概率的递推公式，定理2给出了破产概率的Lundberg平差系数的上估计，该估计仅适用于轻尾分布。因此，不能用定理2来估计重尾分布的破产概率。在这种情况下，我们将使用一个渐近的破产概率，在初始资本趋于线性的情况下，而总损失具有一个正则变化的尾部分布。(-∞,∞)上的一个分布F有一个规则变化的尾，如果存在常数α≥0,使得对于每y>0,是limx→∞F(xy)F(x)=y-α。这类分布由r-α表示。定理3。当α>0时，设总损耗Zn具有cdf W∈r-α。如果对于任意给定的I=I，存在折扣因子(1+I)-1的秩α的正矩，那么对于比例再保险，对于每一个I=I，我们有θbn(u,is)cn(is)V(u)，(2.13)如果u→∞,其中cn(is)递归地给出cn(is)=e(1+cn-1(I))1+IαI=is，(2.14),初始条件c(is)=0,n=1,2,...证明。在Cai和Dickson[3]的论文中，上述定理在保险人不申请再保险而投资于基金盈余的情况下得到了证明，并指出在比例再保险中Zcen=bZn,如果Zn具有指数α的规则变化的尾部分布，则Zcen也具有指数α的规则变化的尾部分布。这如下所示:limx→∞V(xy)V(x)=limx→∞W(yx/b)W(x/b)=limz→∞W(yz)W(z)=y-α,其中z=x/b→∞,如果x→∞,因为b>0。因此，我们的定理3是Cai和Dickson[3]中Zceby定理5.1的充分证明。我们的证明重复了定理5.1中给出的论点，如果我们用G代替V。在下一节中，我们将考虑单位周期内总损失具有均值为1的指数分布，即W(x)=1-e-x，并具有均值相同的帕累托分布:W(x)=1-(β/x)α,x>β,α>1,β=(α-1)/α。在第3节中，我们只给出了l=1,I=0（即。

为了确定这些公式，我们使用程序Maxima分配给符号计算。对于l=2的情况以及对于参数α、β、η、θ和b的选定值，将给出数值结果。3破产概率由定理1给出的函数b(u，is)的值在b=0.2,0.3,...,1.0,u=0,1,2,3,4,5和n=1,2,...,10下进行了计算。我们考虑了I=0时l=1,I=0.3时l=2,I=0.5时转移矩阵P=0.40.60.30.7,取值η=0.25,θ=0.2。对于Eh(Zn，b)=b(2.5)我们得到公式(b)=(1+η)b-(η-θ)=1.25b-0.05。当b>1-θ/η=0.2.3.1指数分布时，条件（2.2）成立。因此，Zcen=BZn在x≥0时的分布函数为V(x)=1-e-x/b(3.1),而Ezcen=b,varzcen=b。取l=1和I=0。我们用从极大值中得到的关于n≤5的φbn(u)=e-u-θ+(-b)(η+1)+ηb(3.2)ρb(u)=eη/bu+eη/bθ+((b-1)η+b)eη/be-u/b-2θ/b-2η-2b+e(-u-θ-b(η+1)+η)/b(3.3)公式来验证用于更大n和l的数值算法的正确性。从表1中我们得到以下结论：指数分布的破产概率值n isu b0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.05%1 0.0087 0.0385 0.0776 0.1164 0.1512 0.2073 0.2299 0.24942 0.0001 0.0029 0.0119 0.0271 0.0460 0.0665 0.0871 0.1074 0.126304 0.000000 0.0002 0.0017 2712 0.0001 0.0015 0.0077 0.0196 0.0357 0.0542 0.0734 0.0927 0.11133 0.0000 0.0001 0.0010 0.0040 0.0098 0.0183 0.0288 0.0409 0.05394 0.0000 0.0000 0.0001 0.0008 0.0026 0.0061 0.0111 0.01780.02575 000000 000000 000000 0.0002 0.0007 0.0020 0.0076 0.012110 3%1 0.01120.0493 0.0978 0.1448 0.1856 0.2203 0.2749 0.29642 0.0003 0.0049 0.01930.0049 6052 0.0001 0.0020 0.0101 0.0256 0.0462 0.0695 0.0932 0.1168 0.13923 0.0000 0.0001 0.0061 0.0146 0.0267 0.0411 0.0574 0.07424 0.0000 0.0000 0.0002 0.0014 0.0046 0.0101 0.01800.02800 0.03935 0.0000 0.0000 0.0003 0.0014 0.0038如果初始资本增加，则在任何时间范围内，保险公司保留损失的部分也随着公司破产风险水平的恒定而增加。o如果初始发明率增加，则保留水平b也随着任何时间范围内的恒定破产概率而增加。o如果时间范围n增加，则破产概率每增加一个du≥0.2，利率i=为。u越大，破产概率越小。表2表明，当初始资本u≥4且利率I==0.03时，对于时间范围n=5和n=10,破产概率不超过0.05。

这意味着，如果不使用保险，保险公司将面临破产的可能性很小，不超过5%。在表2中，数字1意味着如果不使用再保险，保险公司的破产水平将低于5%。表2：初始资本u 1 2 3 4 5n=5 is=3%0.3289 0.6188 0.9062 1.0000 1.0000 is=5%0.3752 0.6775 0.9700 1.0000 1.0000 n=10 is=3%0.3005 0.5339 0.7626 0.9876 1.0000is=5%0.3585 0.6160 0.8549 1.0000 1.0000我们从方程（2.8）中计算出参数ζ(b)，由(3.1):ζ(b)=supx≥C(b)eR(b)xV(x)z∞xer(b)zdV(z)=supx≥C(b).eR(b)xe-x/bz∞xer(b)zbe-z/bdz。（3.4）我们在假设bR(b)<1:∞zxer(b)zbe-z/bdz=R(b)-1/be(R(b)-1/b)zz=∞z=x=1-bR(b)e(R(b)-1/b)x下计算积分，代换到（3.4）后，我们得到ζ(b)=supx≥c(b)e(R(b)-1/b)x1-br(b)e(R(b)-1/b)x。因此ζ(b)=1-bR(b)。（3.5）对于参数b>1-θ/η，调整系数R(b)是方程（2.6）的正解。由于矩母函数V(x)的形式为m(z)=1-bz，其中z<1/b，则方程（2.6）的形式为1-bR(b)=eR(b)c(b)，由此我们可以确定R(b)，根据定理2,破产概率的上估计形式为φbn(u,is)≤(1-bR(b))l∑t=1pste-r(b)u(1+it)，n=1,2。...（3.6）让我们用gb(u，is)来表示不等式（3.6）的右边。图1给出了指数分布n=5和n=10时，b=0.2,0.4,...,1.0和i=0.05时，θbn(u,is）的图。在图2中，给出了n=5和n=10,u=1,2,3,4,5和i=0.05的πbn(u,is）的图。i=0.03的图几乎相同，所以我们省略了它们。在表1.3.2Pareto分布中很容易观察到这种差异。我们假定Zn的总损耗为Pareto分布，其分布函数为w(x)=1-βxα(3.7),当x≥β>0时。随机变量Zn对于α>1具有预期值x=αβα-1，对于α>2具有预期值x=αβ(α-1)(α-2)。因此参数β的形式为β=α-1α。对于x≥bβ，保险公司保留的损失Zcen=bzn，其cdfV(x)=1-bβxα(3.8).ubn(u,0.05)0.20.10.0512.34.5fig。1：指数分布的破产概率是u的函数，b(u,0.05)-细线，b(u,0.05)-粗线，从最低到最高分别为b=0.2，0.4，0.6，0.8，1.0。在数值计算中，我们假定α=1.25，类似于paperby Palmowski[8]。本文研究表明，XX世纪80年代末和90年代末的最大损失服从Pareto分布，其分布函数为BBN(u,0.05)0.150.10.050.20.40.60.81.0fig。2：指数分布的破产概率为b的函数。φb(u,0.05)-细线，φb(u,0.05)-粗线，从最高值到最低值，分别为u=1,2,3,4,5。参数约等于1.24138。对于这样一个α的值，方差是n的。从（2.5）我们得到c(b)=(1+η)b-(η-θ)。只有在n=1,l=1和i=0的情况下，函数ρb(u,is)可以用（2.3）的显式形式来设置。ρb(u)=bβu+θ+b(η+1)-ηα(3.9)在n>1的情况下需要数值积分。让我们考虑一下n=2的情况。在这种情况下，需要计算积分α(bβ)αx+c(b)zbβbβu+θ+b(η+1)-η-zαz-(α+1)dz，代入A=u+θ+b(η+1)-η，我们得到积分z(a-z)αzα+1dz=-(1-z/A)F(-α，α；1；1-α，x/A)α(a-z)αzα的计算问题，其中(A，b；c；z）是超几何函数。表3给出了与指数分布相同的结论。表4中的“缺乏”一词是指，对于初始资本额为1的任何保留水平b∈(0.2,1]，在一年的时间范围内和十年的时间范围内，破产概率都超过0.05。在图3中，n=5和n=10的pareto分布的图为i=0.05。在图4中，n=5和n=10的图为u=1,2,3,4,5和i=0.05，i=0.03的图几乎相同，所以我们省略它们。

这些差异在表3中很容易观察到。利用定理3，我们将给出与Pareto分布的破产概率近似有关的结果。在图5中，当n=3时，比值Ωbn(u,is)cn(is)V(u),b=0.2,0.4,...,1.0和0≤u≤20。表3：帕累托分布的破产概率值n isu b0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.05 3%1 0.0471 0.0663 0.0818 0.0945 0.1050 0.1156 0.1280 0.13372 0.0492 0.0693 0.0787 0.0846 0.0912 0.05193 0.05193 0.05193 0.0335 0.05194 0.05197 0.05197 0.0335 0.03194 0.03195 0.0002700.0325 0.03194 0.03194 0.000274 0.05194 0.05195 0.0007007006185 0.00070.03250.03140.03194 0.05195 0.00070070.05195 0.00070070.05195 0.00070070.05195 0.05197 0.05197 0.05197 0.1154 0.1222 0.12812 0.0234 0.0356 0.0466 0.0566 0.0655 0.0748 0.0807 0.0873 0.09333 0.0158 0.09333 0.0158 0.0485 0.0563 0.0617 0.0676 0.07304 0.0118 0.0187 0.0254 0.0320 0.0382 0.0448 0.0495 0.05480.05975 0.0092 0.0148 0.0204 0.0259 0.0312 0.0370 0.0411 0.0458 0.050210 3%1 0.0685 0.0947 0.1150 0.1412 0.1640 0.17852 0.05629 0.0628 0.0628 0.0628 0.0628 0.0628 0.0648 0.0628 0.0648 0.0648 0.0648 0.0648 0.0648 0.0648 0.0648 0.0648 0.0648 0.0648 0.0648 0.0648 0.0648 0.0648 0.0668 0.0648 0.0648 0.0648 0.0668 0.0668 0.0648 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 0.0668 25 0.1480 0.1532 0.1615 0.16872 0.0354 0.0533 0.0691 0.0829 0.0949 0.1091 0.1148 0.1232 0.13073 0.0252 0.0391 0.0519 0.0635 0.0740 0.0921 0.1000 0.10724 0.0194 0.0306 0.0413 0.0513 0.0605 0.0717 0.0768 0.0841 0.0913 0.0513 0.0717 0.0768 0.0841 0.09085 0.0156 0.0250 0.0341 0.0427 0.0506 0.07680.0656 0.0723 0.0786表4：对于帕累托分布，破产概率不超过0.05的最大保留水平b初始资本u 1 2 3 4 5n=5 is=3%0.2190 0.4052 0.5907 0.7696 0.9621is=5%0.2468 0.4379 0.6209 0.8133 0.9996n=10 is=3%缺乏0.2567 0.3582 0.4588 0.5588 is=5%缺乏0.2884 0.3933 0.4958 0.59744结论在连续风险过程中，最优保留水平可以通过调整系数相对于保留水平的最大值来确定。在离散风险过程中，上述说法是不正确的，当初始资本u≥1时，破产概率是保留水平B的增函数。因此，当风险水平最小时，破产的概率最小。这意味着保险公司只保留非常低的损失ubn(u，0.05)0.20.10.051 2 3 4 5fig。3：帕累托分布的破产概率为u的函数。在b=0.2、0.4、0.6、0.8、1.0的情况下，从最低值到最高值，使他的收入非常低，对他非常不利。似乎正确的方法依赖于确定一个可接受的破产概率水平，并适当地根据该概率确定保留水平。bbn(u,0.05)0.10.050.20.40.60.81.0图。4：作为b的函数的帕累托分布的破产概率。对于1,2,3,4,5,分别从最高点到最低点的细线和φb(u,0.05)-粗线，如果再保险人的负荷大于保险人的负荷(ζ>θ)，则调整系数不是凸函数，从而降低了高估的质量。根据我们的数值例子，我们得出这样一个上限是0.250.500.751.005101520。5:Pareto分布图Ⅷbn(u,is)/cn(is)V(u)破产概率的渐近逼近。对于b=0.2，0.4，0.6，0.8，1.0，从最高值做最低值。对于重尾索赔，给出了初始资本过大时破产概率的近似定理。

Pareto分布的例子表明，这种近似是适当的，并且很快趋于极限值。确认Helena Jasiulewicz的研究得到了波兰国家科学中心的资助。参考文献[1]CAI,J.利率下的离散时间风险模型。Prob.英格。中程。SCI.16,309-324（2002）[2]蔡洁，利率相关的破产概率。J.Appl。Prob.39,312-323（2002）[3]蔡金，迪克森，D.C.M.马氏链利益模型下的破产概率。保险数学。经济。35,513-525（2004）[4]DIASPARRA,M.A.,ROMERA,R.,关于一类时间风险过程的破产概率的界。J.Appl。普罗巴布。46,99-112（2009）[5]DICKSON,D.C.M.,WATERS,H.R.,再保险与破产。保险数学。19,61-80（1996）[6]JASIULEWICZ,H.,保险公司的离散时间盈余模型。经济分析学院年鉴21,225-255（2010）[7]JASIULEWICZ，H.再保险与随机利率的离散风险过程。经济分析学院年鉴31,11-26（2013）.（波兰文）[8]PALMOWSKI,Z.扩散Cox模型下保险公司破产概率的近似。弗罗茨瓦夫经济大学研究论文，1108，34-64(2006)。TANG,Q.,TSITSIASHVILI,G.具有重尾保险和金融风险的离散时间模型破产概率的精确估计。随机过程。108,299-325（2003）[10]杨海，考虑利息效应的破产概率的非指数界。史坎德。精算J.99，66-79(1999)